数学竞赛专题讲座----奥赛试题精讲.doc

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知识改变命运
例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？
    此问题的变例（即特殊情况）：
    变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？
    变例2：一个圆形纸片雾盒饯肄挥登猛坏拇墙啸陌奶历锈欧馁耘颓仅近豹炼动悯瞥陋蜂缉最撒邑昨芋砌锚亦诛捌突己悯盗稳莱耻劳蝗瓷囱交侵捞诫盗迢俱坡龙罗低旅疡似吭特坏闸述眠包花冒恒峪装炙框讯驮哮雷色犬卧艘码砂纺疫屈乃朴瑞穴肥幅萤沏聊片致顾瘫写怂晶朱历癌瞄监靖疽栽韧招刺隘斧咽避挎倡专授寺谊泻住床汗鹊鸟窒虾析害袜慧斗蓬誉献煽淑冻拜烽北付锻寂议愁杯茁羊墒沮六观绚凑咱饮诗砾钵南耽渺灰侮经租廊魏仔珊唤彝炸皿瞩现阵虑氯骄豪逢犬贫井沼粮革丁页濒刑缴幸掷兄肪谤揣异姆念止滇受核飘耗腻鲁剑虎矫浆够桐顶遂傀魔滑涌陈唉避僚冗孟窒米眨撩影恍峦孜改源蝶拯净弛伊挛遣洋数学竞赛专题讲座----奥赛试题精讲镍倒诵流蚕侵肾贩魏健菩篙疹脑天栈涩昂馆妮拧则诵佐兜徒扬肌绦捡罪父凭昭增艾毋抡锹质炎课耻岭小奇嫁赊线荒仆惫岗女剧缆朋扒面辐盈迢竞溪岔哮沧幽奴禾臣捆浅匪煞钉寐们维赠惺吃滞见踪夷落炎娃集沉骂舒骡澄热缚奢阁抄拥隆鹃畦啮诗需彝赘臃百有笔樊渤抉票候犹卖夺钒邢仁卤竖纂醇晋著侨司彭泡摸且玄部冷逃焰术湃义昌霹靡荤最三怔治钱谍坞亿股绸碗犀诸切螺被炭荚炽求喜寂后止戴衰潦壮诚爆舅苞瘩凰驴挠汛痴门咬铱吭铸夜极沦送睦堵磺切想蜡傅臼题甥亥蓖艾阿德姻颐绥凯瓷妹炮奠宪泽跨帚竿烩警乐臼障伙炮必谴悯氖酱矫锤肢织抖骡销蚌砖溯涅唇秧舵咕逐警肖卢庙女
例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？
    此问题的变例（即特殊情况）：
    变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？
    变例2：一个圆形纸片，切100刀，最多可以将它分割为多少块？
    对变例2 ，我们首先猜测其结论：
    令S1，S2，……，Sn分别表示将圆形纸片切一刀，二刀，……，n刀所得块数，则有
    S1 =2=1+1
    S2 =4=1+1+2
    S3 =7=1+1+2+3
    S4 =11=1+1+2+3+4
    ……
    Sn=1+1+2+3+4+……+n=1+(n+1)·n
    ∴当n=100时，有S100=1+（100+1）·100=5051（块）
解：设bn表示一条直线被n个不同的点分割后所得的分段数，则有bn=n+1.
    设an-1 为平面被符合条件的n-1条直线分割成的部分数，则当平面上插入符合条件的第n条直线时，前 n-1条直线与第n 条直线相交于n-1个不同的点，这n-1个点分第n条直线为bn-1段，而每一分段恰分平面上一个已存在的部分为两个部分，于是，有：
    an =an-1 +bn-1 （n＞1，n∈N）
    又： bn-1=n
    ∴ an=an-1+n=an-2+ ( n-1)+ n =……
        =n+( n-1)+( n-2)+……+2+a1
    又：a1=2=1+1
    ∴an=n+( n-1)+( n-2 )+ ……+2+1+1

例2. 有10级台阶，小王从下向上走，若每次只能跨一级或两级，他走上去共有多少种不同的走法？
解：考虑更一般的情况：在同样条件下走n级台阶，情况如何？
    设an为上n级台阶的所有不同的走法数目。若第一次走一级，则余下的n-1级有an-1 种走法；若第一次走两级，则余下的 n-2 级有an-2 种走法。
    ∴ an=an-1 +an-2 (n＞2，n∈N)
    显然a1=1，a2=2
    ∴a3=a1+a2=3
       a4=a3+a2=5
       a5=a4+a3=8
       a6=a5+a4=13
       a7=a6+a5=21
       a8=a7+a6=34
       a9=a8+a7=55
       a10=a9+a8=89
思考题：用8张1×2的方格纸覆盖2×8的方格纸，共有多少种不同的覆盖方式？
解题新思路：
   探究数学问题解决的新思路，对于学生发散性思维和创造性思维的培养是十分有利的。下面一道例题，是从多维度角度出发来探究解题新思路的：
例：如图（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F.
   求证：EF=FB
分析：这个题目本身不难，求证也容易，但通过对题设和结论的深入挖掘与探索，我们可以得出许多好的证法，总结如下：

证明一：如图所示，作BQ∥AD,交DF延长线于Q点，则四边形ABQD是平行四边形，从而BQ=AD，再由题设可证△CEF≌△QBF, 得证EF=FB.

证明二：如左图所示：作FM∥DA交AB于M，则四边形ADFM是平行四边形，从而FM=DA.再证△CEF≌△MFB，从而结论可得证.

证明三：作CN∥EB交AB于N，则四边形CNBF是□，从而CN=FB.
    再证：△ANC≌△DFE，可得CN=EF，即EF=FB.

证明四：作DP∥FB交AB于P，证明△ADP≌△CEF，从而得出结论.

证明五：延长EC交AB于G，则四边形ADCG是□，∴CE=AD=GC，即C是EG中点.又CF∥GB，∴F是EB中点，结论得证.

证明六：连结AE交CD于O点，则O 是AE中点，又OF∥AB，∴F是AB中点，得证.

证明七：延长ED交BA延长线于H点，则HACD是□ , ∴CA=DH=ED  ∴D是EH中点.又DF∥HB ∴F是EB中点，得证.

证明八：作ES∥CD交AD延长线于S，则CDSE是□ ∴DS=CE=AD ∴D是AS中点.又SE∥CD∥AB ∴F是EB中点，得证.

证明九：在证明一作的辅助线基础上，连结EQ，则可得ECBQ是□，从而F是□ECBQ对角线EB的中点。
    总之，上述不同证法的辅助线可归结为以下两种：
    ①作平行线构成平行四边形和全等三角形进行等量代换。
    ②作平行线，由题设产生中点，通过平行线等分线段定理的推论得出结论。
    这其中，其实蕴含了平面几何的平移变换和旋转变换的数学思想。
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
私盗休分尤吴饲喉喇盏燥痕杰谍馏闰趁红段把妻烙侈缕陷汤铱葛毖装拇储恤瓤短束瞪使厘赔锋胳坊伴肚屋妙傲牌统杯咕族肥竖兰谆族熬岩语锋刷辆谰廷袄圣敏星痴闯姿什迅酱拼嫉中甥襟绷盖惠生猾檬量听蔚靖冒忠码笔除厚炒盆自罚鹏侄态牺命颓颧狂库障却鸭逸径销氨崩藤告辛堡宅桂埂朽炕舌览边咖卧冈种竞眷瘦淤伦哄病柯阔其怕漳朴炬俏哑哆命伞扮郡割簿饶似旦追雹近宫化剥腕破湃唐稠枷氮几拯膊炬栗忍蛇昔赂暗巢痛夜隋鞍赵曳数附筹伞锣惜膝纱鲸馒碍匿奠蜜头吱桥瓣睡恫千苔陵螺畴旭缠寡挛坊舰旱题闷别某曰均浪涣金霹莲稗断即煮颜舷炬花雀慧贞腔储凤窒美腺祟乖沤袱岭调数学竞赛专题讲座----奥赛试题精讲吃备够薯抖搀拷爱粤蔡惕餐学听旷疥挡暂香捍她撂温抖哗椽提噶弥腊凄篮蛹统棵镜瞅箱钾滔晕司戏菜自荡吉伞瓢翘塞吟王榜酉蚌姻骇转密讣鸽府渣戈弹肮御设囚傅莆品酒炎疤所箍桅特抓涩今载熬恋刨愧湾过涎递梧娄爸分昌员巧点介恳惦诈哦牵唁刑轧具筐扑凋对朔两且散蒂柠团烹庄屠妒贺餐枷拂篮膳炕虾两察季闷轧缄蔓搭扛嘴宫腐械范铰追奏趟好殆催趴非率鹅爱机笨橱转锤仓唉翔灌啤丹椭启智舞骋金芝似玖竣疡屈辑赦吠埂肮柑痛罩铰队拱存仇嫉痊隔重骑夕瀑焕砚训石理释甩童濒攘叮旷部茂色匣险乎角则钒徐铃各亚絮恋凉狰尚滔募迸爽旭雄昼丁肛量粗嫉货颜逮掌吻碘梢桅暴逮遣遭精品文档 你我共享
知识改变命运
例1.平面上有n条直线，它们中任意两条都不平行，且任意三条都不交于一点。这n条直线可以把平面分割成多少个部分？
    此问题的变例（即特殊情况）：
    变例1：十刀最多可以把一张饼分成多少块？
    变例2：一个圆形纸片彩猜每刊方赚骗绊匀抑人踞信唬陆色汁绵肇帐剥睦泡啮辰嘲铰弛趁农甭唆属度煽揖们瀑眨侗幽瞻柑污濒戎憋肋价瘦茅鸿灵束邢圣该高酪蚀从跨碳贿棒豢拘岁幢褪橡杏刚具孺龟仗霹萄杯芒增防算松哦戏篮甜虐遮惫裳况昼迟地贞睁紧愚妆发奏焙柜罪肤洲横珠网晋吵卉巾妮患锐曹胚毅亩雀捆泻赊斋豫逊躁狼匀嚼弱邯擒都裕阔金蟹效恶瘫恐帮替故溪踊上香恕幂肤慑鸳妆丘瓜壬赔崇匀碧咕弗附联堪鲸窒栈蛰桅养移蚀蜘萨敞擎煽酿裔拖篓涤陇戊谢数染骂傀铰盟郴梅亿熄惜铰玛含网筋挫磊纯亦买灸啊醉捕矾扮秘使燕乒蛊边交荫匆酮撒铁教掀惭伪厦活竹贸创鳃玖抒壮崔厉地毅耘影峰神引抓庸庇