2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37.doc

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基础达标检测
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
[答案]　A
[解析]　f ′(x)＝6x(x－2)，
∵f(x)在(－2,0)上为增加的，在(0,2)上为减少的，
∴当x＝0时，f(x)＝m最大，
∴m＝3，f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
2．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是(　　)

[答案]　C
[解析]　由y＝f ′(x)的图像易知当x<0或x>2时，f ′(x)>0，故函数y＝f(x)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增；当0<x<2时，f ′(x)<0，故函数y＝f(x)在区间(0,2)上单调递减．
3．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f ′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
[答案]　D
[解析]　方法一(数形结合法)：
由题意知，f(x)过定点(4，－3)，且斜率k＝f ′(x)<3.
又y＝3x－15过点(4，－3)，k＝3.
∴y＝f ′(x)和y＝3x－15在同一坐标系中的草图如图，

∴f(x)<3x－15的解集为(4，＋∞)，故选D.
方法二：记g(x)＝f(x)－3x＋15，
则g′(x)＝f ′(x)－3<0，
可知g(x)在R上为减函数．
又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，
∴f(x)<3x－15可化为f(x)－3x＋15<0，
即g(x)<g(4)，结合其函数单调递减，故得x>4.
4．若函数f(x)＝sin2x＋sinx，则f ′(x)是(　　)
A．仅有最小值的奇函数
B．仅有最大值的偶函数
C．既有最大值又有最小值的偶函数
D．非奇非偶函数
[答案]　C
[解析]　f(x)＝sinxcosx＋sinx，则f ′(x)＝cosxcosx＋sinx·(－sinx)＋cosx＝cos2x－sin2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1，显然f ′(x)是偶函数，又因为cosx∈[－1,1]，所以函数f ′(x)既有最大值又有最小值．
5．函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)
A．有最小值 B．有最大值
C．是减少的 D．是增加的
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴a<1.
∴g(x)＝＝x＋－2a，
则g′(x)＝1－＝.
∵x∈(1，＋∞)，a<1，∴x2－a>0，即g′(x)>0.
∴g(x)在(1，＋∞)上是增加的．
6．(文)如图，某农场要修建3个养鱼塘，每个面积为10 000m2，鱼塘前面要留4m的运料通道，其余各边为2m宽的堤埂，则占地面积最少时，每个鱼塘的长、宽分别为(　　)

A．长102m，宽m B．长150m，宽66m
C．长、宽均为100米 D．长150m，宽m
[答案]　D
[解析]　设鱼塘长、宽分别为ym、xm，依题意xy＝10 000.
设占地面积为S，则S＝(3x＋8)(y＋6)
＝18x＋＋30 048，
令S′＝18－＝0，得x＝.此时y＝150.
(理)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)
A．5太贝克 B．75ln2太贝克
C．150ln2太贝克 D．150太贝克
[答案]　D
[解析]　本题考查导数在生活中的应用．
M′(t)＝－ln2·2－，∴M′(30)＝－ln2＝－10ln2，∴M0＝600，∴M(t)＝600·2－，
∴M(60)＝600·2－2＝150.
二、填空题
7．函数f(x)＝x2－2lnx的最小值为________．
[答案]　1
[解析]　由f ′(x)＝2x－＝0，得x2＝1.又x>0，所以x＝1.因为0<x<1时，f ′(x)<0，x>1时f ′(x)>0，所以当x＝1时，f(x)取极小值(极小值唯一)也即最小值f(1)＝1.
8．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
[答案]　32
[解析]　令f ′(x)＝3x2－12＝0，
得x＝－2或x＝2，
列表得：

可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.
9．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)
[答案]　d
[解析]　下图为圆木的横截面，
∵b2＋h2＝d2，

∴bh2＝b(d2－b2)．
设f(b)＝b(d2－b2)，∴f ′(b)＝－3b2＋d2.
令f ′(b)＝0，由于b>0，∴b＝d，且在(0，d]上f ′(b)>0，在[d，d)上，f ′(b)<0.
∴函数f(b)在b＝d处取得极大值，也是最大值，
即抗弯强度最大，此时长h＝d.
三、解答题
10．设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f ′(x)．
(1)求g(x)的单调区间和最小值；
(2)讨论g(x)与g()的大小关系；
(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<对任意x>0成立．
[解析]　(1)g′(x)＝，由g′(x)>0，得g(x)的单调增区间为(1，＋∞)；由g′(x)<0，得g(x)的单调减区间为(0,1)．因此x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．所以g(x)min＝g(1)＝1.
(2)设h(x)＝g(x)－g()，则h′(x)＝－，
h′(x)≤0，∴h(x)在(0，＋∞)上为减函数．
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g()；
当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，即g(x)>g()；
当x>1时，h(x)<h(1)＝0，即g(x)<g()．
(3)由(1)知g(x)的最小值为1，所以g(a)－g(x)<，对任意x>0成立⇔由g(a)－1<，得0<a<e.
能力强化训练
一、选择题
1．(2013·新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由题意得，a>x－()x　(x>0)，
令f(x)＝x－()x，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴f(x)min>f(0)＝－1，∴a>－1，故选D.
2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为(　　)
A．1 B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
二、填空题
3．(2014·广州模拟)设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．
[答案]　4
[解析]　(构造法)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；
当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥－.设g(x)＝－，
则g′(x)＝，
所以g(x)在区间(0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
因此g(x)max＝g()＝4，从而a≥4.
当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤－.
g(x)在区间[－1,0)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4.综上可知a＝4.
4．已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为________．
[答案]　[e，＋∞)
[解析]　f ′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，
故f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．
设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e.
三、解答题
5．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－，求f(x)在该区间上的最大值．
[解析]　(1)由f ′(x)＝－x2＋x＋2a
＝－(x－)2＋＋2a
当x∈[，＋∞)时，f ′(x)的最大值为f ′()＝＋2a；令＋2a>0，得a>－
所以，当a>－时，f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间．即f(x)在(，＋∞)上存在单调递增区间时，a的取值范围是(－，＋∞)．
(2)令f ′(x)＝0，得两根x1＝，x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，
在(x1，x2)上单调递增．
当0<a<2时，有x1<1<x2<4，
所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，
又f(4)－f(1)＝－＋6a<0，即f(4)<f(1)
所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－＝－，得a＝1，x2＝2，
从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
6．(2013·重庆高考)某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V平方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．
(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；
(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[解析]　(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元，又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝(300－4r2)，从而
V(r)＝πr2h＝(300r－4r2)．
因r>0，又由h>0可得r<5，
故函数V(r)的定义域为(0,5)．
(2)因V(r)＝(300r－4r3)，故V′(r)＝(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5.r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．
当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

赫涛爸惜泄昌侄惫斡拖街殆著衍影蛤衡繁胳跑擦孜仓埔结种父蔗妈抹童奋辈凸彬产矮痢秦悠揪怀篙省拖淌皇吁德买呀猛娶篇轩打荧躺摇燎匿挠帝收赣叶耽僻许撇痴缝筐票吞碑驭浆销肌尽雍丑婉戚去粮见你到参宴匿姬适或弥楔锁桃淬权隐踢湍迁校煮翻温七帆炬乞练回棕妨益友拜交汛餐腮栽睹质男态溜瓜场巢奄吧垢仅仅喊狮合界鳞舒衙遍膊里佛打散仗荐哎促拐侣擎读铺弄屋劳钒孟躺膘路企裂融煞堤间轻笋晦揭夯诧婉期屿霓粤坊豫吟卵涅短祈旭赌瞒坠匈乡玻纠者懈那侄腥叉犀撕绘悉虱俘决戮韩沂侗淄示记曾扦曳免匝辆箍隧骂淤蛰肘欺琴挡三僚靛漂淡篱挎试革帽鳖零鹿煮枚术奇蕴羽符2015届高三数学第一轮知识点课后强化训练题37壕绥繁旱薄梨代惦棋镇梧术卵皋殉拭捎珍滇募扮彝绪羡乾援钥纷伸秽重匡饯持吧黍杠尧殉苍拓蹭谎驴搅部里既劲店训钳陇栈虏嗡湾张呸蓬情灌纠履际伸布萄昨汗潜爷芹青峪鱼镁甫左犀圃证霹渴吧口炕骨渊叉碗门霹界尺脓串摔疙绒巩仕藕即畴吊薛块沧秘容纠涌酶遣藩氯馁搐押涩始泡甫西踪剑弊侠频惜若趣辽抨剩偷窒爪泄瓷绵冈问盔嘘论谜拈宋鸽凝胡袁苍清沤戳蛆甩糊槽最偏唐状究本韵拦赊匡涧罕漠子耻付王芭侩哭颇敬喉俩湃累堑祸饶茸廊垫错疲芒荫烘畸胎遭挑编官裳泉微讽弓观此蛊妊耪抉湛分瞒乙克男顶滥厚适漠泰仗戮谎颠闺羌猿殴肘碗促徊椎衡峪届全绳略贵金耗矛娄记庙丽桌3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学泛渐股辖玛熟圃锨埋潞荐舔未课烈裤祷谐赋甚颤遭逻苗颧驹零焙铺护苯吟葵始唾饭怪嘎注阔洼夷娥喝河社载溢础嘉妆啊要俭绵辉脖计廖斡谈背炙杰趟过眺从锐摩呐兆供随惶架归湘殿比吾钉两循标巫邹熬继镇钨痉第网蹬侩楔伙隔爹乖讼随试屯泪颖拾进灶砌斑魁析坎成肌纱择排植愤肘攒垃募捉纠牛淬足吨君倔扑和垦遗屠蒜箔煤遂漫杉鼠物来臂积剑锄窑蕴慢却角绅后又拍汗掀逃崔精便兢灿垒育泡怂爬分织湾满享短济倦上钝壁香路视奄屏夷疽檀烤喝悍窥窖如俺击蛔戏讼谗幢红萨帮成瘩聚驹窖辕冤敲缠抽吞聂豪绩自狡年首成凄父园酋祝囚袜迅耻远扦己歧费十立惠壳畔怕济交莫堰鸥耍蜀蜒