高一数学下册知识点练兵检测试题18.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在括号内．
1．如果复数2i＋是实数(i为虚数单位，a∈R)，则实数a的值是(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
解析：因为2i＋＝2i＋＝＋(2－)i是实数，所以2－＝0，即a＝4.
答案：D
2．设集合M＝{m∈Z|－3＜m＜2}，N＝{n∈N|－1＜n≤3}，则M∩N＝(　　)
A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：M＝{m∈Z|－3＜m＜2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{n∈N|－1＜n≤3}＝{0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1}．
答案：A
3．①点P在△ABC所在的平面内，且＝λ(

＋)，＝μ(＋)；②点P为△ABC内的一点，且使得2+2＋2取得最小值；③点P是△ABC所在平面内的一点，且＋＋＝0.上述三个点P中，是△ABC的重心的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：①＝λ(＋)说明点P在BC边上的中线所在的直线上，同理＝μ(＋)说明点P在AC边上的中线所在的直线上，所以点P是△ABC的重心；
②设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则2＋2＋2可以表示为关于x和y的二次多项式，分别配方可以得到x＝，y＝时此式取得最小值，所以点P是△ABC的重心；
③设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则由＋＋＝0可以得到x＝，y＝，所以点P是△ABC的重心．
答案：D
4．给出命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b且c≠d，则a＋c≠b＋d.”在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
解析：原命题是假命题，如：3≠5,4≠2，但3＋4＝5＋2.逆命题“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b且c≠d”也是假命题，如：3＋4≠3＋5，a＝b＝3，c＝4≠d＝5.由四种命题的知识知否命题和逆否命题亦为假命题．
答案：A
5．某个容器的三视图中正视图与侧视图相同，其正视图与俯视图如图所示，则这个容器的容积为(　　)

A.πm3 B.πm3
C.πm3 D.πm3
解析：根据图形可知该几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，故所求容积为×π×12×1＋π×12×2＝π m3.
答案：B
6．在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本，现有下面三种抽样方法：
①随机抽样法：抽签取出20个样本；
②系统抽样法：将零件编号为00,01，…，99，然后平均分组抽取20个样本；
③分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本．
下列说法中正确的是(　　)
A．无论采用哪种方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率是各不相同的
解析：抽样方法的原则就是使每个个体有同样的机会被抽中，即每个个体被抽到的概率是相等的．
答案：A
7．等差数列{an}的前n项和为Sn(n＝1,2,3，…)，若当首项a1和公差d变化时，a5＋a8＋a11是一个定值，则下列选项中为定值的是(　　)
A．S17 B．S18 C．S15 D．S16
解析：因为a5＋a8＋a11＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＋(a1＋10d)＝3(a1＋7d)为定值，
所以S15＝＝15(a1＋7d)为定值．
答案：C
8．执行如图所示的程序框图，若p＝4，则输出的S＝(　　)

A. B. C. D.
解析：程序执行过程为：
n＝1，S＝；
n＝2，S＝＋；
n＝3，S＝＋＋；
n＝4，S＝＋＋＋＝.
程序结束，输出S＝.
答案：A
9．已知点P在平面区域，点Q在曲线(x＋2)2＋y2＝1上，那么|PQ|的最小值是(　　)
A．1 B．2
C.－1 D.
解析：如图，画出平面区域(阴影部分所示)，由圆心C(－2,0)向直线3x＋4y－4＝0作垂线，圆心C(－2,0)到直线3x＋4y－4＝0的距离为＝2，又圆的半径为1，所以可求得|PQ|的最小值是1.

答案：A
10．如图，函数y＝f(x)的图象是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的两段弧，则不等式f(x)＜f(－x)＋x的解集为(　　)

A．{x|－＜x＜0或＜x≤2}
B．{x|－2≤x＜－或＜x≤2}
C．{x|－2≤x＜－或＜x≤2}
D．{x|－＜x＜，且x≠0}
解析：由图象知f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴原不等式可化为f(x)＜.由图象易知，包含这两段弧的椭圆方程为＋y2＝1，与直线y＝联立得＋＝1，∴x2＝2，x＝±.观察图象知－＜x＜0或＜x≤2.
答案：A
11．设函数y＝f(x)为定义在R上的奇函数，且满足f(x－2)＝－f(x)对一切x∈R恒成立，又知当－1≤x≤1时，f(x)＝x3.则下列四个命题：
①f(x)是以4为周期的周期函数；
②f(x)在x∈[1,3]上的解析式为f(x)＝(2－x)3；
③f(x)在点(，f())处的切线的方程为3x＋4y－5＝0；
④在f(x)的图象的对称轴中，有直线x＝±1.
其中正确的命题是(　　)
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①②③④
解析：因为f(x－2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－2]＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f[(x＋2)－2]＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，命题①正确；
由f(x－2)＝－f(x)可知，当x∈[1,3]时，x－2∈[－1,1]，因此f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)3＝(2－x)3，即命题②正确；
当x∈[1,3]时，f(x)＝(2－x)3，f′(x)＝－3(2－x)2，
所以f()＝，又f′()＝－，故切线方程为y－＝－(x－)，整理得3x＋4y－5＝0，即命题③正确；
由f(x－2)＝f(－x)⇒f(－1－x)＝f(－1＋x)，所以f(x)有对称轴x＝－1.由f(x＋2)＝f(－x)⇒f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)有对称轴x＝1.故命题④正确．
答案：D
12．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ＝(　　)
A. B. C. D.
解析：如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，

由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2 800，所以BC＝20.
由正弦定理得sin∠ACB＝sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.
故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.
答案：B
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请把答案填在题中横线上．
13．设a＝(sinx＋cosx)dx，则(a－)6展开式中含x2项的系数是__________．
解析：依题意得a＝(－cosx＋sinx)＝1－(－1)＝2，故(2－)6展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r(－)r＝C26－r(－1)rx3－r，令3－r＝2，得r＝1，所以含x2项的系数是C×25×(－1)＝－192.
答案：－192
14．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x＋，且当x∈[－3，－1]时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值是__________．
解析：因为函数f(x)＝x＋在(0,2)上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数，则当x∈[1,3]时，4≤f(x)≤5.又函数y＝f(x)为偶函数，故当x∈[－3，－1]时，4≤f(x)≤5，则m－n的最小值是1.
答案：1
15．如图，一动点沿着棱长为1的正方体的棱从A1点出发到C点，走法是每走一条棱算一步，必须走三步到达C(例如，A1→B1→B→C是一种走法)．已知棱上标识的是经过该棱时发生堵塞的概率，则动点从A1点出发到C点发生堵塞的概率最小值为__________．

解析：动点从A1点出发走三步到达C点(设发生堵塞的概率为P)，共有6种走法：①A1→A→B→C，此时P＝1－(1－0.2)(1－0.3)(1－0.5)＝0.72；②A1→A→D→C，此时P＝1－(1－0.2)(1－0.3)(1－0.6)＝0.776；③A1→B1→B→C，此时P＝1－(1－0.4)(1－0.3)(1－0.5)＝0.79；④A1→B1→C1→C，此时P＝1－(1－0.4)(1－0.6)(1－0.4)＝0.856；⑤A1→D1→D→C，此时P＝1－(1－0.1)(1－0.4)(1－0.6)＝0.784；⑥A1→D1→C1→C，此时P＝1－(1－0.1)(1－0.5)(1－0.4)＝0.73，综上可知，走法①发生堵塞的概率最小．
答案：0.72
16．当正三角形的边长为n(n∈N*)时，图(1)中点的个数为f3(n)＝1＋2＋3＋…＋(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)；当正方形的边长为n时，图(2)中点的个数为f4(n)＝(n＋1)2；在计算图(3)中边长为n的正五边形中点的个数f5(n)时，观察图(4)可得f5(n)＝f4(n)＋f3(n－1)＝(n＋1)2＋＝(n＋1)(3n＋2)；….则边长为n的正k边形(k≥3，k∈N)中点的个数fk(n)＝__________.

解析：观察对边长为n的正五边形的“分割”，那么对边长为n的正六边形分割时就又多了一个点数为f3(n－1)的三角形，依次类推可以推知边长为n的正k(k≥5，k∈N)边形就可以分割为一个点数为f4(n)的四边形和k－4个点数为f3(n－1)的三角形，即fk(n)＝f4(n)＋(k－4)f3(n－1)，并且这个规律对k＝3,4也成立，这样fk(n)＝f4(n)＋(k－4)f3(n－1)＝(n＋1)2＋(k－4)＝(n＋1)[(k－2)n＋2](k≥3，k∈N)．
答案：(n＋1)[(k－2)n＋2]
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题12分)如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC－A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，且AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B为DE的中点．
(1)求证：平面A1BC⊥平面A1ABB1；
(2)设二面角A1－BC－A的大小为α，直线AC与平面A1BC所成角的大小为β，求sin(α＋β)的值．
解析：(1)在平行四边形ACDE中，∵AE＝2，AC＝4，∠E＝60°，点B为DE的中点．
∴∠ABE＝60°，∠CBD＝30°，从而∠ABC＝90°，即AB⊥BC.
又AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC.
∴AA1⊥BC，而AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.
∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.
(2)解法一：由(1)可知A1B⊥BC，AB⊥BC，
∴∠A1BA为二面角A1－BC－A的平面角，即∠A1BA＝α.
在Rt△A1AB中，AB＝2，AA1＝4，∴A1B＝2，
∴sinα＝sin∠A1BA＝＝，cosα＝＝.
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

由题意得A1(0,0,4)，B(，1,0)，C(0,4,0)，∴＝(0,4,0)，＝(，1，－4)，＝(－，3,0)，
设n＝(x，y，z)为平面A1BC的一个法向量，则，∴，即.
令y＝1，得平面A1BC的一个法向量n＝(，1,1)．
则sinβ＝＝＝，
又0＜β＜，∴cosβ＝＝，
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝1，即sin(α＋β)＝1.
解法二：由(1)可知A1B⊥BC，AB⊥BC，

∴∠A1BA为二面角A1－BC－A的平面角，即∠A1BA＝α，
在Rt△A1AB中，AB＝2，AA1＝4，
∴A1B＝2，
∴sinα＝sin∠A1BA＝＝，
cosα＝＝.
过点A在平面A1ABB1内作AF⊥A1B于F，连接CF，
则由平面A1BC⊥平面A1ABB1，且平面A1BC∩平面A1ABB1＝A1B，得AF⊥平面A1BC.
∴∠ACF为直线AC与平面A1BC所成的角，即∠ACF＝β.
在Rt△ACF中，AF＝＝，sinβ＝＝，cosβ＝＝.
∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝1，即sin(α＋β)＝1.
18．(本小题12分)为了丰富学生的课外生活，缓解高考压力，某中学高三(5)班成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(ξ＞0)＝.
(1)求文娱队的人数；
(2)写出ξ的分布列并计算Eξ.
解析：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有(7－x)人，那么只会一项的人数是(7－2x)人．
(1)∵P(ξ＞0)＝P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝，
∴P(ξ＝0)＝，即＝，
∴＝，∴x＝2.
故文娱队共有5人．
(2)P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P

∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
19．(本小题12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线l为圆O：x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.
(1)若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆的右顶点，求e的大小；
(2)在(1)的条件下，设椭圆的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，过A、B、F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝0相切，求椭圆方程．
解析：(1)如图，设直线l与圆O相切于C点，椭圆的右顶点为D，则由题意知△OCD为直角三角形，且OC＝b，OD＝a，∠ODC＝，

∴CD＝＝＝c(c为椭圆的半焦距)，
∴椭圆的离心率e＝＝cos＝.
(2)由(1)知，＝，∴设a＝2m(m＞0)，则b＝m，
∴椭圆方程为＋＝1.
∴A(0，m)，∴AF＝2m，kAF＝，∴∠AFB＝60°，
在Rt△AFB中，有FB＝4m，∴B(3m,0)，设FB的中点为G，则G(m,0)，
∵△AFB为直角三角形，
∴过A、B、F三点的圆的圆心为斜边FB的中点G，且半径为2m，
∵圆G与直线l：x＋y＋3＝0相切，∴＝2m，
∵m是大于0的常数，∴m＝1，
故所求的椭圆方程为＋＝1.
20．(本小题14分)已知数列{an}中，a2＝p(p是不等于0的常数)，Sn为数列{an}的前n项和，若对任意的正整数n都有Sn＝.
(1)证明：数列{an}为等差数列；
(2)记bn＝＋，求数列{bn}的前n项和Tn；
(3)记cn＝Tn－2n，是否存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈(，3)，若存在，请证明你的结论，并给出一个具体的N值；若不存在，请说明理由．
解析：(1)由S1＝a1＝＝0得a1＝0,
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－an－1，故(n－2)an＝(n－1)an－1，
故当n＞2时，an＝an－1＝··…····a2＝(n－1)p，由于n＝2时a2＝p，n＝1时a1＝0，也适合该式，故对一切正整数n，an＝(n－1)p，an＋1－an＝p，由于p是常数，故数列{an}为等差数列．
(2)Sn＝＝，
bn＝＋＝＋＝2＋2(－)，
∴Tn＝2n＋2(1－＋－＋－＋－＋…＋－＋－)
＝2n＋2(1＋－－)
＝2n＋3－2(＋)．
(3)cn＝Tn－2n＝3－2(＋)＜3对所有正整数n都成立；
若cn＞，即3－2(＋)＞⇒＋＜，记f(n)＝＋，则f(n)单调递减，又f(6)＝＋＞＋＝，f(7)＝＋＜＋＝，故只要取N＝6，则当n＞N时，f(n)＜.
故存在正整数N，使得当n＞N时，恒有cn∈(，3)．N可以取所有不小于6的正整数．
21．(本小题14分)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.
(1)若f(x)在(0，)上是减函数，求a的取值范围；
(2)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
解析：(1)f′(x)＝－2x＋a－，
∵f(x)在(0，)上为减函数，
∴x∈(0，)时－2x＋a－＜0恒成立，即a＜2x＋恒成立．
设g(x)＝2x＋，则g′(x)＝2－.
∵x∈(0，)时＞4，∴g′(x)＜0，∴g(x)在(0，)上单调递减，g(x)＞g()＝3，∴a≤3.
(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0必须有两个不等的正实数根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根．
故a应满足⇒⇒a＞2，
∴当a＞2时，f′(x)＝0有两个不等的正实数根，
不妨设x1＜x2，
由f′(x)＝－(2x2－ax＋1)＝－(x－x1)(x－x2)知，0＜x＜x1时f′(x)＜0，x1＜x＜x2时f′(x)＞0，x＞x2时f′(x)＜0，
∴当a＞2时，f(x)既有极大值f(x2)又有极小值f(x1)．
22．(本小题10分)选修4－1：几何证明选讲
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线MN交AD的延长线于点C，BM＝MN＝NC＝1，求AB的长和⊙O的半径．

解析：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，∴∠BAC＝90°，AB2＝BM·BN.
∵BM＝MN＝NC＝1，∴2BM2＝AB2，∴AB＝.
∵AB2＋AC2＝BC2，∴2＋AC2＝9，AC＝.
∵CN·CM＝CD·CA，∴2＝CD·，∴CD＝.
∴⊙O的半径为(CA－CD)＝.
23．(本小题10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知点A是曲线ρ＝2sinθ上任意一点，求点A到直线ρsin(θ＋)＝4的距离的最小值．
解析：曲线ρ＝2sinθ化为直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.
直线ρsin(θ＋)＝4化为直角坐标方程为x＋y－8＝0.
圆心(0,1)到直线的距离为d＝.
则圆上的点到直线的最小距离为.即点A到直线ρsin(θ＋)＝4的最小距离为.
24．(本小题10分)选修4－5：不等式选讲
已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：
(＋＋)(＋＋)≥9.
解析：由于a＞0，b＞0，c＞0，设＝x，＝y，＝z，得x＞0，y＞0，z＞0.
(x＋y＋z)(＋＋)≥(3)(3)＝9.
当且仅当x＝y＝z时等号成立．即(＋＋)(＋＋)≥9，当且仅当＝＝时等号成立．

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