基于威布尔分布函数的自适应MEWMA图多目标优化设计.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；国家社会科学基金资助项目（）作者简介：王海宇（），男，山西晋城人，博士，教授，研究方向：工业工程及质量控制。基于威布尔分布函数的自适应 图多目标优化设计王海宇（郑州大学 商学院，河南 郑州 ）摘要：为了提高 控制图的监控效率，提出了一种基于威布尔分布函数的自适应 图构造方法，以平均产品长度和单位产品质量成本为目标函数，从统计性和经济性两方面建立了自适应 图优化设计模型，并采用逼近理想解排序法给出了面向一个偏移区间范围的多目标优化步骤。最后，将本文提出的自适应 图方法与其它两种自适应多元控制图和已有的 经济统计设计分别进行比较，结果表明该自适应 图多目标优化设计在统计性能和经济性能上均具有明显的优势。关键词：自适应 图；平滑函数；平均产品长度；逼近理想解排序法；多目标优化中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：（，）：，（），（），：；引言随着现代制造技术的发展和过程管理的思想日益深入人心，运用多元控制图对多个质量特性进行协同控制已成为现代统计过程质量控制的一个重要的研究领域 。多元指数加权移动平均（，）图是一种能够有效监测过程中较小的或者较为缓慢的异常偏移的多元控制图方法 。张久军和何川基于单个样本观测值构建了监控多元过程协方差阵的 图 ；赵伟等结合测量误差模型构建了对监控过程协方差矩阵漂移的 图 ；殷艳娜等 则研究了 图在区域物流体系均衡预警中的应用。但这些 图的研究都只针对某种已知的特定程度的过程偏移，而对于其它程度的过程偏移往往无效或者效率较低。在实际应用过程中会出现多大程度的偏移通常是不能事先确定的，只可能知道偏移程度的大概范围。为此，和 首先提出了对一定范围内的过程偏移都有效的单变量的自适应 控制图 。和 将此思想扩展到多元 过程来构造 控 制 图 。等研究了用于监控过程均值向量偏移的双抽样变抽样间隔的自适应 控 制图 。和 则提出一种分区段动态调整平滑系数的 控制图方法 。权政等针对大规模定 制 生 产 研 究 了 基 于 统 计 量 的 改 进 型 图 。在这些研究中主要使用的控制图效率评价和优化设计都是基于统计特性，即统计性设计。而控制图的设计可分为统计性和经济性设计两类，前者以更快速准确检测出过程异常波动为目标，后者则以降低控制图监控的整体质量成本为目标。目前对于 图的经济性设计还未见相关研究，仅有少量关于 图经济性设计的研究，比如 等运用质量损失函数建立了具有统计约束的 图经济性设计模型 ；等分析了 图与设备维修相结合的经济性设计模型等 。本文的研究正是在这样的背景下，构造了一种基于威布尔累积概率函数的 图，并同时考虑控制图的统计性和经济性进行 图的多目标优化设计。控制图设某待监控的过程维数为 ，（，）为 时刻的过程采样值，其服从均值向量为（，），协方差矩阵为 （）（）的多元正态分布 （，）。当过程中出现某种程度的均值波动时，均值向量由 变为，则过程偏移程度 可以表示为：（）（槡）（）等建立的 统计量为：（）（）（）其中，为单位阵，（，），简便起见可令 ，。可知 的协方差矩阵 （），当时刻 足够大时，（）可近似为 。于是 图的打点统计量为：（）当 时，则控制图报警。其中 为 控制图的控制限，它可以根据受控状态下的平均运行长度（，）来确定。由于 统计量 可以看作是对的预测，可根据其预测误差 的变化来估计过程偏移的程度并对 的平滑系数 进行自适应调整，因此通过构造平滑函数 （）来代替 ，这样 统计量就为：（）（）（）其中，（），（）是（）（）槡）的函数，它需要满足以下条件：（）（）；（）当预测误差较小时，（）也比较小，若 ，则 （）；（）（）随着 的增大而逐渐增大，在 较小第 期王海宇：基于威布尔分布函数的自适应 图多目标优化设计时，（）先缓慢增大，然后中间部分（）随着 快速增大，最后 较大时 （）增大的速度重新放缓，当 达到一个较大的值后，（）保持不变。和 采 用 函 数、函数、函数分别构造三种 图平滑函数 ，但这些函数都较为生僻且构造复杂，为应用简便且更具有灵活性，可采用两参数非对称分布的累积概率分布函数来代替。本文选取较为常 见 的 威 布 尔 分 布 累 积 概 率 分 布 函 数 来 构 造 的平滑函数：（）（）（）其中，为比例参数，其取值过小，会导致 （）在很小时就近似于 ，对过程较小偏移不敏感；若取值过大，会导致 （）在 较大时仍然比较小，对过程 较大 偏移 不够灵 敏，因 此 根 据经 验 可取 ；为威布尔分布的形状参数，其取值过大往往会导致 （）随 的增长速度过快，为了符合条件（）的要求，可取 。将 图的打点统计量设为 ，当 时，控制图报警，其中 可根据事先确定的受控状态下的 通过仿真的方法得到。经济统计设计模型本文将以 控制图应用的一个质量周期内单位产品质量成本 和失控状态下的平均产品长度 共同作为目标函数，以兼顾其监控成本和监测效率，对控制图的参数组合（，）进行优化设计。平均产品长度（，）是指从异常波动发生到该异常被发现之间的产品数，它比 更能准确地反映控制图的统计监测效率 ：（）（）其中，指两次抽样之间间隔的平均产品数。通常希望 尽量大且 尽量小，但二者不能同时最优，一般以 大于一个较大的常数 为约束进行参数优化以使 最小。可以先通过仿真获得 ，再由式（）计算得到。一个质量周期包括从生产过程开始，经过受控状态、失控状态、排查异常直至消除异常波动等多个阶段。设过程处于受控状态的时间服从均值为 的指数分布，则一个质量周期的平均产品数为：（）（）其中，为单位时间生产的产品数；为受控状态下的平均运行长度；为受控状态抽取样本数的期望；为确认错误报警的时间；为查找异因的时间；为消除异因的时间；，和 分别取 或 ，分别表示确认错误报警、查找和消除异因时生产停止或继续；为单个样品检测及作图的时间。一个质量周期的成本主要包括受控和失控状态的质量损失、抽样成本、查找和消除异常波动的成本等 。可采用 质量损失函数来计算质量损失：（，）（）（）（）其中，和 分别为多元过程的第 和 个质量特性的目标值；为常数，它表示受第 和第 个质量特性之间的相关性影响的质量损失系数，若两个质量特性相互独立，则 。受控和失控状态下单位产品的质量损失分别表示为：（）（）（）（）（）（）（）（）其中，和 分别为受控和失控状态下第 个质量特性的均值，和 分别为第 个质量特性的方差以及第 与第 个质量特性间的协方差。由此一个质量周期内的质量损失成本可以表示为：（）（）而一个质量周期内的平均质量成本 就可以表示为：（）（）（）其中，为单次误报警平均成本；为单次抽样平均固定成本；为抽取一个样品的平均可变成本；为单次查找和消除异常波动的平均成本。针对由式（）表 示 的 某 种 程 度 的 异 常 偏 移 ，构 造 图经济统计多目标优化模型：运 筹 与 管 理 年第 卷 ，（）其中，表示单位产品质量成本；表示正整数集。多目标优化设计步骤在实际应用过程中，往往难以事先确定异常波动的偏移程度，因此有必要研究能够对多种偏移程度都有效的设计方案。本文基于 法提出了一种针对一个偏移区间的 图经济统计多目标优化设计，其步骤为：）确定待监控的偏移区间范围（，），其中，将此区间等分为三部分，每个子区间的中心位置（），（）和 （）作为优化设计的目标偏移量。）结合生产过程实际情况确定各控制图参数的取值范围以及常数 的取值。）针对，由式（）分别优化计算得到个非劣解，共 个设计方案。）分别计算这 个设计方案对，三种不同的偏移的单位产品平均质量成本 和失控状态下的平均产品长度 ，得到表 数据形式。表 备选方案监控情况统计方案 ，）进行归一化处理 槡，表示第 行第 列的数据，寻找各列的最小值和最大值，分别得到理想最优方案（，）和最劣方案 （，）。）计算每个方案与 和 的距离，以及各方案与理想最优方案的接近度，在所有方案中最大的即为我们找到的最优设计方案。（）槡 （）槡，（）算例分析下面以某隔膜垫生产过程的一个实际案例来说明本文提出的 控制图方法的应用。隔膜垫重量、直径和通风率是该过程质量控制的三个关键质量特性，由历史数据分析可知，服从均值向量（，），协 方 差 矩 阵 为 的 多 元 正 态 分布。其它 过 程 参 数 分 别 为：（片 小 时），（小时），（小时），（小时），（，），（元），（元），（元），（元）。按照上节提出的步骤进行优化设计：）直径和通风率较不稳定，容易出现范围约在 和 内的变化，由式（）计算可知，其过程偏移程度在 到 之间，因此可确定待监控的偏移区间范围（，），可近似计算得到 ，和 。）按照实际抽检能力，样本容量可以取 ，；抽样时间间隔可以分别为 ，分钟，转换为产品个数，可得抽样间隔分别为 ，；为了减少计算规模，按照经验将控制界限的取值范围限定为 ，在进行仿真时计算步长为 ；同时威布尔分布的两个参数的取值范围也限定为 ，计算步长均为 。另外，取 。）按照式（），采用 算法求解，算法参数分别取：种群规模 ，遗传代数 ，交叉概率 ，变异概率 。其中，不能直接计算，可通过对 进行仿真计算得到，具体方法为：将 代入式（），在 和 的不同组合下分别计算 的最小取值，按照 ，和的步长逐个选择不同的参数组合，仿真确定未发生异常波动时控制图报警的第一个样本点，每组进行 次，计算平均值即为 。通过判断仿真结果是否大于等于 的最小取值，我们可以挑选出符合约束条件的备择方案。在 ，和 三种异常波动情形下，通过与步骤 相同的仿真方法得到各第 期王海宇：基于威布尔分布函数的自适应 图多目标优化设计备择方案的 。针对，通过 分别计算出多个非劣解，经过合并近似解，各选择得到 组非劣解，见表 。表 图多目标优化的非劣解集 ）采用这 种方案分别对，进行监控，各自计算 和 ，见表 。表 三种偏移的监控结果 ）通过归一化后的数据矩阵 ，计算 得 到 理 想 最 优 方 案（，）和 最 劣 方 案（，）。）由式（）计算得到各方案的接近度，其中 最大，说明第 个方案（，）为最优设计方案。比较分析由于在已有的文献中尚未有 图多目标优化设计的相关研究，本文将通过分别与两种类型的控制图设计方法比较来说明本文提出方法的优越性。与多元自适应控制图的比较适应控制图能够对一定范围的过程偏移进行监控，下面将本文提出的 图（简写为 图）与 和 的 图和 和 的 图（分别简写为 图和 图）针对同样的偏移区间进行比较分析。图 是本文算例中计算得到的平滑函数与 图的平滑函数 （）（）（，）和（，）的图形比较，可以看到本文的设计方案的平滑函数变化更为均匀，能够更好地实现随预测误差自适应调整。由于 图和 图都仅从统计性的角度采用 进行设计，且未对样本容量 和抽样间隔 进行优化，可采用与本文一致的 和 ，在二元过程（）中将 由式（）转化为 进行比较，见表 。可以发现本文的 图的 在不同过程偏移情况下都小于 图和 图，说明 图的统计性能显著优于 图和 图。图 平滑函数比较分析运 筹 与 管 理 年第 卷表 三种自适应多元控制图的 比较（，）区间图型 ，与 经济统计设计的比较由于 本 文 的 控 制 图 方 法 是 由 图改进而来，为说明改进效果，可与 等 和 等 的 图经济统计优化设计方法进行比较，见图 图 。为了便于比较，可保持 ，不变，式（）的 统 计 约 束 可由式（）转化为 。图 三种多元控制图优化设计比较（）图 是在二元（）情况下，分别针对 和 两种偏移量，通过本文式（）计算的 图经济统计多目标优化设计得到的非劣解构成的帕累托前沿，分别与另外两种 图设计方法从单位产品平均质量成本 和 两方面的图形比较。其中 的经济统计多目标设计是以 、三个指标为目标函数，形成的非劣解解集可组成一个曲面，为了和本文的设计方法进行比较，可在此基础上增加了同样的统计约束 ，由此约束形成的平面与非劣解解集曲面相交的点形成了图 中的 图帕累托前沿。而 的经济统计设计是以 为目标函数，为约束的单目标设计，其优化设计只有 一 个 解，从 图 中 可 以 看 到，的 设 计 是 图帕累托前沿上的一个点。本文的 图帕累托前沿整体分布在 图帕累托前沿的左下方，说明 图的优化设计方案在统计性和经济性两方面都优于两种 图经济统计优化设计方法。同样，图 和图 是在 和 时，三种多元控制图的优化设计比较，结果与图 类似，都说明了本文提出的 控制图经济统计优化设计方法具有更好的性能。图 三种多元控制图优化设计比较（）图 三种多元控制图优化设计比较（）结论本文采用威布尔累积分布函数构建了一种能够根据样本信息对平滑系数进行自适应调整的 控制图，并针对某种特定程度的异常偏第 期王海宇：基于威布尔分布函数的自适应 图多目标优化设计移，以平均产品长度和单位产品质量成本共同作为目标函数构建了该图的经济统计多目标优化设计模型。在实际应用中往往难以确切地预测将要出现的过程异常波动的偏移程度，但可通过历史数据和操作经验推断异常波动的大概范围，因此针对某一偏移区间而不是某一特定偏移构建的自适应控制图更符合实际。本文针对一个偏移区间，先对区间内的多种偏移分别进行优化得到多组 设计方案，再采用 方法从这些设计方案中选取针对该偏移区间的相对最优设计。通过与已有的几种 图的比较说明本文提出的设计方法在统计性和经济性上都具有显著优势。本文提出的 图仅对平滑系数进行了自适应调整，样本容量、抽样间隔、控制界限等参数仍保持固定，后续的研究将考虑对这些控制图参数也进行自适应调整，以进一步提高 图的监控效率。参考文献：，（）：，（）：张久军，何川 基于单个观测值用于检测多元协方差矩阵的 控制图 数理统计与管理，（）：赵伟，王钟梅，吴纯杰 结合测量误差的检测多元协方差矩阵的 控制图 系统科学与数学，（）：殷艳娜，徐剑，温馨 基于多变异源 控制的区域物流体系均衡预警方法研究 工业工程与管理，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：权政，赵玲玲，徐滨，等 面向大规模定制的改进型 控制图应用研究 机床与液压，（）：，（）：，（）：王海宇，徐济超，杨剑锋 非正态总体下控制图的优化设计 系 统 工 程 理 论 与 实 践，（）：，：，（）：，（）：，（）：运 筹 与 管 理 年第 卷