2016届高考数学第二轮专题复习检测14.doc

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突破练(一)
1.已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝，b＝1，求c的值．
解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，
所以f(B)＝sin ＝1，
又∈，
所以2B＋＝，
所以B＝.
(2)法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得
c2－3c＋2＝0，
所以c＝1，或c＝2.
法二　由正弦定理＝＝得sin A＝，
所以A＝或A＝，当A＝时，C＝，所以c＝2；
当A＝时，C＝，所以c＝1.
2.如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.

(1)求证：AB∥GH；
(2)求二面角D－GH－E的余弦值．
(1)证明　因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，
所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC.
又EF⊄平面PCD，DC⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
又EF⊂平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，
所以EF∥GH.又EF∥AB，
所以AB∥GH.
(2)解　在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ，
所以∠ABQ＝90°.
又PB⊥平面ABQ，
所以BA，BQ，BP两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设BA＝BQ＝BP＝2，则E(1,0,1)，F(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)．
所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)，＝(－1，－1,2)，＝(0，－1,2)．
设平面EFQ的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
由m·＝0，m·＝0，
得取y1＝1，得m＝(0,1,2)．
设平面PDC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
由n·＝0，n·＝0，
得取z2＝1，得n＝(0,2,1)，
所以cos〈m，n〉＝＝.
因为二面角D－GH－E为钝角，
所以二面角D－GH－E的余弦值为－.
3．某企业为打入国际市场，决定从A，B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示：
(单位：万美元)
项目
类别
年固定成本
每件产品成本
每件产品销售价
每年最多可生产的件数
A产品
20
m
10
200
B产品
40
8
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[6,8]．另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；
(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?
请你作出规划．
解　(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，得生产A，B两种产品的年利润y1，y2分别为
y1＝10x－(20＋mx)＝(10－m)x－20(x∈N,0≤x≤200)，
y2＝18x－(8x＋40)－0.05x2＝－0.05x2＋10x－40(x∈N,0≤x≤120)．
(2)因为6≤m≤8，
所以10－m>0，函数y1＝(10－m)x－20是[0,200]上的增函数，
所以当x＝200时，生产A产品有最大利润为(10－m)×200－20＝1 980－200m(万美元)．
又y2＝－0.05(x－100)2＋460(x∈N,0≤x≤120)．
所以当x＝100时，生产B产品有最大利润为460万美元．
因为y1max－y2max＝1 980－200m－460＝
1 520－200m
所以当6≤m<7.6时，可投资生产A产品200件；
当m＝7.6时，要生产A产品与生产B产品均可；
当7.6<m≤8时，可投资生产B产品100件．
4．如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程；
(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．
解　(1)由题意得
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．
由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，
则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，
故点O到直线l1的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.
由
消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－.
所以|PD|＝.
设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|
＝，所以S＝
≤＝，
当且仅当k＝±时取等号．
所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.
5．数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*.
(1)求a3的值；
(2)求数列{an}前n项和Tn；
(3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2ln n.
(1)解　a1＝1，a1＋2a2＝2，a2＝，a1＋2a2＋3a3＝4－，a3＝.
(2)解　n≥2时，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝4－，
与原式相减，得nan＝，an＝，n＝1也符合，
Tn＝＝2－.
(3)证明　n≥2时，
bn＝＋an＝＋an
故Sn＝i＝a1＋＋a2＋＋a3＋…＋＋an
＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝Tn
＝<2，
只需证明2<2＋2ln n，n∈N*.
对于任意自然数k∈N，
令x＝－∈(－1,0)时，ln＋<0，
即<ln(k＋1)－ln k.
∴k＝1时，<ln 2－ln 1，
k＝2时，<ln 3<ln 2.
…
k＝n－1时，<ln 2－ln(n－1)．
∴1＋＋＋…＋<1＋(ln 2－ln 1)＋(ln 3－ln 2)＋…＋[ln n－ln(n－1)]，
即1＋＋＋…＋<1＋ln n，
所以n≥2时，2<2＋2ln n，
综上n∈N＋时，Sn<2＋2ln n.
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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