2016届高考数学第二轮知识点强化练习题16.doc

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6　不等式与线性规划、推理与证明、框图
时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2015·山东文，1)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝(　　)
A．(1,3)　　　　　　　　 B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
[答案]　C
[解析]　考查1.集合的基本运算；2.一元二次不等式的解法．
因为B＝{x|1＜x＜3}，所以A∩B＝(2,3)，故选C.
(理)(2015·南昌市一模)若集合A＝{x|1≤3x≤81}，B＝{x|log2(x2－x)>1}，则A∩B＝(　　)
A．(2,4] B．[2,4]
C．(－∞，0)∪[0,4] D．(－∞，－1)∪[0,4]
[答案]　A
[解析]　因为A＝{x|1≤3x≤81}＝{x|30≤3x≤34}＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|log2(x2－x)>1}＝{x|x2－x>2}＝{x|x<－1或x>2}，所以A∩B＝{x|0≤x≤4}∩{x|x<－1或x>2}＝{x|2<x≤4}＝(2,4]．
2．(2015·广东文，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
[答案]　D
[解析]　考查函数的奇偶性．
函数f(x)＝x＋sin 2x的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝－x＋sin(－2x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋sin 2x是奇函数；函数f(x)＝x2－cos x的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x是偶函数；函数f(x)＝2x＋的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝2－x＋＝＋2x＝f(x)，所以函数f(x)＝2x＋是偶函数；函数f(x)＝x2＋sin x的定义域为R，关于原点对称，因为f(1)＝1＋sin 1，f(－1)＝1－sin 1，所以函数f(x)＝x2＋sin x既不是奇函数，也不是偶函数；故选D．
3．(文)(2015·福建文，1)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
[答案]　A
[解析]　考查复数的概念．
由已知得3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2，选A.
(理)(2015·新课标Ⅱ文，2)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
[答案]　D
[解析]　考查复数运算与复数相等的条件．
由题意可得2＋ai＝(1＋i)(3＋i)＝2＋4i⇒a＝4，故选D．
4．(文)(2015·浙江文，3)设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案]　D
[解析]　考查1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质．
本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D．
(理)已知a1、a2∈(1，＋∞)，设P＝＋，Q＝＋1，则P与Q的大小关系为(　　)
A．P>Q B．P<Q
C．P＝Q D．不确定
[答案]　B
[解析]　∵a1>1，a2>1，
∴P－Q＝(＋)－(＋1)＝
＝<0，∴P<Q，故选B．
5．执行如图所示的程序框图．若输出y＝－，则输入角θ＝(　　)

A. B．－
C. D．－
[答案]　D
[解析]　由输出y＝－得，
或∴θ＝－.
6．(文)(2015·湖南理，4)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最小值为(　　)
A．－7 B．－1
C．1 D．2
[答案]　A
[解析]　如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，如图，从而可知当直线3x－y＝z经过点A时，－z最大，即当x＝－2，y＝1时，z＝3x－y取到最小值－7，故选A.

(理)(2015·南昌市二模)若实数x，y满足条件则x－3y的最小值为(　　)
A．－5 B．－3
C．1 D．4
[答案]　A
[解析]　不等式组表示的平面区域如图所示，平移直线x－3y＝0知，当直线z＝x－3y经过点B(1,2)时，z取得最小值，zmin＝1－3×2＝－5.

7．(文)(2015·四川文，6)执行如图所示的程序框图，输出S的值为(　　)

A．－ B．
C．－ D．
[答案]　D
[解析]　考查程序框图．
k＝4时，不满足k>4，第四次执行循环体，第四次循环后，k＝5，此时不满足条件，∴S＝sin＝，故输出，选D．
(理)(2015·湖南理，3)执行如图所示的程序框图．如果输入n＝3，则输出的S＝(　　)

A. B．
C. D．
[答案]　B
[解析]　考查1.程序框图；2.裂项相消法求数列的和．
由题意得，输出的S为数列的前三项和，而＝，
∴Sn＝＝⇒S3＝，故选B．
8．已知a、b分别为直线y＝x＋1的斜率与纵截距，复数z＝在复平面上对应的点到原点的距离为(　　)
A．1　　　　 B．2
C．4　　　　 D．
[答案]　B
[解析]　由已知得，a＝1，b＝1，z＝＝＝＝－2i，故复数z在复平面上对应的点的坐标为(0，－2)，所求距离为2，选B．
9．(文)设实数x、y满足条件则y－4x的最大值是(　　)
A．－4 B．－
C．4 D．7
[答案]　C
[解析]　作出可行域如图，令y－4x＝z，则当直线y＝4x＋z经过点A(－1,0)时，zmax＝4.

(理)(2015·安徽文，5)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是(　　)
A．－1 B．－2
C．－5 D．1
[答案]　A
[解析]　根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：

由z＝－2x＋y得，y＝2x＋z，可知在图中A(1,1)处，z＝－2x＋y取到最大值－1，故选A.
10．(文)已知x、y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)
A．5　　　　 B．4　　　　
C.　　 　 D．2
[答案]　B
[解析]　本题考查线性规划与点到直线的距离．
如图所示

由解得
∴A点坐标为(2,1)，
z＝ax＋by在A点处取得最小值2，即
2a＋b＝2.
a2＋b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋b＝2的距离的平方是()2＝4.
(理)不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为(　　)
A．－2　　　 B．－1　　　
C．0　　 　 D．1
[答案]　D
[解析]　由于不等式组表示面积为1的直角三角形区域，∴直线y＝kx与直线x＝1垂直或与直线x＋y－4＝0垂直，再由围成面积为1的直角三角形区域知k＝1.

11．(文)已知x、y∈R，且满足，则x2＋y2－6x的最小值等于(　　)
A．－ B．－4
C．0 D．－1
[答案]　A
[解析]　作出可行域如图，x2＋y2－6x＝(x－3)2＋y2－9表示平面区域ABC内的点到点P(3,0)距离的平方减去9，
由于|PA|＝，P到直线y＝x的距离d＝，

∴x2＋y2－6x≥－，故选A.
(理)(2014·新课标Ⅱ文，8)执行下面的程序框图，如果输入的x、t均为2，则输出的S＝(　　)

A．4　　　　 B．5
C．6　　　　 D．7
[答案]　D
[解析]　程序运行过程依次为：x＝2，t＝2，M＝1，S＝3，k＝1→M＝×2＝2，S＝2＋3＝5，k＝2→M＝×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，∵3>2，不满足k≤t，输出S＝7后结束．
12．(文)(2015·北京理，6)设{an}是等差数列．下列结论中正确的是(　　)
A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0
B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2＞
D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0
[答案]　C
[解析]　考查等差数列通项公式；作差比较法．
先分析四个答案，A举一反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a2>0，而a2＋a3<0，A错误；B举同样反例a1＝2，a2＝－1，a3＝－4，a1＋a3<0，而a1＋a2>0，B错误；下面针对C进行研究，{an}是等差数列，若0<a1<a2，则a1>0，设公差为d，则d>0，数列各项均为正，由于a－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝a＋2a1d＋d2－a－2a1d＝d2>0，则a>a1a3⇒a2>，选C.
(理)(2015·广东文，10)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p＜s≤4,0≤q＜s≤4,0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F＝{(t，u，v，w)|0≤t＜u≤4,0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card (X)表示集合X中的元素个数，则card(E)＋card(F)＝(　　)
A．200 B．150
C．100 D．50
[答案]　A
[解析]　当s＝4时，p，q，r都是取0,1,2,3中的一个，有4×4×4＝64种，当s＝3时，p，q，r都是取0,1,2中的一个，有3×3×3＝27种，当s＝2时，p，q，r都是取0,1中的一个，有2×2×2＝8种，当s＝1时，p，q，r都取0，有1种，所以card(E)＝64＋27＋8＋1＝100，当t＝0时，u取1,2,3,4中的一个，有4种，当t＝1时，u取2,3,4中的一个，有3种，当t＝2时，u取3,4中的一个，有2种，当t＝3时，u取4，有1种，所以t、u的取值有1＋2＋3＋4＝10种，同理，v、w的取值也有10种，所以card(F)＝10×10＝100，所以card(E)＋card(F)＝100＋100＝200，故选A.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)
13．(文)(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个：11,22,33，…，99,3位对称数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999，则2n＋1(n∈N*)位对称数有________个．
[答案]　9×10n
[解析]　易知对称数的位数与个数如表：
位数
2
3
4
5
…
个数
9
90
90
900
…
∴2n＋1位对称数有9×10n个．
(理)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________．
[答案]　13＋23＋…＋n3＝
[解析]　本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，∴第n个等式右边是(1＋2＋3＋…＋n)2，即[]2，
故填13＋23＋…＋n3＝.
[方法点拨]　由几个表达式归纳得出一个包含已知表达式在内的一般结论时，要注意从数字规律、结构特征、符号规律等多方面进行考察，最重要的切入点还是结构特征．
14．(文)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．

[答案]　15
[解析]　由T＝T＋k可知T是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k的和，其和为.令≤105，得k≤14.故当k＝15时，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105，此时输出k＝15.
(理)(2014·河南豫东、豫北十所名校联考)如果执行如图所示的程序框图，那么输出S的值为________．

[答案]　2548
[解析]　程序运行过程为：k＝1，S＝0，k≥－50满足→S＝0－2×1＝－2，k＝1－1＝0，k≥－50满足→S＝－2－2×0＝－2，k＝0－1＝－1，k≥－50满足→S＝－2－2×(－1)，k＝－1－1＝－2，k≥－50满足…依次进行下去，到k＝－50时仍满足k≥－50，S的值减去2×(－50)，k＝－50－1＝－51，此时不再满足条件k≥－50，输出S的值后结束循环，故输出S的值为－2－2×(－1)－2×(－2)＋…－2×(－50)＝－2＋2(1＋2＋3＋…＋50)＝－2＋2×＝2548.
15．(文)不等式组表示的平面区域为D，则区域D的面积为________，z＝x＋y的最大值为________．
[答案]　2　2
[解析]　作出区域D如图，其面积S＝×2×2＝2，当直线z＝x＋y过点A(2,0)时，zmax＝2.

(理)如果直线ax－by＋5＝0(a>0，b>0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m>0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b＋)2＝的内部或圆上，那么的取值范围是________．
[答案]　[，]
[解析]　根据指数函数的性质，可知函数f(x)＝mx＋1＋1(m>0，m≠1)恒过定点(－1,2)，将点(－1,2)代入ax－by＋5＝0，可以得到a＋2b＝5.对作如下变形：
＝＝
＝.
由于(－1,2)始终落在所给圆的内部或圆上，
所以a2＋(b＋)2≤.
由解得或这说明点(a，b)在以A(1,2)和B(3,1)为端点的线段上运动，所以的取值范围是[，2]，从而＋的取值范围是[2，]，进一步可以推得的取值范围是[，]．
[点拨]　对于指数函数恒过定点的问题，就是让幂指数为零，则函数值必然为1.同时对于点在圆内和圆上的文字语言，只有准确翻译为符号语言，才能得到a，b的关系式，进一步求解后面的问题．另外，我们得到a，b表达式后，能否利用，来表示＋的范围，即为所求的结果，这个是难点，体现了数学中的转化思想的运用．
16．(文)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆＋＝1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上，类比上述结论：双曲线－＝1(a，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上．
[答案]　－＝0
[解析]　椭圆＋＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线＋＝0上．类比上述结论可知，双曲线－＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线－＝0上．
(理)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，…，xn)表示．设向量a＝(a1，a2，a3，…，an)，b＝(b1，b2，b3，…，bn)，规定向量a与b的夹角θ的余弦为cosθ＝.当a＝(1,1,1，…，1，b＝(－1，－1，1,1，…，1时，cosθ＝________.
[答案]　
[解析]　依据n维向量的坐标表示及n维向量a与b的夹角余弦公式得，当a＝(1,1,1，…，1，b＝(－1，－1，1,1，…，1时，ibi＝1×(－1)＋1×(－1)＋1×1＋…＋1×1＝n－4.
＝12＋12＋…＋12＝n，
＝(－1)2＋(－1)2＋12＋…＋12＝n，
∴cosθ＝＝.
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)(文)如图所示，在复平面内有三点P1、P2、P3对应的复数分别为1＋a、1＋2a、1＋3a，且OA＝1，|a|＝2，O为原点，若S△P1OP2＋S△P2OP3＝2，求对应的复数a.

[解析]　由向量加法的运算法则知，＋＝，i＝1,2,3.
∵P1、P2、P3对应的复数分别为1＋a、1＋2a、1＋3a，
∴、、对应的复数为a、2a、3a，
∴＝＝，即A、P1、P2、P3共线，
设与x轴正方向夹角为θ.
∵|a|＝2，∴S△AOP3＝||·||sinθ＝×1×|3a|·sinθ＝3sinθ.
∴S△AOP1＝||·||sinθ＝×1×|a|·sinθ＝sinθ.
显然S△P1OP2＋S△P2OP3＝S△OAP3－S△OAP1＝2sinθ.
从而2sinθ＝2，sinθ＝1，∵θ∈(0，π)，∴θ＝，
因此a＝2i.
(理)对于任意的复数z＝x＋yi(x、y∈R)，定义运算P(z)＝x2[cos(πy)＋isin(πy)]．
(1)集合A＝{ω|ω＝P(z)，|z|≤1，x、y均为整数}，试用列举法写出集合A；
(2)若z＝2＋yi(y∈R)，P(z)为纯虚数，求|z|的最小值；
(3)直线l：y＝x－9上是否存在整点(x，y)(坐标x、y均为整数的点)，使复数z＝x＋yi经运算P后，P(z)对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)⇒x2＋y2≤1，
由于x、y∈Z，得
∴P(±1)＝1，P(±i)＝0，P(0)＝0，∴A＝{0,1}．
(2)若z＝2＋yi(y∈R)，则P(z)＝4[cos(πy)＋isin(πy)]．
若P(z)为纯虚数，则
∴y＝k＋，k∈Z，
∴|z|＝＝，k∈Z，
当k＝0或－1时，|z|min＝.
(3)P(z)对应点坐标为(x2cos(πy)，x2sin(πy))，
由题意得
∴x2sin(xπ－9π)＝x2cos(xπ－9π)－9，
∴x2sin(πx)＝x2cos(πx)＋9.
∵x∈Z，
∴①当x＝2k，k∈Z时，得x2＋9＝0不成立；
②当x＝2k＋1，k∈Z时，得x2－9＝0，
∴x＝±3成立．
此时或
即z＝3－6i或z＝－3－12i.
18．(本题满分12分)观察下表：
1，
2,3
4,5,6,7
8,9,10,11,12,13,14,15，
……
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2012是第几行的第几个数？
(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，
∴第n行的最后一个数是2n－1.
(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)
＝＝3·22n－3－2n－2.
(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，
∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．
(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.
则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，
an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，
∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·－＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2，n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.
∴存在n＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.
19．(本题满分12分)(文)看下面一段发现数学公式的过程，指出各自运用了哪种推理方式．
公式：S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2(n∈N*)．
(1)首先列表计算观察：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S2(n)
1
5
14
30
55
91
140
204
…
此处思维过程运用了什么推理？
(2)从上表中的数据没有明显的发现，于是联想到正整数之和的公式S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，二者能否有关系呢？此处思维过程运用了什么推理？
(3)再列表计算、比对：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S1(n)
1
3
6
10
15
21
28
36
…
S2(n)
1
5
14
30
55
91
140
204
…
此处思维过程运用了什么推理？
(4)从上表中数据没有看出明显的规律，再进一步列表计算：

n
1
2
3
4
5
6
7
8
…
S1(n)
1
3
6
10
15
21
28
36
…
S2(n)
1
5
14
30
55
91
140
204
…

…
此处思维过程运用了什么推理？
(5)从上表发现了规律：＝，于是猜想：S2(n)＝n(n＋1)(2n＋1)．
此处思维过程运用了什么推理？
[解析]　(1)通过直接计算得到对应的数字，用的是演绎推理．
(2)通过比较，用的是类比推理．
(3)通过直接计算得到对应的数字，用的也是演绎推理．
(4)通过直接计算得到对应的数字，用的还是演绎推理．
(5)通过分析规律，加以总结，用的是归纳推理．
(理)先阅读下列框图，再解答有关问题：
(1)当输入的n分别为1,2,3时，a各是多少？
(2)当输入已知量n时，①输出a的结果是什么？试证明之；
②输出S的结果是什么？写出求S的过程．

[解析]　(1)当n＝1时，a＝；当n＝2时，a＝；
当n＝3时，a＝.
(2)(方法一)当输入n时，①中输出结果为an，②中输出结果为Sn，则
a1＝，an＝an－1(n≥2)，所以＝(n≥2)
所以an＝···a1＝··…·＝·＝.
(方法二)由a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想an＝.
证明：(1)当n＝1时，结论成立，
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即ak＝，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝ak＝·
＝＝.
所以当n＝k＋1时，结论成立，
故对n∈N*，都有an＝成立．
因为an＝＝
＝(－)，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
＝(1－)＝.
20．(本题满分12分)(文)(2015·唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn，满足(1－q)Sn＋qan＝1，且q(q－1)≠0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．
[解析]　(1)当n＝1时，由(1－q)S1＋qa1＝1得，a1＝1.
当n≥2时，由(1－q)Sn＋qan＝1，得(1－q)Sn－1＋qan－1＝1，
两式相减得an＝qan－1，
又q(q－1)≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，
故an＝qn－1.
(2)由(1)可知Sn＝，又S3＋S6＝2S9，得＋＝，
化简得a3＋a6＝2a9，两边同除以q得a2＋a5＝2a8.
故a2，a8，a5成等差数列．
(理)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求证：＋＋＋…＋<bn－1(n∈N*，n≥2)．
[解析]　(1)证明：bn＋1－bn＝－
＝－
＝－＝1，
∴数列{bn}为等差数列．
(2)因为b1＝＝1，
所以bn＝1＋(n－1)＝n，bn－1＝n－1(n≥2)，
原不等式即为证明＋＋＋…＋<n－1(n∈N*，n≥2)，
即1＋＋＋＋…＋<n(n∈N*，n≥2)成立．
用数学归纳法证明如下：
当n＝2时，1＋＋<2成立，
所以n＝2时，原不等式成立；
假设当n＝k时，1＋＋＋…＋<k成立；
当n＝k＋1时，
1＋＋＋＋…＋＋＋＋…＋
<k＋＋＋…＋
<k＋＋＋…＋＝k＋＝k＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式成立，
所以n∈N*，n≥2，总有＋＋＋…＋<bn－1成立．
21．(本题满分12分)(文)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象(如图)与x轴有两个不同的公共点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.

(1)试比较与c的大小；
(2)证明：－2<b<－1.
[解析]　(1)由已知，f(x)的图象与x轴有两个不同的公共点，所以f(x)＝0有两个不同的实数根x1、x2.
因为f(c)＝0，且x1·x2＝，所以f(x)＝0的两个根就是c和.如果<c，因为a>0，故>0，即0<<c，而当0<x<c时，f(x)>0，所以有f()>0.这与是f(x)＝0的根矛盾，所以>c.
(2)证明：因为f(c)＝0，所以ac2＋bc＋c＝0.又c>0，故ac＋b＋1＝0.
因为a>0，c>0，所以ac>0.于是b＋1<0.故b<－1.
又f(x)的图象的对称轴为x＝－，且f(x)＝0的两根为c和，且c<，所以－<⇒b>－2.
故－2<b<－1.
(理)(2015·河南省高考适应性测试)已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)证明：x>1时，x＋(x－3)elnx>0.
[解析]　(1)因为f(x)＝，其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．f′(x)＝，由f′(x)>0得f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，
由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，)
(2)由(1)知，当x>1时，f(x)的最小值为f()＝＝2e；
令g(x)＝(－x2＋3x)e，x∈(1，＋∞)，则g′(x)＝e＝－(x－2)(x＋3)e，
由g′(x)>0得函数g(x)在区间(1,2)上单调递增；由g′(x)<0得函数g(x)在区间(2，＋∞)上单调递减．
所以g(x)＝(－x2＋3x)e≤g(2)＝2e.
所以当x>1时，f(x)＝>g(x)＝(－x2＋3x)e，整理即得x＋(x－3)elnx>0.
22．(本题满分12分)(文)(2015·陕西文，21)设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求f′n(2)；
(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0<an－<n.
[解析]　考查1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列．
(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1，
所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋n2n－1①
由2fn′(2)＝1×2＋2×22＋…＋n2n②
①－②得－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n
＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
所以fn′(2)＝(n－1)2n＋1.
(2)因为fn(0)＝－1＜0，
fn()＝－1
＝1－2×()n≥1－2×()2＞0，
所以fn(x)在(0，)内至少存在一个零点，
又fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1＞0,
所以fn(x)在(0，)内单调递增，
因此，fn(x)在(0，)内有且只有一个零点an，
由于fn(x)＝－1，
所以0＝fn(an)＝－1,
由此可得an＝＋a＞ ，
故＜an＜，
所以0＜an－＝a＜×()n＋1
＝×()n.
(理)(2015·北京理，20)已知数列{an}满足：a1∈N*，a1≤36，且an＋1＝(n＝1,2，…)．记集合M＝{an|n∈N*}．
(1)若a1＝6，写出集合M的所有元素；
(2)若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
(3)求集合M的元素个数的最大值．
[解析]　(1)由已知an＋1＝可知：a1＝6，a2＝12，a3＝24，a4＝12，∴M＝{6,12,24}．
(2)因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由已知an＋1＝，可用数学归纳法证明对任意n≥k，an是3的倍数．
当k＝1时，则M中的所有元素都是3的倍数．
如果k>1时，因为ak＝2ak－1或ak＝2ak－1－36，所以2ak－1是3的倍数，于是ak－1是3的倍数，类似可得，ak－2，…，a1都是3的倍数，从而对任意n≥1，an是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数．
(3)∵a1≤36，an＝
∴a1≤18，a2＝2a1≤36,18<a1≤36时，0<2a1－36≤36，
∴a2≤36.
假设ak≤36，则当ak≤18时，ak＋1＝2ak≤36，
当18<ak≤36时，ak＋1＝2ak－36≤36.
由数学归纳法原理知，an≤36.
∵a1是正整数，a2＝
∴a2是2的倍数，从而当n≥3时，an是2的倍数．
如果a1是3的倍数，由(2)知对所有的正整数n，an是3的倍数．如果a1不是3的倍数，由(2)知对所有的正整数n，an都不是3的倍数．
因此，若a1＝1，则M＝{1,2,4,8,16,32,28,20}．
若a1＝2，则M＝{2,4,8,16,32,28,20}．
若a1＝4,8,16,32，则M＝{4,8,16,32,28,20}．
若a1＝3，则M＝{3,6,12,24}，
若a1是3的倍数，则an必为3的倍数，因此当n≥3时，an∈{12,24,36}，∴集合M中的元素不会超过5个．
如果a1不是3的倍数，则an都不是3的倍数，则当n≥3时，都有an∈{4,8,16,20,28,32}，这时M中的元素个数不超过8.
综上知，集合M中的元素个数最大值为8.
反馈练习
一、选择题
1．复数z＝(m∈k)是纯虚数，则m等于(　　)
A．－2　　 　 B．－1
C．1　　　　 D．2
[答案]　A
[解析]　由于z＝＝
＝，
根据纯虚数的概念可得＝0，解得m＝－2.
2．(2015·福建文，7)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于(　　)
A．－ B．－
C. D．
[答案]　A
[解析]　由已知得c＝(1,2)＋k(1,1)＝(k＋1，k＋2)，因为b⊥c，所以b·c＝0，因此k＋1＋k＋2＝0，解得k＝－，故选A.
3．(2015·山东文，8)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
[答案]　C
[解析]　考查1.函数的奇偶性；2.指数运算．
由题意f(x)＝－f(－x)，即＝－，所以，(1－a)(2x＋1)＝0，所以a＝1，f(x)＝，由f(x)＝＞3得，1＜2x＜2,0＜x＜1，故选C.
4．(文)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则(　　)

A．a＝4 B．a＝5
C．a＝6 D．a＝7
[答案]　A
[解析]　由框图的变化规律可知
k
1
2
3
4
S

故a应取4.
(理)已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是(　　)

A．4　　　　 B．8　　　　
C．16　　　　 D．64
[答案]　D
[解析]　初值S＝1，n＝0；第一次运行后，S＝1×20＝1，n＝0＋1＝1；第二次运行后，S＝1×21＝2，n＝1＋1＝2；第三次运行后，S＝2×22＝8，n＝2＋1＝3；第四次运行后，S＝8×23＝64，n＝3＋1＝4，此时n>3成立，输出S值为64.
5．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z1、z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m、λ、θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是(　　)
A．[－1,1] B．[－，1]
C．[－，7] D． [，1]
[答案]　C
[解析]　∵z1＝z2，∴m＋(4－m2)i＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i，
∴∴λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－，当sinθ＝时，λ取最小值－，当sinθ＝－1时，λ取最大值7，故选C.
6．(文)执行如图所示的程序框图，若n＝4，则输出s的值是(　　)

A．－42 B．－21
C．11 D．43
[答案]　C
[解析]　程序运行过程依次为：
n＝4→S＝1，i＝1，i≤n成立→S＝1＋(－2)1＝－1，i＝1＋1＝2，i≤n仍成立→S＝－1＋(－2)2＝3，i＝2＋1＝3，i≤n仍成立→S＝3＋(－2)3＝－5，i＝3＋1＝4，i≤n仍成立→S＝－5＋(－2)4＝11，i＝4＋1＝5，i≤n不成立→输出S的值11后结束．
(理)已知x、y满足不等式组，则z＝2x＋y的最大值与最小值的比值为(　　)
A. B．
C. D．2
[答案]　D
[解析]　作出可行域如图，作直线l0：2x＋y＝0，平移l0当经过点A时，zmin＝3，当经过点C时，zmax＝6，∴所求比值为2.

7．(2015·陕西西工大附中六模)已知：x∈(0，＋∞)，观察下列式子：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3…类比有x＋≥n＋1(n∈N*)，则a的值为(　　)
A．nn B．n
C．n2 D．n＋1
[答案]　A
[解析]　根据推理知识求解．由x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，…可得x＋＝＋＋…＋＋≥n＋1(n∈N*)，所以a＝nn，故选A.
8．已知点An(n，an)(n∈N*)都在函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)的图象上，则a2＋a10与2a6的大小关系为(　　)
A．a2＋a10>2a6
B．a2＋a10<2a6
C．a2＋a10＝2a6
D．a2＋a10与2a6的大小与a有关
[答案]　D
[解析]　由条件知an＝logan，
∴a2＋a10＝loga2＋loga10＝loga20，
2a6＝2lo