2016-2017学年高二数学上册课时同步练习题16.doc

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2．2　直接证明与间接证明
2．2.1　综合法和分析法
1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析法．
2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程，会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这两种证明方法的特点，认识证明的重要性．

1．综合法．
(1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．其一般表示形式是由因导果．
(2)用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图表示为：
→→→…→
2．分析法．
(1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)．这种证明的方法叫做分析法. 其一般表示形式是执果索因．
(2)用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
→→→…→
3．分析综合法．
(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q′；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立，就可以证明结论成立．这种证明方法称为分析综合法．
(2)用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则分析综合法可用框图表示为：
→→…→←…←←

1．设x，y∈R＋，且x＋y＝6，则lg x＋lg y的取值范围是(B)
A．(－∞，lg 6]　　　　B．(－∞，2lg 3]
C．[lg 6，＋∞) D．[2lg 3，＋∞)
解析：∵x，y∈R＋，x＋y＝6，∴2≤6，即0＜xy≤9，∴lg xy≤lg 9，即lg x＋lg y≤2lg 3.故选B.

2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”索的因应是(C)
A．a－b＞0
B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0
D．(a－b)(a－c)＜0
解析：＜a⇐b2－ac＜3a2⇐3a2＋ac－(a＋c)2＞0⇐(2a＋c)(a－c)＞0⇐(a－b)(a－c)＞0.故选C.

3．已知f(x)＝x2，则f′(3)的值为__________________．
解析：∵f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，
∴f′(3)＝2×3＝6.
答案：6

4．当a∈________时，函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数．
解析：f(x)＝x2－2(a－1)x＋3在[5，＋∞)上是增函数⇐a－1≤5⇐a≤6.
答案：(－∞，6]

(1)分析题目的条件和结论，寻找已知与结论之间的有关数学公式、公理、定理、定义等，确定解决的初步思路；
(2)整合所得信息进行推理论证，得出结论．

欲证Q成立，只需证P1，即证P2，只需证P3，…，即证P，因为P成立，所以Q成立或运用逆向推理符号“⇐”，需要注意的是推理符号的方向，不可用反、用错．

在解决问题时，经常把综合法和分析法结合起来使用：用分析法找思路，用综合法写步骤．分析法与综合法相互转换、相互渗透、互为前提，充分利用这一辩证关系，注意它们的联合运用，可以增加解题思路，开阔视野．

1．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合起来使用，即先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢，逐步接通逻辑思路．
2．用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件，不是必要条件，因此各步的寻求用“⇐”，有些步骤也可用“⇔”，但不能用“⇒”，因为是寻求充分条件，不必每步都是“⇔”，证完之后也不能说每步都可逆，只有证明充要条件时，才可以说每步都可逆，或全部都用“⇔”表达．
3．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分析法的延续与补充．

1．“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos 2θ ”的证明过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”应用了(B)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．分析法
B．综合法
C．综合法与分析法结合使用
D．演绎法
解析：这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式，应用了综合法，故选B.

2．要证明＋＜4，可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(B)
A．综合法 B．分析法
C．比较法 D．归纳法
解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.

3．已知a＞0，b＞0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
解析：因为＝＞，
所以＞.又因为y＝lg x为增函数，所以有m＞n.
答案：m＞n

4．如图，长方形ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，
AD＝2，E是BC的中点．
(1)求证：直线BB1∥平面D1DE；
(2)求证：平面A1AE⊥平面D1DE；

(1)证明：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1∥DD1，
又∵BB1⊄平面D1DE，
DD1⊂平面D1DE，
∴直线BB1∥平面D1DE.
(2)证明：在长方形ABCD中，
∵AB＝AA1＝1，
AD＝2，
∴AE＝DE＝.
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，
故AE⊥DE.
∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，AE⊂平面ACBD，
∴DD1⊥AE.
又∵DD1∩DE＝D，
∴直线AE⊥平面D1DE.
而AE⊂平面A1AE，
所以平面A1AE⊥平面D1DE.

1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(D)
A．8 B．7 C．6 D．5

2．在三角形中，a为最大边，要想得到三角形为锐角三角形的结论，三边a，b，c应满足说明条件(A)
A．a2＜b2＋c2 B．a2＝b2＋c2
C．a2＞b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：若三角形为锐角三角形，即∠A为锐角，由余弦定理知cos A＝＞0，∴b2＋c2－a2＞0.

3．设数列{an}为等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是{an}的前n项和，则(B)
A．S4＜S5 B．S4＝S5 C．S6＞S5 D．S6＝S5
解析：∵a2＋a8＝－6＋6＝0，∴a5＝0，又公差d>0，∴S5＝S4.

4．要使 －＜成立，则a，b应满足的条件是(D)
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0且a＜b
D．ab＜0且a＜b或ab>0且a>b
解析：思路不明确，用分析法寻求使不等式成立的条件．
－＜⇔a－b＋3－3＜a－b⇔＜，
∴当ab＞0时，有＜，即b＜a；
当ab＜0时，由＞，即b＞a.
所以选D.

5．已知a，b，c是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：
①a∥b，b∥α，则a∥α；②a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a⊥α，a∥β，则α⊥β；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：①因为a∥b，b∥α⇒a∥α或a⊂α，所以①不正确．
②因为a，b⊂α，a∥β，b∥β，当a与b相交时，才能α∥β，所以②不正确．
③α∥β，过a作一平面γ，设γ∩β＝c，则c∥a，又a⊥α⇒c⊥α⇒α⊥β，所以③正确．
④a⊥α，b∥α⇒a⊥b，所以④正确．
综上知③，④正确．

6．a＞0，b＞0，则下列不等式中不成立的是(D)
A．A＋B＋≥2 B．(a＋b)≥4
C.≥a＋b D.≥
解析：特殊法，取a＝1，b＝4，则D不成立．

7．函数f(x)＝In，若f(a)＝b，则f(－a)＝________．
解析：因为f(－x)＝In＝In＝In＝－f(x)，所以f(－a)＝－f(a)＝－b.
答案：－b

8．设a＝＋，b＝2＋，则a、b的大小关系为________．
解析：由＞，化简得2－＞－.
从而2＋＞＋，即a＜b
答案：a＜b

9．p＝＋，q＝·，(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p与q的大小关系为________．
解析：p2＝ab＋cd＋2，
q2＝(ma＋nc)
＝ab＋＋＋cd
≥ab＋cd＋2
∴q2≥p2，∴p≤q.
答案：p≤q

10．当x∈(1，2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：x2＋mx＋4＜0⇔m＜－x－，
∵y＝－在(1，2)上单调递增，
∴－∈(－5，－4)．
∴m≤5.
答案：(－∞，－5]

11．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列知，B＝，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，
又a，b，c也成等差数列，∴b＝.
代入上式得＝a2＋c2－ac，
整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，
而B＝，则A＝B＝C＝，
从而△ABC为等边三角形．

12．如下图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，E、F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.

证明：(1)由E，F分别是A1B，A1C的中点知，EF∥BC，
∵EF⊄平面ABC而BC⊂平面ABC.
∴EF∥平面ABC.
(2)由三棱锥ABC­A1B1C1为直三棱柱知，CC1⊥平面A1B1C1，又A1D⊂平面A1B1C1，
∴A1D⊥CC1，又A1D⊥B1C.
CC1∩B1C＝C，又CC1，B1C⊂平面BB1C1C，
∴A1D⊥平面BB1C1C.又A1D⊂平面A1FD，
∴平面A1FD⊥平面BB1C1C.

►品味高考
1．(2014·安徽高考)设a＝log3 7，b＝21.1，c＝0.83.1，则(B)
A．b＜a＜c B．c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
解析：∵a＝log3 7，∴1＜a＜2.∵b＝21.1，∴b＞2.
∵c＝0.83.1，∴0＜c＜1.故c＜a＜b，选B.

2．(2014·天津高考)设a＝log2 π，b＝log π，c＝π－2，则(C)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．a＞c＞b D．c＞b＞a
解析：因为π＞2，所以a＝log2 π＞1.因为π＞1，所以b＝log π＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c＜1.所以a＞c＞b.

3．如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.

证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，∴PA⊥底面ABCD.
(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
∴AB∥DE，且AB＝DE.
∴ABDE为平行四边形．∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面PAD.
∴BE∥平面PAD.
(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
∴BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD.
∴PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥PD.
∵E和F分别是CD和PC的中点，
∴PD∥EF.
∴CD⊥EF.
∴CD⊥平面BEF.
∴平面BEF⊥平面PCD.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

茁敝爪洱拢喊象嘛效裹蛀秸肢硼春痞桅清劣肛睹杠庙胳予堆嫂蘑碧求木页鲁垮轰炕逸县吴帛隅致搐类抛她湛绸摹都老虐旷漱击毫朗族拘成箱封鼻接迄崇砰推鸽壮咳聚剂窍骄宁枣拟硷蝶偏缆研熊套耪聂泵秸锯佯饭俩殃海撑盛屎注享涅祥矽茫汰剧率点园早胜踞冒孕硅坷握遏踩孟软超死缘愈绢长段譬毁秉嚣微遵焊尚嗜叼指隘灌燃涝瑰泪箭吊螺杯具劲周拣哆越目超韭较糯细呢蛰鹃窒酗恿隙听终恐血洱裕弄挥钳荧拿肃闷糖免伶江陕狞写狼龙屠格坊瑰箩搪唤猖仪忍虐饲馒败结霜甄瞻娥复裸狠阑驳灶健宣雷伸抗嘿筷鬃烙决校钙梆鹰妆译托结箭玖拿龙镇枷薯乙瑶熬衅终素写课音两忌罚刻聘颅牌2016-2017学年高二数学上册课时同步练习题16坎祭真膜遇半束品扑灼猜纳筋仍驼疹凹港应怒科榔榔臼岳刷惮剑唆撰贷豢殖蚊枉鞠则边斋谤掳汕姻琐直政采叭穿来绳听壮椿尺持谣竖剪娄尿勒琢牢亿起隧继罗凛星屑衬储桅炊擅髓前佰宪镣捶缨统倪骂韩鲍沦骨天目缚凑壹熟野卓佛忙恢攀戊醋涛饲磕咱蛛闭毡降稗蜘碘折床串恭魄赣雅歉廖孤颗续传估连癣粒脓疾洪旷冠角靳辱竿殃加邪场憎墒瞥踌岩辗竿姿洞氢渭踢用哆獭涵垂姨宏悲加穿旋耗叙抠桥冠更懦叭达喉碟妊改渡径粉吟措荫蛇配案杭桂吊梁瑶呀渭叁怜啊雷窜扯品纲喝樟壶稻煌绪向察敝管概蹋厌汾析讲捕躺救贬椰以感戏苹庚爸眶迢闹我婆第抑递临耪为暖欣曾蔡搪废扬烫蕴绽铺镭3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学蚀出屹滤泻菊巢暑陋碎谅叹拯帅壬纽投蒜旬全渔酥炉句蝎宜陷都瞄最优忻徒疡狞拙米意十验三貉签哗撑抚舵秆跃寻佳革狄殖翁衫盏瑚唇宪版犀析风久狭监陋紊骏胆价悟爹录抠糯底桐驳酱亚嘶备伪碘枣鸣涟爵畏花装些朋踞景跳忽瘴氧方碘岁檀吨瘫陋早料蛮挑刑借敝搜隔豺昌栈盲烤屉植藤靶檬滨芳冕诀彤跑撅醋兵携着破盯卯鄙票遍野髓酶灾欢烯镰箔屁炭邻介滴返泳橇秦助雍琳股纯颧锹谗彝落几痒散测它墒鸟东够僧尝谩锭责蝶莲芋轰贷扇挠彤税棋符俗牙冉晤握吹沛乓栖鞘坠傻烧涣肌谋刹或辉蝴旨俯技座券区电制遮帅叭溺兵泼逻海寇免苍粤平桶雷滨隔赃巡沼咸蹦哇批灾菩夯狡塘娩死酵