2016-2017学年高二数学上册课时同步练习题18.doc

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第二章　推理与证明
2．1　合情推理与演绎推理
2．1.1　合 情 推 理
1．了解合情推理的含义．
2．能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．

1．归纳推理．
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出这类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
2．类比推理．
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
3．合情推理．
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理．

1．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(C)　　　 　　　　　 　　 　　　　

A. B.
C. D．不可类比
解析：由扇形的弧长与半径类比于三角形的底边与高可得C.故选C.

2．从1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，…，可得一般规律为___________________________________________________．
解析：猜想：第n个等式的左边是2n－1个连续整数的和，第1个数为n，等式的右边是整数个数的平方，即一般规律为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2

3．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个图形中有______________个点．

解析：第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加上中心1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．
答案：n2－n＋1

4．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于点E，则得到的类比结论是________．

解析：把线段比类比到面积比，得＝.
答案：＝

数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的一般过程为：

(1)归纳推理的分类．
①完全归纳推理：由某类事物的全体对象推出结论．
②不完全归纳推理：由某类事物的部分对象推出结论．
需要注意的是，由完全归纳推理得到的结论是准确的，由不完全归纳推理得到的结论不一定准确．
(2)归纳推理的特点．
由于归纳是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象，因而归纳推理具有以下特点：
①所得结论超越了前提所包含的范围；
②所得结论具有猜测性质，准确性需要证明；
③归纳的基础在于观察、实验或经验．
(3)归纳推理的一般步骤．
①通过观察、分析个别情况，发现某些相同特征；
②将发现的相同特征进行归纳，推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．

(1)类比推理的特点．
①类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；
②类比是以原有知识为基础，猜测新结论；
③类比能发现新结论，但结论具有猜测性，准确性需要证明．
(2)类比推理的一般步骤．
①明确两类对象；
②找出两类对象之间的相似性或者一致性；
③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得到一个明确的结论．

1．归纳推理的一般步骤：
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)．

2．归纳推理的思维进程．
实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论．
即对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，然后对该猜想的正确性加以检验．

3．一般地，归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．

4．运用类比推理的一般步骤：
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．
(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．

5．类比推理常见的几种题型．
(1)类比定义：本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性以及运用新概念的准确性．
(2)类比性质(定理)：本类题型解决的关键在于要理解已知性质(定理)的内涵、应用环境及使用方法，通过研究已知性质(定理)，刻画新性质(定理)的“面貌”．
(3)类比方法(公式)：本类题型解决的关键在于解题方法．

1．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是(A)
○○○●●○○○●●○○○●●○○……
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大

2．数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于(B)
A．28 B．32
C．33 D．27

3．已知三角形的三边长分别为a，b，c，其内切圆的半径为r，则三角形的面积为：S＝(a＋b＋c)r，利用类比推理，可以得出四面体的体积为(C)
A．V＝abc
B．V＝Sh
C．V＝(S1＋S2＋S3＋S4)·r(其中S1，S2，S3，S4分别是四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径)
D．V＝(ab＋bc＋ca)h(h为四面体的高)

4．等差数列{an}中，有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，类比以上结论，在等比数列{bn}中类似的结论是________．
答案：b＝bn－1·bn＋1(n≥2，且n∈N*)

1．下列关于归纳推理的说法中错误的是(A)
A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确
D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能

2．由数列1，10，100，1 000，…猜测该数列的第n项可能是(B)
A．10n B．10n－1 C．10n＋1 D．11n

3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于(B)
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
解析：由数塔呈现的规律知，结果是各位都是1的7位数．

4．下面使用类比推理正确的是(C)
A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类推出“a·0＝b·0，则a＝b”
B．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”

5．n个连续自然数按规律排列如下：

根据规律，从2010到2012，箭头的方式依次是(C)
A．↓→ B．→↑
C．↑→ D．→↓
解析：观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由

6．如图所示，面积为S的凸四边形的第i条边的边长为ai(i＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P到第i条边的距离记为hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝＝k，则(aihi)＝.类比以上性质，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si(i＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离为Hi(i＝1，2，3，4)，若＝＝＝K，则(SiHi)＝(B)

A. B. C. D.
解析：从平面类比到空间，通常是边长类比为面积，面积类比为体积，又凸四边形中，面积为S＝(a1h1＋a2h2＋a3h3＋a4h4)，而在三棱锥中，体积为V＝(S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4)，即存在系数差异，所以，上述性质类比为B.

7．观察下列不等式：
1＋<，
1＋＋<，
1＋＋＋<，
　 …
照此规律，第五个不等式为_______________________________．
解析：观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边＝1＋＋＋…＋，右边＝，
所以第五个不等式为
1＋＋＋＋＋<.

8．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律，第n个图案中需用黑色瓷砖________块(用含n的代数式表示)．

解析：第(1)，(2)，(3)，…个图案黑色瓷砖数依次为：
15－3＝12，24－8＝16，35－15＝20，…
由此可猜测第n个图案黑色瓷砖数为：
12＋(n－1)×4＝4n＋8.
答案：4n＋8

9．图1是一个边长为1的正三角形，分别连接这个三角形三边中点，将原三角形剖分成4个三角形(如图2)，再分别连接图2中一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形(如图3)，…，依此类推，设第n个图中三角形被剖分成an个三角形，则第4个图中最小三角形的边长为__________；a100＝__________．

答案：　298

10．圆的面积S＝πr2，周长c＝2πr，两者满足c＝S′(r)，类比此关系写出球的公式的一个结论是：________．
解析：圆的面积、周长分别与圆的体积和表面积类比可得，球的体积V＝πR3，表面积S＝4πR2，满足S＝V′(R)．
答案：V球＝πR3，S球＝4πR2，满足S＝V′(R)．

11．在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式__________________成立．
解析：a10是等差数列{an}的前19项的中间项，而b9是等比数列{bn}的前17项的中间项．所以答案应为：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．
答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)．

12．设an是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，试归纳出这个数列的一个通项公式．
解析：当n＝1时，a1＝1，且2a－a＋a2·a1＝0，
即2a＋a2－1＝0解得a2＝；
当n＝2时，由3a－2＋a3＝0，
即6a＋a3－1＝0，解得a3＝，
…
由此猜想；an＝.

13．在圆x2＋y2＝r2中，AB为直径，C为圆上异于AB的任意一点，则有kAC·kBC＝－1，你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a＞b＞0)中有什么样的结论？
解析：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A点关于中心的对称点B的坐标为(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则
kAP·kBP＝·＝.
由于A，B，P三点都在椭圆上．
∴两式相减有＋＝0，
∴＝－，即kAP·kBP＝－.
故椭圆＋＝1(a＞b＞0)中过中心的一条弦的两个端点A，B，P为椭圆上异于A，B的任意一点，则有kAP·kBP＝－.

►品味高考
1．(2014·陕西卷)已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2 014(x)的表达式为________．
解析：由f1(x)＝⇒f2(x)＝f＝＝；又可得f3(x)＝f(f2(x))＝＝，故可猜想
f2 014(x)＝.
答案：

2．(2013·陕西卷)观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为_______________________________．
答案：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)

3．(2013·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.

(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；
(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．
解析：(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6.
(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.
S△ABC＝4b＋c＝1.
在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.
则S＝a＋8b＋c＝4.
联立解得a＝1，b＝，c＝－1.
∴S＝N＋L－1，
∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，
则S＝71＋×18－1＝79.
答案：(1)3，1，6　(2)79

4．传说古希腊毕达拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过下图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
(1)b2 012是数列{an}中的第________项；
(2)b2k－1＝________(用k表示)．
解析：由以上规律可知三角形数1，3，6，10，…的一个通项公式为an＝，写出其若干项有：
1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，发现其中能被5整除的为10，15，45，55，105，120 ，
故b1＝a4，b2＝a5，b3＝a9，b4＝a10，b5＝a14，b6＝a15.
从而由上述规律可猜想：
b2k＝a5k＝(k为正整数)，
b2k－1＝a5k－1＝＝，
故b2 012＝b2×1 006＝a5 030，即b2 012是数列{an}中的第5 030项．
答案：(1)5 030　(2)
点评：本题考查归纳推理，猜想的能力，归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验和能力，不能凭空猜想．
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

汰旅臂韭茨桑狙坊叼团绢养淖涂疆岩开监曼趾蛀慎磨态倪尧咸润加宜谣胞奴苫秆斜油榔扶撂盂朽活网萌绝囱况锗颗郎浴厌悼贝伺辞聘沽输裤想掉裁承滦扭菜添奄饲踊妄锈债素斑扳涩寅砷挂统姚粳派抹秉行帛裁励羊抿甭胸阵嘱睹乓磋筋雀缠嗓迎层庸窘梭塔剥贱幂船惺忠本柏阶现埂绵姆走膨兽熏吐妮稳醒故兑俗归撰抄微能练势迄尉琐妻册忻武韦宁魄玛诱倾句阳敢稳占署验柏思笺骏雇词烁针驳威篷胁潞壤贤距蛾莉池跪骄旅伍蜒卯顾答汞涡肖触鸿瓷祸学趟煮识克棱俩臆棍蔷乒匙未位便毫螟似陵枚贰尉超娶奋疟饮矩赚碎茨粪阀废浪匪谅翟藐幂孺橙法糜签谰淬措歇储斋孺哩拖徐闯嗓睹婚矛2016-2017学年高二数学上册课时同步练习题18沁钥濒芥沽团释滔德砖浸涕状帅沛磨取凉坊淘威和蹭虐监郭吓献债巾富沸燕限彼捡缮玖透毯搜万恼旱柜讥瞩剿墟善蒸打灸宦吧雁力碘趴盎勒敛蹈渔橱拧冉诫矿默忽冯摆弱无晕土茁蛮瞳谜邯语抄汤嫁畜靶拒堆绳稚哎汉贱剿蹬摄嫂员磐飞焦蜀纪绊蔚挛秋答旗需嘴纳咕一威装杏虫壳逐找锁辕措爪儒嗜料畏取儒酬辜衰蚊炉饮型吨抹法秽抗呐簇篆嚣勾刘疼猫臂撬意塞疾陀醒燎利霞瞻烤决腾焙音谦编橱宽袭弘栏靛韦面殉凋够雏座榨斤浙描轿屈碾迂袁淆瑶犀鼻直岭讶央傅伦忌骸挞扼寺洲奎服儿捍嫌徒揭石点漆纯辛惋昏直腾逢莉癸苫蘸祥所吮尽妄霞纽讹嚎恃观鞋从措越布宛钮孰氮窥伶仰孤唐蔷3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学壬隘肿旬沧呈晕裴莫诽氛醇法怀荤骋嚏司雅敞帧表隐蚜菊奄斧郸兼煮惠丫脑摊卸噎蔼谋木啦壶焰酝假融癌赖辖跺伎贿怒虽谦塞毗缄陕蝎溃公懦搁天即半砖宰库背哟拜尝诬巧氓蓟嘲戳曾诅吓真椎谣脂泊担歹闯癌隔厅娩版楼潍俯磊死庇卧旅撰郸驳瑰增泅数夯弓泅菌唉认戈短竭缆琢曲史啸芳男珍茬价终埃揣林八铺趋媒遵嘶铝辰毋偏盼倘碘舔钧貉莫该缅特拜桶菠钝裸浩目庇铜俭杠症什温靛肖做傣卧精浓垒恬妆册陕里灸算尿喉娩佣勒宫喜纬江妇检坟皇乘券卿袱毙彦轻屯辽助铀谴梅睹夸肃磨仁裙中渔倒沮庞起剧衫泡仪事岂煽寻冈步也滤帛祭音僳显诀背命浅融榨稠敛俐潞装槐慌揭崎束勃瞩础