高考数学专题复习测试卷7.doc

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第九讲　指数与指数函数
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)
1．(2010·番禺质检)下列结论中正确的个数是(　　)
①当a<0时，(a2)＝a3；②＝|a|；③函数y＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是(2，＋∞)；④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A．0　　　　　　　　B．1
C．2 D．3
解析：根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断．①中，当a<0时，(a2)>0，a3<0，所以(a2)≠a3；②中，当n为奇数时，＝a；③中，函数的定义域应为∪；④中，由已知可得2a＋b＝lg5＋lg2＝lg10＝1，所以只有④正确，选B.
答案：B
2．()4·()4(a≥0)的化简结果是(　　)
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：原式＝()4·()4＝a4，选C.
答案：C
3．若函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数，则有(　　)
A．a＝1或a＝4 B．a＝1
C．a＝4 D．a>0，且a≠1
解析：因为“一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数”，所以函数y＝(a2－5a＋5)·ax是指数函数的充要条件为解得a＝4，故选C.
答案：C
评析：解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征：(1)指数里面只有x，且次数为1，不能为x2，等；(2)指数式ax的系数为1，但要注意有些函数表面上看不具有指数函数解析式的形式，但可以经过运算转化为指数函数的标准形式．
4．在平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝21－x图象关于(　　)
A．原点对称 B．x轴对称
C．y轴对称 D．直线y＝x对称
解析：y＝2x左移一个单位得y＝2x＋1，y＝2－x右移一个单位得y＝21－x，而y＝2x与y＝2－x关于y轴对称．
∴f(x)与g(x)关于y轴对称．
答案：C
5．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝得a2＝，
∴a＝(a＝－舍去)，
即f(x)＝|2x－4|.
由于y＝|2x－4|在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增，所以f(x)在(－∞，2)上递增，在(2，＋∞)上递减．故选B.
答案：B
6．已知函数f(x)＝x－log2x，实数a、b、c满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c)，若实数x0是方程f(x)＝0的一个解，那么下列不等式中，不可能成立的是(　　)
A．x0<a B．x0>b
C．x0<c D．x0>c
解析：如图所示，方程f(x)＝0的解即为函数y＝x与y＝log2x的图象交点的横坐标x0.由实数x0是方程f(x)＝0的一个解，若x0>c>b>a>0，则f(a)>0，f(b)>0，f(c)>0，

与已知f(a)f(b)f(c)<0矛盾，所以，x0>c不可能成立，故选D.
答案：D
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)
7．已知不论a为何正实数，y＝ax＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．
解析：因为指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y＝ax＋1－2的图象可由y＝ax(a>0，a≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所以函数y＝ax＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．
答案：(－1，－1)
8．函数y＝()x－3x在区间[－1,1]上的最大值为________．
答案：
9．定义：区间[x1，x2](x1<x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝2|x|的定义域为[a，b]，值域为[1,2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为________．
解析：[a，b]的长度取得最大值时[a，b]＝[－1,1]，区间[a，b]的长度取得最小值时[a，b]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为1.
答案：1
10．(2010·湖南师大附中期中)设f(x)＝，g(x)＝，计算f(1)g(3)＋g(1)f(3)－g(4)＝________，f(3)g(2)＋g(3)f(2)－g(5)＝________，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________．
答案：0　0　f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)
11．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)
∴
②÷①得a2＝4，
又a>0，且a≠1，∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.

12．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的取值范围．
分析：函数f(x)是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，
令g(x)＝－x2－4x＋3，
由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
而y＝t在R上单调递减，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
即函数f(x)的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)．
(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝h(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1，因此必有
，解得a＝1.
即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使y＝h(x)的值域为(0，＋∞)．应使h(x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.
评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．
13．已知函数f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，
解得2x＝1±.
∵2x>0，∴x＝log2(1＋)．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1>0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值范围是[－5，＋∞)．

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