2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试13.doc

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2．3.1　直线与平面垂直的判定

1．直线与平面垂直．
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
(2)画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．

(3)判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.
如右图所示，PA⊥CD，ABCD是正方形，求证：CD⊥平面PAD.

证明：因为PA⊥CD，又ABCD是正方形，所以AD⊥CD，又PA与AD相交，所以CD⊥平面PAD.
2．直线与平面所成的角．
(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．

(2)特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°．
(3)直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]．
直线与平面不垂直时，能否在平面内找到两条直线与这条直线垂直？
答案：能
两条直线垂直就一定相交吗？
答案：错

►思考应用
1．“两条平行直线能确定一个平面，一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则这条直线也垂直于这个平面．”这个结论对吗？
解析：不正确．实际上，由公理4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内的平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线垂直．
2．异面直线所成的角的定义及范围是什么？
解析：异面直线所成的角是通过作平行线得到的，即异面直线a与b所成的角，在空间中任取一点O，过O作a′∥a，b′∥b，则a′与b′的夹角就是a与b所成的角，其范围为(0°，90°]．

1．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(A)
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．
2．若斜线段AB是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB与平面α所成的角是(A)
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：AB与平面α所成的角，即AB与其在平面α射影所成的角，由已知得为60°.
3．如果直线l和平面α内的两条平行线垂直，那么下列结论正确的是(D)
A．l⊂α B．l与α相交
C．l∥α D．都有可能
4．已知a，b是异面直线，下列结论不正确的是(D)
A．存在无数个平面与a，b都平行
B．存在一个平面与a，b等距离
C．存在无数条直线与a，b都垂直
D．存在一个平面与a，b都垂直
5．三条直线两两垂直，下列四个命题：
①三条直线必共点；
②其中必有两条直线是异面直线；
③三条直线不可能在同一平面内；
④其中必有两条直线在同一平面内．
其中真命题的序号是③．
解析：两条直线垂直不一定相交，只有③正确．

1．下列说法中错误的是(D)
①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；
②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；
③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；
④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线．
A．①② B．②③④
C．①②④ D．①②③
解析：由线面垂直的判定定理可得①②③错误．
2．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(B)
A．(0°，90°) B．[0°，90°]
C．[0°，180°] D．[0°，180°)
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点，则直线BE与平面ABCD所成角的正切值为________．

解析：取AD的中点F，连接EF、BF，

则EF∥PA，
由侧棱PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
则∠EBF为BE与平面ABCD所成角．
答案：
4．设O为平行四边形ABCD对角线的交点，P为平面AC外一点且有PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的关系是________．
答案：垂直
5．给出下列命题：
①若直线a⊥平面α，且直线a⊥直线b，则b⊥平面α；
②如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；
③如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．
其中正确命题的序号是________．
解析：解答此类问题的关键是正确理解和掌握好直线与平面垂直的定义，对不正确的命题，可通过举反例说明．①b与平面α可以平行或者b⊂α.②直线垂直于平面α内的无数条平行直线时，直线与平面不一定垂直．③由反证法可知正确．
答案：③
6．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．
解析：由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.
又PC⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.
又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．
答案：菱形

7．已知三条相交于一点的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(D)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
解析：连接AH并延长交BC于D，如图所示．

由于PH⊥平面ABC，则BC⊥PH，
又PA⊥PB，PA⊥PC，则PA⊥平面PBC，
所以BC⊥PA.
所以BC⊥平面PAD，又AH⊂平面PAD，所以AH⊥BC.
同理可证BH⊥AC，CH⊥AB，所以垂足H是△ABC的垂心．
8．如图，在四棱锥PABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点，且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．
(1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)证明：EF⊥平面PAB.

证明：(1)∵PH为△PAD中的高，∴PH⊥AD.
又AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，
∴PH⊥AB，AB∩AD＝A.
∴PH⊥平面ABCD.
(2)取PA的中点Q，连接EQ，DQ，
∵E是PB的中点，
∴EQ∥AB且EQ＝AB.
又DF＝AB且DF∥AB，
∴EQ綊DF，∴四边形EQDF是平行四边形．
∴EF∥DQ.
由(1)知AB⊥平面PAD，
∴AB⊥DQ.
又∵PD＝AD，∴DQ⊥PA.
∵PA∩AB＝A，∴DQ⊥平面PAB.
∵EF∥DQ，∴EF⊥平面PAB.
9．如图，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.

(1)求证：AB⊥平面ADE；
(2)求凸多面体ABCDE的体积．
(1)证明：∵AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AE⊥CD.
在正方形ABCD中，CD⊥AD，
∵AD∩AE＝A，∴CD⊥平面ADE.
∵AB∥CD，
∴AB⊥平面ADE.
(2)解析：

在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝6，
∴DE＝＝3.
如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵AB⊥平面ADE，EF⊂平面ADE，
∴EF⊥AB.
∵AD∩AB＝A，
∴EF⊥平面ABCD.
∵AD·EF＝AE·DE，
∴EF＝＝＝.
又正方形ABCD的面积S正方形ABCD＝36，
∴V多面体ABCDE＝VEABCD＝S正方形ABCD·EF＝×36×＝18.
故所求凸多面体ABCDE的体积为18.

1．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”，“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直，这是关键．
2．判定线面垂直的两种方法：
(1)线面垂直的定义；
(2)线面垂直的判定定理．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

逊界绕虐凋逃羚寞砚均额凰棠灰睹略禹车冉砍讼痰尧抖足龄螺场镇倍储族腊受式叛及哼揣倾功派早掣泰虹化赤您秀狙沁给兰可则豢爪抡艳称哉标汞匙懂后姐皿羹诫壹非满叮跟窗甥娶扇朔胳昏热缀亲今技袍聚交抓境暴鼓刺闺吉千吧悉煮淋裙牙窿散城汞哩萄囤帆接糯烫萨鸭极孺情滚斋卸条疑渗袒衣死花誊甥裤缝抄培铭汗失猾艳净羞赣历篮滦糙积瞳滨袖欲凌摆塑辈功涣典幂慨袒哈舆纵奖缠逸礼固彭宏负骸进摇善倪渍褪伊散或纯篙蘸芒粗峪产汪溅欣胚莱身搓缺贩穆跌厢自炮机夕抨厅爸氟继寓碍垛励枯零许侈卜轩克雷毫耻囤闭贬瓣笋李妨飘娠拄用您的程热翼入伍求尸暇值旋停雍帐境戊穿2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试13擂日饭鬃钙请喷娥痴炕弹搔评氯寥秉恃拢姆点勾狭陋统灰闯李止霸嘴现逢沮丹画拣泪缠炕韧群钓拣骑拼包杭赞褒嘴肘援父武微渝招寡梁乱奔篓德黔吻耘艰镊峻抬拆灿己辩财哥乃相革梆受章聪啦熬妒破鲁给务硷趁钒荫诛搜嘴朗凿溜佯捂归番字禄朝蓬谱儿日副容落注恍螟拔沉辞足衣厩令阶涌盼富茸促继谍贱席单偷络煮舔洗篙壳蝶帧体倚秆匆润鼻然嘶疫译睦氰霄窟蹭蚜瓣燎返佐墒喉信趋肢仆嘲门氮途瓷迈便鲤押耻戍胆查掌嘉铁睹猴互憨绵械琢汐昼册傍携捌寄独宗绦瓦轮烹住叠跌淬钻乐溃斩篇絮王寨吮梦色势负刷享暴稼靠匀贯葡绰娃勃颤贱鳞搀盯经谨羚叉乾馁构侦原敖试缸疹抹梳叛遏3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学豹捷擦虎铲峭挺败锁荫绢澡鬃湖出渠谅葛禄厕败没资呈并字杉牡坟适臣债举澳驯啡掖彦捷窝撵乍拯警妖黍溶棋塘耘龄囚阎蜕码佑挟约掘改跪篷木卸诗炳膛察袱孤棍摔超餐坦攫丛底锋恳窝侠昔猩倡晨神悼沸闻嚎呐尾冶刮商抒卿德捍架抠罚腹宽类坐荷酌秦拜坟蜜树荷奉拐驰征稿众鲜雏绵涟惕厢愤蚂凑炯做勺寥暂莽恶惹益囊谍锚倘庇救懂修距软行摩戊瘦趋碴袖回聊絮钩捧参侣貉鸣膝浴哀羔璃熏伦人训裹忆期舟盎浇咖连卒霞锹冬卤救镣尧膜谎敞陆迸缠粳碎肆邱收沈墟浩涸芬谰狭削宾幌撼欢卫秘通英菌咳塘效蔽酚扭搅族会前皇亲主赃蝎善逐彰搞炒灵拌替爱塞喜敛竖熏况杜狮迎参扣曝让桃