2015届高考文科数学第一轮备考训练题28.doc

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1．[2013·安徽]设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cosx－an＋2sinx满足f′＝0.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝2，求数列{bn}的前n项和Sn.
解析：(1)由题设可得，
f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sinx－an＋2cosx.
对任意n∈N*，
f′＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0，即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列．
由a1＝2，a2＋a4＝8，解得{an}的公差d＝1，
所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
(2)由bn＝2＝2＝2n＋＋2知，
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝2n＋2·＋＝n2＋3n＋1－.
答案：(1)an＝n＋1；(2)Sn＝n2＋3n＋1－
2．[2013·广东]设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
(1)证明：a2＝；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)∵4a1＝a－4－1＝a－5，
∴a＝4a1＋5.又a2>0，
∴a2＝.
(2)由题设条件，当n≥2时，
4an＝4(Sn－Sn－1)
＝(a－4n－1)－[a－4(n－1)－1]
＝a－a－4，
整理得(an＋1－an－2)(an＋1＋an＋2)＝0.
注意到an>0得an＋1－an＝2，n≥2.
∵a2，a5，a14成等比数列，
∴a＝(a2＋6)2＝a2(a2＋24)．
解得a2＝3，
∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1，n≥2.
又由(1)得a1＝1，
故对一切正整数n，有an＝2n－1.
(3)＋＋…＋＝＋＋…＋
＝
＝<.
答案：(1)证明略；(2)an＝2n－1；(3)证明略．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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