2015-2016学年高一数学下册知识基础梳理测试10.doc

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2．2.1　直线与平面平行、平面与平面平行的判定

正方体ABCDA1B1C1D1的6个面中，与AB平行的面有多少个？
答案：两个
若平面α内有直线b与a平行，那么α与a的位置关系如何？
答案：a∥α或a⊂α
直线与平面相交时，平面内是否有与该直线平行的直线？
答案：没有
直线与平面内无数条直线都平行能否保证该直线与这个平面平行？
答案：不能
如果一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，能否保证两个平面平行？
答案：不能
两个平面相交，其中一个平面内是否有两条直线与另外一个平面平行？
答案：有
►思考应用
你能证明线面平行的判定定理吗？
证明：假设直线a与平面α不平行，∵a⊄α，
∴a与平面α相交，不妨设a∩α＝O，∴O∈a，O∈α.
∵a∥b，∴O∉b，在平面α内过O点作c∥b，
∵O∈a，∴a∩c＝O.
∵c∥b，a∥b，∴c∥a，与a∩c＝O矛盾．
∴假设不成立，故直线a∥平面α.

1．若l∥平面α，m⊂α，则l与m的关系是(D)
A．l∥m B．l与m异面
C．l∩m≠∅ D．l∩m＝∅
解析：l与m可以异面或平行，即l∩m＝∅.
2．下列选项中能得到平面α∥平面β的是(D)
A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析：根据两个平面平行的判定定理进行判定，将两条异面直线a，b平移到一个平面，则此平面与α和β都平行，于是α和β平行．
3．下列说法中正确的个数是(A)
①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面没有公共点，那么这两个平面平行；③如果两条直线都平行于另一个平面，那么这两条直线平行；④两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①③④错，②正确．
4．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若＝，则直线NM与平面BDC的位置关系为平行．
解析：连接BD，∵＝，∴MN∥BD.
又∵MN⊄平面BDC，BD⊂平面BDC，
∴MN∥平面BDC.

►跟踪训练

1．a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列命题：
①⇒a∥b；②⇒α∥β；③⇒a∥α.
其中正确命题的个数是(A)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①错，a与b可平行、相交、异面．
②错，c可平行于α与β的交线．
③错，a⊂α也可能．
2．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________．

解析：观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是DC.
答案：平面A1C1与平面AD1　平面AD1　DC
3．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作(C)
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
解析：连接平面外的两点的直线，当该直线与平面平行时，过该直线的平面有1个，当该直线与平面相交时，过该直线的平面有0个．故选C.
4．经过两条异面直线a、b之外的一点P，可作________个平面与a、b都平行．
答案：1
5．(1)直线在平面外，这条直线一定与平面平行对吗？
(2)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都平行对吗？
(3)直线与平面平行，那么该直线与平面内每条直线都没有公共点对吗？
(4)三棱柱的棱和面之间可以形成多少对线面平行？
(5)正方体的棱和面之间可以形成多少对线面平行？
答案：(1)错　(2)错　(3)对　(4)9对　(5)24对
6．正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E是DD1的中点．
求证：BD1∥平面ACE.

证明：如右图所示，连接BD，交AC于点O，则O是BD的中点，连接OE，因为E是DD1的中点，EO∥BD1，因为BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

7．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出以下结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC，其中正确的个数有(C)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：由题意知，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.
8．如图所示，已知四棱锥PABCD底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE.

证明：如图所示

取CD中点M，连接MF，MA，则在△PCD中，MF∥PC，
又MF⊄平面PCE，PC⊂平面PCE，
∴MF∥平面PCE.
又∵ABCD为平行四边形，E，M分别为AB，CD中点，
∴AE綊CM.
∴四边形EAMC为平行四边形，∴MA∥CE，又MA⊄平面PCE，CE⊂平面PCE.
∴MA∥平面PCE.
又MA∩MF＝M，∴平面MAF∥平面PCE.
又∵AF⊂平面MAF，∴AF∥平面PCE.
9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：平面AMN∥平面OEF.
证明：连接A1C1交EF于点G，交MN于点H，连接AC，显然O为AC的中点．

在平面A1ACC1中，
∵A1C1∥AC，
∴GH∥AO.
∵M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，GH＝A1C1，AO＝AC，∴GH＝AO.
连接AH，OG，则四边形AOGH是平行四边形．
∴AH∥OG.
又∵OG⊂平面OEF，AH⊄平面OEF.
∴AH∥平面OEF.
连接B1D1，则MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF.
又∵FE⊂平面OEF，MN⊄平面OEF.
∴MN∥平面OEF.
又MN，AH⊂平面AMN，且MN∩AH＝H，
∴平面AMN∥平面OEF.

1．利用判定定理来证明线面平行时，关键是在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线，常用的方法是：①利用平面几何中的平行线截比定理；②利用三角形、梯形的中位线性质；③利用平行四边形的性质等，从而使“线面平行”向“线线平行”转化．
2．利用判定定理证面面平行，实质是转化为线面平行来处理，即在一个平面内找到两条与另一个面平行的相交直线，找平行直线的方法如上．

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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