高三理科数学第一轮专题检测训练3.doc

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(推荐时间：45分钟)
一、选择题
1． 设A，B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈(A∪B)且x∉(A∩B)}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则A×B等于 (　　)
A．(2，＋∞) B．[0,1]∪[2，＋∞)
C．[0,1)∪(2，＋∞) D．[0,1]∪(2，＋∞)
答案　A
解析　由题意知，A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]．
所以A×B＝(2，＋∞)．
2． 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案　C
3． 给出下面四个命题：
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；
③“直线a，b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a，b不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．
其中正确命题的序号是 (　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
答案　D
解析　当a平行于b所在平面时，a，b可能异面，故①不正确；当a、b不相交时，可能a∥b，故③不正确；由此可排除A、B、C，故选D.
4． 设向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－α等于 (　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　由|2a＋b|＝|a－2b|得3|a|2－3|b|2＋8a·b＝0，而|a|＝|b|＝1，故a·b＝0，即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故α－β＝－，即β－α＝.选A.
5． 已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为 (　　)
A．－110 B．－90 C．90 D．110
答案　D
解析　a7是a3与a9的等比中项，公差为－2，
所以a＝a3·a9，所以a＝(a7＋8)(a7－4)，
所以a7＝8，所以a1＝20，所以S10＝10×20＋×(－2)＝110.
6． 设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 (　　)
A. B．2 C. D.
答案　C
解析　设切点P(x0，y0)，则切线的斜率为y′|x＝x0＝2x0.
由题意有＝2x0，
又y0＝x＋1，解得x＝1，
所以＝2，e＝＝.
7． 设随机变量ξ服从正态分布N(16，σ2)，若P(ξ>17)＝0.35，则P(15<ξ<16)＝ (　　)
A．0.35 B．0.85 C．0.3 D．0.15
答案　D
解析　由正态分布的对称性知，P(ξ>16)＝0.5，
又P(ξ>17)＝0.35，
所以P(16<ξ<17)＝0.5－0.35＝0.15.
于是P(15<ξ<16)＝P(16<ξ<17)＝0.15.
8． 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 (　　)

A．4 B．2 C. D.
答案　B
解析　该几何体是底面是直角三角形的直三棱柱，由三棱柱体积公式V＝S底h可得V＝2.
9． 设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则 (　　)
A．y＝f(x)在上单调递减
B．y＝f(x)在上单调递减
C．y＝f(x)在上单调递增
D．y＝f(x)在上单调递增
答案　A
解析　变形f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)
＝sin.
又f(－x)＝f(x)，得函数为偶函数，故φ＋＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝.
又T＝π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin＝cos 2x.
结合图象知A正确．
10．(2013·山东)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为 (　　)

答案　D
解析　函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，排除B.取x＝，排除C；取x＝π，排除A，故选D.
11．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为 (　　)
A．(1,1＋) B．(1＋，＋∞)
C．(1,3) D．(3，＋∞)
答案　A
解析　画出可行域，可知z＝x＋my在点取最大值，
由＋<2解得1<m<1＋.
12．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为(　　)
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
答案　B
解析　f′(x)>2转化为f′(x)－2>0，
构造函数F(x)＝f(x)－2x，
得F(x)在R上是增函数．
又F(－1)＝f(－1)－2×(－1)＝4，f(x)>2x＋4，
即F(x)>4＝F(－1)，所以x>－1.
二、填空题
13．若直线y＝kx－1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．
答案　±
解析　圆心O到直线y＝kx－1的距离d＝＝，
∴k＝±.
14．若执行如图所示的程序框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，＝2，则
输出的数等于________．

答案　
解析　通过框图可以看出本题的实质是求x1，x2，x3的方差，根据方差公式得
输出S＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝.
15．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是________．
答案　[2－，2＋]
解析　圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可转化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2，∴圆心的坐标为(2,2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则圆心到直线l的距离应小于等于，
∴≤，∴2＋4＋1≤0，∴－2－≤≤－2＋，又直线l的斜率k＝－，∴2－≤k≤2＋，即直线l的斜率的取值范围是[2－，2＋]．
16．已知如下等式：
3－4＝(32－42)，
32－3×4＋42＝(33＋43)，
33－32×4＋3×42－43＝(34－44)，
34－33×4＋32×42－3×43＋44＝(35＋45)，
则由上述等式可归纳得到3n－3n－1×4＋3n－2×42－…＋(－1)n4n＝________(n∈N*)．
答案　

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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