2018届高考理科数学第一轮总复习检测8.doc

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第四节　基本不等式

【最新考纲】　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．

1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最大、最小值问题
(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．
那么当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：“积定和最小”)
(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．
那么当x＝y时，xy有最大值.(简记：“和定积最大”)
4．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤(a，b∈R)．
(4)≥(a，b∈R)．

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)
(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)
A．80　　　　B．77　　　　C．81　　　　D．82
解析：xy≤＝＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立．
答案：C
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2
C.＋> D.＋≥2
解析：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C当a<0，b<0时，明显错误．
对于D，∵ab>0，
∴＋≥2 ＝2.
答案：D
4．(2015·福建卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：因为直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，所以＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2 ＝4(当且仅当a＝b＝2时取等号)．
答案：C
5．一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．
解析：设矩形的长为x m，宽为y m．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．
答案：15　

一种方法
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
两个变形
基本不等式的变形
1.≥≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
2. ≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
三点注意
1．使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可．
2．在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．

一、选择题
1．已知x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　)
A．－1　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2
解析：由于x>－1，则x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2 －1＝1，当且仅当x＋1＝，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．
答案：C
2．(2015·陕西卷)设f(x)＝ln x，0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)
A．q＝r<p B．p＝r<q
C．q＝r>p D．p＝r>q
解析：因为b>a>0，故>.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数，所以f>f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln ＝p.
答案：B
3．设a>0，b>0.若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
解析：由题意可知3＝3a·32b＝3a＋2b，即a＋2b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝＋＋4≥2 ＋4＝8，当且仅当＝，即a＝2b＝时取“＝”．
答案：A
4．(2016·郑州外国语学校月考)若a>b>1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)
A．R<P<Q B．Q<P<R
C．P<Q<R D．P<R<Q
解析：∵a>b>1，∴lg a>lg b>0，(lg a＋lg b)>，
即Q>P.∵>，∴lg>lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.
答案：C
5．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：∵2x＋2y≥2 ，2x＋2y＝1，
∴2≤1，
∴2x＋y≤＝2－2，
∴x＋y≤－2，
即(x＋y)∈(－∞，－2]．
答案：D

二、填空题
6．已知向量m＝(2，1)，n＝(1－b，a)(a>0，b>0)．若m∥n，则ab的最大值为________．
解析：依题意得2a＝1－b，即2a＋b＝1(a>0，b>0)，因此1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当2a＝b＝时取等号，因此ab的最大值是.
答案：
7．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p>0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．
解析：由题意得x－1>0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时取等号，所以2＋1＝4，解得p＝.
答案：
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：每次都购买x吨，则需要购买次．
∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．
∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，
∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
答案：20
9．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x⊗y＝(x，y∈R，xy≠0)．当x>0，y>0时，x⊗y＋(2y)⊗x的最小值为________．
解析：因为x⊗y＝，所以(2y)⊗x＝.
又x>0，y>0，故x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
答案：

三、解答题
10．正数x，y满足＋＝1.
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋2y的最小值．
解：(1)由1＝＋≥2 得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36.
(2)由题意可得，x＋2y＝(x＋2y)＝19＋＋≥19＋2 ＝19＋6，当且仅当＝，即9x2＝2y2时取等号，故x＋2y的最小值为19＋6.
11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．
解：∵x>0，y>0，2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，
∴≥8，
∴xy≥64.故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
当且仅当＝时，即x＝12，y＝6时等号成立．
故x＋y的最小值为18.

不等式及其应用

本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用．针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．

强化点1　一元二次不等式的综合应用
　　 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
解析：(1)由于f(x)为R上的奇函数，所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，
所以f(x)＝由f(x)>x，可得
或解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)．
(2)由题意得或
解得－1<x<0或0≤x<－1.
∴x的取值范围为(－1，－1)．
答案：(1)(－5，0)∪(5，＋∞)　(2)(－1，－1)

一元二次不等式综合应用问题的常见类型及解题策略
1．与函数的定义域、集合的综合．此类问题的本质就是求一元二次不等式的解集．
2．与分段函数问题的综合．解决此类问题的关键是根据分段函数解析式，将问题转化为不同区间上的不等式，然后根据一元二次不等式或其他不等式的解法求解．
3．与函数的奇偶性等的综合．解决此类问题可先根据函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，也可直接根据函数的性质求解．
　【变式训练】　(2014·广东卷·节选)设函数f(x)＝
，其中k<－2.求函数f(x)的定义域D(用区间表示)．
解：由题意知(x2＋2x＋k＋3)(x2＋2x＋k－1)>0，
因此
或
设y1＝x2＋2x＋k＋3，y2＝x2＋2x＋k－1，
则这两个二次函数的对称轴均为x＝－1，
且方程x2＋2x＋k＋3＝0的判别式
Δ1＝4－4(k＋3)＝－4k－8，
方程x2＋2x＋k－1＝0的判别式
Δ2＝4－4(k－1)＝8－4k，
因为k<－2，所以Δ2>Δ1>0，因此对应的两根分别为
x1，2＝＝－1±，
x3，4＝＝－1±，
且有－1－<－1－<－1＋<－1＋，
因此函数f(x)的定义域D为(－∞，－1－)∪(－1－，－1＋)∪(－1＋，＋∞)．

(1)(2015· 天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)
A．3　　　B．4　　　C．18　　　D．40
解析：由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．

作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0，3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.
答案：C
(2)(2015·浙江卷)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，

令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1，0)，B(2，1)，C处取得．
故由1≤z≤4恒成立，可得
解得1≤a≤.
答案：

本题(2)是线性规划的逆问题，这类问题的特点是在目标函数或约束条件中含有参数，当在约束条件中含有参数时，那么随着参数的变化，可行域的形状可能就要发生变化，因此在求解时也要根据参数的取值对可行域的各种情况进行分类讨论，以免出现漏解．
　【变式训练】　(经典再现)已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　　)
A. B. C．1 D．2
解析：作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．

易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，
由得
∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.
答案：B

基本不等式是解决函数、方程等问题的重要工具、归纳起来，常见的命题角度有：
(1)判断不等式是否成立或比较大小；
(2)条件不等式的最值问题；
(3)求参数的值或取值范围．
角度一　判断不等式是否成立或比较大小
1．设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的(　　)
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要的条件
解析：当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，
a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
答案：A
角度二　条件不等式的最值问题
2．(2015·重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.
∴tmax＝＝3.
答案：3
角度三　求参数的值或取值范围
3．已知a，b为正实数，且ab＝1，若不等式(x＋y)>m对任意正实数x，y恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．[4，＋∞) B．(－∞，1]
C．(－∞，4] D．(－∞，4)
解析：因为a，b，x，y为正实数，所以(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b，＝，即a＝b，x＝y时等号成立，故只要m<4即可．
答案：D

基本不等式综合应用的常见类型及解题策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
　【变式训练】　已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为______．
解析：由已知得＝1.
则＝＋＝
＝≥(10＋2)＝9，
当且仅当“x＝，y＝”时取等号．
答案：9

一、选择题
1．下列不等式一定成立的是(　　)
A．lg>lg x(x>0)
B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
解析：取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，排除D.
答案：C
2．(2015·安徽卷)已知x，y满足约束条件则z＝－2x＋y的最大值是(　　)
A．－1　　　　B．－2　　　　C．－5　　　　D．1
解析：约束条件下的可行域如图所示，由z＝－2x＋y可知y＝2x＋z，当直线y＝2x＋z过点A(1，1)时截距最大，此时z最大为－1.

答案：A
3．不等式≤x－2的解集是(　　)
A．[－∞，0)∪(2，4] B．[0，2)∪[4，＋∞)
C．[2，4) D．(－∞，2]∪(4，＋∞)
解析：①当x－2>0，即x>2时，不等式可化为(x－2)2≥4，解得x≥4；
②当x－2<0，即x<2时，不等式可化为(x－2)2≤4，解得0≤x<2.
答案：B
4．(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
则＝－.化简可得a＝1.
则>3，即－3>0，即>0，
故不等式可化为<0，即1<2x<2，解得0<x<1.
答案：C
5．设a>0，b>0且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)
A．0 B．4 C．－4 D．－2
解析：由＋＋≥0得k≥－，
又＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，
所以－≤－4，
因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.
答案：C
6．(2015·重庆卷)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为(　　)
A．－3 B．1 C. D．3
解析：作出可行域，通过面积建立方程求出参数m的值．作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A(2，0)，B(1－m，1＋m)，C，D(－2m，0)．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝|AD|·|yB－yC|＝(2＋2m)＝(1＋m)＝，解得m＝1或m＝－3(舍去)．

答案：B

二、填空题
7．已知x>1，则x＋的最小值为________．
解析：∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＝(x－1)＋＋1≥4＋1＝5，
当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．
答案：5
8．(2016·石家庄一模)若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是________．
解析：如图，作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y＝kx＋3的斜率在0与1之间，即k∈(0，1)．

答案：(0，1)
9．设0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则α的取值范围为________．
解析：由题意，要使8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，需Δ＝64sin2α－32cos 2α≤0，
化简得cos 2α≥.
又0≤α≤π，∴0≤2α≤或≤2α≤2π，
解得0≤α≤或≤α≤π.
答案：∪
三、解答题
10．已知不等式>0(a∈R)．
(1)解这个关于x的不等式；
(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．
解：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.
①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；
②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0，解得x<－1或x>；
③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；
若<－1，即－1<a<0，则<x<－1；
若＝－1，即a＝－1，则不等式解集为空集；
若>－1，即a<－1，则－1<x<.
综上所述，a<－1时，解集为；
a＝－1时，原不等式无解；
－1<a<0时，解集为；
a＝0时，解集为{x|x<－1}；
a>0时，解集为.
(2)∵x＝－a时不等式成立，∴>0，即－a＋1<0，
∴a>1，即a的取值范围为a>1.
11．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关．把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 －200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，
故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)不获利．设该单位每月获利为S元，
则S＝100x－y＝100x－(x2－200x＋80 000)
＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，
因为x∈[400，600]，
所以S∈[－80 000，－40 000]．
故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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