非参数自适应EWMA SR控制图及其变采样间隔设计.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（）；江苏省自然科学基金项目（）；江苏高校哲学社会科学基金项目（）作者简介：唐安安（），通讯作者，男，湖北恩施人，博士，讲师，研究方向：统计过程监控，数据挖掘；胡雪龙（），男，江苏宿迁人，博士，副教授，硕士生导师，研究方向：质量管理，过程控制；谢富鹏（），男，江苏徐州人，博士研究生，研究方向：统计过程控制；孙金生（），男，吉林吉林人，博士，教授，博士生导师，研究方向：过程控制，复杂产品的质量控制。非参数自适应 控制图及其变采样间隔设计唐安安，胡雪龙，谢富鹏，孙金生（南京邮电大学 管理学院，江苏 南京 ；南京邮电大学 信息产业融合创新与应急管理研究中心，江苏 南京 ；南京理工大学 自动化学院，江苏 南京 ）摘要：本文基于 符号秩（，）检验统计量，提出了一种非参数自适应指数加权移动平均（，）控制图。所提出的 控制图结合了非参数统计量的稳健受控性能以及自适应控制图良好的整体偏移检测特性。同时，为了提高固定采样间隔下的非参数 静态控制图对异常偏移的检测效率，本文进一步研究了可变采样间隔（，）下的非参数 动态控制图设计问题。使用了 链方法计算控制图的精确平均运行链长（，）和平均报警时间（，）等性能指标。通过仿真分析比较了 控制图、控制图和 控制图的统计性能。结果表明，所提出的 控制图能兼顾对于不同大小偏移的敏感性，且变采样间隔的动态策略能显著提高控制图的检测效率。关键词：非参数 控制图；变采样间隔；平均运行链长；平均报警时间中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，；，）：，（），（）（），（）：，（）（）（，），（），：；引言作为统计过程控制（，）领域最有效的质量监控工具，控制图将监控统计量按照采样的时间顺序点绘成一类特殊的图形，用以展示监测过程质量特征值的变化趋势。通过与受控状态下建立的控制限进行比较，一旦发现统计量超过控制限，主动预警异常生产活动，提高过程成品率，保障产品质量 。由于休哈特（）控制图仅利用了当前采样时刻的样本信息，当过程偏移较小时，会存在较大的报警时延。针对这一问题，指数加权移动平均（，）控 制图利用平滑系数 结合了当前和历史数据的所有信息，其优点是可以通过调节权重系数，来改善对不同偏移大小的检测效率。但如果一个过程的偏移大小未知或不断变化，单个 控制图很难同时兼顾对不同偏移大小的检测效率。针对上述问题，和 通过引入误差传递函数 （），提出了参数 均值控制图用以监控 过 程 均 值 的 偏 移。实 验 分 析 表 明，参 数 均值控制图能够克服传统参数 均值控制图只针对单一偏移敏感的问题。自此，围绕 控制图的整体偏移检测性能的优化设计，已成为了 领域的前沿课题和热点问题 。上述 控制图设计研究所采用的统计量均基于 特 定 的统 计数 据 分 布（通常 为 正 态分布），称之为参数控制图。然而，当过程真实分布未知或者与假设分布不符（非正态分布）时，如果继续使用假设分布下设计的控制图，检测性能会受到很大的影响。而非参数控制图的平均运行链长不受数据分布类型的影响，因而具有良好的稳健性，也称为与分布无关的控制图。非参数控制图主要利用观测数据的符号检验（，）或者符号秩检验 统计量来代替数据本身。例如，等 针对小批量生产过程提出了 控制图；提出了一种基于辅助信息的非参数 控制图；等 提出了一种单边非参数 控制图用以监测连续发生事件之间的时间间隔以及幅度。基于 检验统计量，等 提出了一种新的非参数一般加权移动平均（，）控制图，等 则基于排序集抽样研究了 控制图的性能。值得注意的是，在使用传统的 类型控制图（带有实数域上的平滑系数 ）或者 类型 控 制 图（带 有 实 数 域 上 的 误 差 传 递 函 数（）对整数域上的非参数统计量（例如，统计量）进行加权计算时，无法得到可靠准确的统计性能指标值。以平均运行链长 为例，由于 控制图或者 控制图的统计量序列第 期唐安安，等：非参数自适应 控制图及其变采样间隔设计并不独立，因此它们的 计算通常采用两种方法：一种是 仿真法，另一种是 链法。前一种方法显然依赖于大量的循环模拟运行，后一种方法由于受到 链状态数量的选择和统计量整数特性的影响，也将产生不可靠的 指标值。针对这一问题，等 提出了一种离散型的非参数 控制图，并给出了相应的 链法用于计算精确的 值。本文在此基础上讨论了非参数 控制图的设计问题，并进一步利用可变采样间隔的动态策略提升了控制图的检测效率。现阶段，考虑变采样间隔的动态控制图研究多围绕参数控制图展开，请参见 等 、薛丽和何桢 、和 ，对于动态非参数控制图的研究较少。同时，考虑到 类型控制图的优越性，研究 控制图的设计并获得更全面的统计性能指标是值得关注的重点之一。控制图设计 统计量在采样时刻 ，对某一未知连续型分布采集了样本容量为 的检测样本 ，。令 ，表示绝对值 ，的次序秩，那 么 基 于 符 号 秩 构 建 的 统 计 量如下：（，），（）其中 （）（）据此，是定义域为（），（），（）的整数。也可以写成：（）（）其中 是所有观测值大于目标值 的次序秩总和。令 表示过程的中 位 数，当 过程 受 控时（，），（，）（，）。当过程失控时（，），监控过程中位数的偏移 相当于监控概率的变化。同时，可求得 的概率密度函数。控制图及 设计利用传统的 控制图监控统计量 ，时 会 导 致 求 解 不 精确。等 提出的离散型 控制图能够较好地解决这一问题，其表达式如下：（）（）其中（，）是两个正整数。由于一组（，）参数组合只能最优地检测出特定大小的偏移，然而在实际生产过程中预先确定偏移的大小是非常困难的。因此，为了加强对不同偏移的检测能力，本文提出离散型 控制图用于监控 统计量，其表达式为：（）其中 （）（）是离散型误差传递函数。令（），统计量 和 也可以分别表示为：?（）?（）（）（）（）其中?代表向 取整，例如?，?。需要注意的是，只有 是需要被监控的统计量，而 只作为余数记录，并不作为监控统计量，的定义域为 ，。假设在采样时刻 ，如果确定了 ，和 的值，那么 和 的值可以唯一确定，而且所有的值都是整数。因此，此处构建的误差传递函数为：（）（）（）（）其中 为正整数。可以看出：当 ，（）。用 （）替代式（）中的 （）可得（），这与 等 提出的离散型 控制图是一致；另一方面，当 ，（）（）。相应的 控制图简化成为 控制图。因此，控制图可以看作是 控制图和 控制图的结合。控制图的上下控制限为整数 。当监控统计量 或 时，即判定过程处于失控状态。上述非参数 或者 控制图均采用固定采样间隔（，）来对测试样本进行采样。为了进一步加强控制图的检测能力，本文研究了 控制图，其中心思想是：在控制限 的内部增加了一组警戒限 （为正整数），从而将控制图分为三个区运 筹 与 管 理 年第 卷域：安全域、警戒域和失控域。相邻两个样本 和 之间的采样间隔取决于采样时刻 的监控统计量 在控制图上的位置，具体描述为：）当监控统计量落在安全域时，即（，），控制图下一次的采样间隔为；）当监控统计量落在警戒域时，即（，），控制图下一次的采样间隔；）当监控统计量落在失控域时，即（，），控 制 图 发 出报警。控制图参数优化在对 控制图进行比较时，通常假设控制图的受控性能一致，也就是具有相同的受控 和 值，定义为 和 。当过程处于失控状态时，则希望控制图的失控 和 值越小越好，定义为 和 。对于 控制图，由于相邻采样时间间隔是固定的，根据 的值，可以直接计算 。不失一般性，取为标准值 。对于 控制图，由于采样时间间隔 ，是变化的，可以得出 珔 ，其中珔为平均采样间隔。在（，）固定的情况下，可通过警戒限 进行调节。为了便于比较，令 ，即 控制图在受控状态下的平均采样间隔为珔。可利用 链法求取精确的 和 值。需要注意的是，关于 策略对于控制图检测性能的提升在已有的文献中已得到充分的证明。本文在此主要对其中长短采样间隔的设置问题进行讨 论，采 用 的 组 合 有（，）（，），（，），（，）。同时，为加强控制图在初始状态下的偏移检测效率，建议第一个采样间隔选取。当给定了 ，和 值，对于 控制图的优化设计就是选取合适的控制图参数（，），使得控制图在满足受控状态 的约束下，具有最小的失控 值。此时 控制图的参数寻优问题就转化成为了一个带有约束条件的非线性函数最小化问题。考虑到设计参数的整数性，限定条件 并不能完全满足。因此本文设计了一个 阶段过程来搜索最优参数。表 给出了当（，）和（，），区间偏移 ，时，控制图的最优参数。当增大 或者 的值时，放宽了受控状态下的约束条件，使得控制图参数的选择更加灵活，将进一步提升 控制图的统计性能。考虑到篇幅限制，后文主 要 对（，）设 计 下 的 控制图进行了比较。由于 （）（），因此只需要考虑 的情况。表 控制图的相关参数（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）第 期唐安安，等：非参数自适应 控制图及其变采样间隔设计 控制图性能比较 控制图与 控制图的比较当 ，时，表 比较了 控制图和 控制图的 性能。对于 控制图，可以发现当 （）值越小，其对于小偏移越敏感；当 （）值越大，其对于大偏移越敏感。由此可见，单个 控制图都只能针对单一偏移进行优化，对不同大小偏移的检测能力不可能同时达到最优效果。因此针对区间偏移情形下设计的 控制图将具有更好的适应性。例如，当 时，针对小偏移 ，控制图与 （）（）的 控制图的检测性能相当；但对于中大偏移 来说，控制图具有明显的优势。在实际偏移大小不确定的情况下，控制图能够同时兼顾对于不同大小偏移的敏感性，因而具有更好的全局性能。表 进一步比较了当 ，时，控制图和 控制图在不同偏移下的 性能。在变采样间隔的情况下，我们可以得到相似的结论。表 和 控制图的 比较 表 和 控制图的 比较 运 筹 与 管 理 年第 卷 控制图与 控制图的比较为了测试不同采样区间下控制图的检测效率，表 比较了 控制图和 控制图的 性能。对表 进行对比分析，我们可以发现：控制图的失控 值都比 控制图的小，证明了变采样间隔策略能有效提高 控制图的检测效率。同时，还可以发现采样间隔为（，）（，）的 方案具有最小的 值，这与参数 均值控制图中相关结论是一致的 。另一方面，随着 值增加，值逐渐减小。以采样间隔为（，）（，）的 控 制 图 为 例，当 时，对 于 偏 移 有 ；当 时，对 于 偏 移 有 。表 当 ，（，）（，），（，），（，），时，和 控制图的 比较 （，）（，）（，）（，）（，）（，）案例应用考虑工业装备振动加速度的故障检测，示例数据来自 等 。图 记录了一组监控数据集 ，其中样本容量 ，数据分布类型未知，但根据历史信息可知数据受 控 状 态 下 的 中 值 为 。假 定（，）（，），基于表 可知，控制图的最优参数为（，）（，）。控制图和 控制图的监控统计量 分别绘制在图 和图 中。结果显示，控制图的统计量在第 个样本点超过了上控制限，显示控制图在经过 个时间单位后发现了过程的偏移。另一方面，控制图在经过 个时间单位（第一个采样间隔设置为 ）后就发现了过程的偏移。图 加速度计数据 ，图 控制图监控过程图 控制图监控过程第 期唐安安，等：非参数自适应 控制图及其变采样间隔设计 结束语本文针对过程数据分布未知的情形，将自适应 控制图与 符号秩检验统计量相结合，提出了一种可变采样间隔的非参数 控制图。并进一步针对过程偏移不确定的情况，优化相应控制图的性能指标获得控制图的最优设计参数。针对该控制图，利用 链法精确计算了其 和 性能指标值。仿真实验表明当过程失控时，所提出的 控制图对检测过程中可能出现的不同大小偏移具有更好的全局性能，且变采样间隔策略能明显缩短失控状态下的平均报警时间。进一步的研究还可以考虑联合监 视 过 程 尺 度 参 数 的 情 况。此 外，将 控制图扩展到多变量情况也是一项非常具有挑战性的工作。参考文献：曹程明，马义中 基于高质量过程的指数分布中位数控制图的统计设计 计算机集成制造系统，（）：，（）：常志远，孙金生 考虑 损失函数时自适应指数加权平滑控制图的经济统计设计 控制理论与应用，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：薛丽，何桢 二项分布下 控制图的经济设计 系统工程学报，（）：，（）：，（）：运 筹 与 管 理 年第 卷