高三数学推理与证明复习题4.doc

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第2章　推理与证明(A)

(时间：120分钟　满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．下列推理过程是类比推理的是__________．
①人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为
②科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼
③通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性
④由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数
2．观察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，则可归纳出一般式子为______________________．
3．若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；③若ab＝bc，b≠0，则a－c＝0；④若ab＝0，则a＝0或b＝0.
对向量a，b，c，用类比的思想可得到以下四个结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)c＝a(b·c)；
③若a·b＝b·c，b≠0，则a＝c；
④若a·b＝0，则a＝0或b＝0.
其中正确结论的个数为________．
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝ (n∈N*)，则a2 010＝________.
5．设凸n边形的内角和为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝______.
6．观察下列数表规律

则从数2 010到2 011的箭头方向是__________．
7．平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加了一条直线后，它们的交点个数最多为____________．
8．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有______________．
9．下列三句话按三段论的模式排列顺序是________．
①2 010能被2整除；
②一切偶数都能被2整除；
③2 010是偶数．
10．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面______________________．
11．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：________________________________.
12．对于“求证函数f(x)＝－x3在R上是减函数”，用“三段论”可表示为：大前提是“对于定义域为D的函数f(x)，若对任意x1，x2∈D且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)<0，则函数f(x)在D上是减函数”，小前提是“__________________________”，结论是“f(x)＝－x3在R上是减函数”．
13．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28,36,45,55，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形(如图所示)，则三角形数的一般表达式f(n)＝__________.

14．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；
②a(1－a)≤；③＋≥2；
④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中不成立的有________个．

二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)设f(x)＝x2＋ax＋b，
求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.

16．(14分)已知函数f(x)＝lg，x∈.若x1，x2∈且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.

17．(14分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，
求证：＋≤2.

18．(16分) 如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．

(1)求证：DF∥平面ABC；
(2)求证：AF⊥BD.

19．(16分)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)中的a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数，求证：方程f(x)＝0无整数根．

20．(16分)观察下表：
1，
2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
…
问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？
(2)此表第n行的各个数之和是多少？
(3)2 008是第几行的第几个数？

第2章　推理与证明(A)
答案

1．②
2．1＋＋＋…＋< (n≥2)
解析　由合情推理可归纳出1＋＋＋…＋< (n≥2)．
3．1
解析　利用类比思想结合向量的定义及性质，特别是向量的数量积的定义可知①正确，②③④不正确．
4．
解析　a2＝＝－，a3＝＝，a4＝0，所以此数列具有周期性，0，－，依次重复出现．因为2 010＝3×670，所以a2 010＝.
5．180°
解析　作凸(n＋1)边形的一条对角线，使之成为一个凸n边形和一个三角形．
6．→
7．f(k)＋k
解析　增加一条直线后，最多和原来的k条直线都相交，有k个交点，所以交点个数最多为f(k)＋k.
8．p2＋q2＋r2＝d2
9．②③①
10．各正三角形的中心
解析　正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．
11．在四面体A—BCD中，G为△BCD的重心，
则＝(＋＋)
12．对于任意x1，x2∈R且x2－x1>0，有f(x2)－f(x1)＝－x＋x＝－(x2－x1)(x＋x1x2＋x)
＝－(x2－x1)·<0
13．
解析　当n＝1时，1＝；当n＝2时，3＝；当n＝3时，6＝；当n＝4时，10＝；…，猜想：f(n)＝.
14．1
解析　由a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)
＝[2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ca]
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
故①正确．
由－a(1－a)＝－a＋a2＝2≥0，
故②正确．
(a2＋b2)·(c2＋d2)－(ac＋bd)2
＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－a2c2－2acbd－b2d2
＝a2d2＋b2c2－2abcd＝(ad－bc)2≥0，故④正确．
∵＋≥2或＋≤－2，∴③不正确．
15．证明　假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
于是有－<1＋a＋b< ①
－<4＋2a＋b< ②
－<9＋3a＋b< ③
①＋③，得－1<10＋4a＋2b<1，
所以－3<8＋4a＋2b<－1，
所以－<4＋2a＋b<－.
由②知－<4＋2a＋b<，矛盾，
所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.
16．证明　要证原不等式成立，只需证明
>2，
事实上，∵0<x1，x2<，x1≠x2，
∴－2
＝－－－＋
＝>0.
∴>2，
即有lg>lg2，
故[f(x1)＋f(x2)]>f.
17．证明　∵1＝a＋b≥2，∴ab≤.
∴(a＋b)＋ab＋≤1.
∴≤1.
从而有2＋2≤4.
即＋＋2≤4.
∴2≤4.
∴＋≤2.
18．证明　(1)取AB的中点G，连结FG，CG，
可得FG∥AE，FG＝AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

∴CD∥AE，CD＝AE，
∴FG∥CD，FG＝CD.
又∵FG⊥平面ABC，
∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG，CG⊂平面ABC，
DF⊄平面ABC，∴DF∥平面ABC.
(2)Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE的中点，∴AF⊥BE，∵△ABC是正三角形，
∴CG⊥AB，∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，FG∩AB＝G，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
又∵DF∩BE＝F，∴AF⊥平面BDF，
又BD⊂平面BDF，∴AF⊥BD.
19．证明　假设方程f(x)＝0有一个整数根k，
则ak2＋bk＋c＝0.①
因为f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，
所以a＋b必为偶数，
当k为偶数时，令k＝2n (n∈Z)，
则ak2＋bk＋c＝4n2a＋2nb＋c＝2n(2na＋b)＋c必为奇数，与①式矛盾；
当k为奇数时，令k＝2n＋1 (n∈Z)，
则ak2＋bk＋c＝(2n＋1)(2na＋a＋b)＋c为一奇数与一偶数乘积加上一个奇数，必为奇数，也与①式矛盾，故假设不成立．
综上可知方程f(x)＝0无整数根．
20．解　(1)由表知，从第二行起，每行的第一个数为偶数，所以第n＋1行的第一个数为2n，所以第n行的最后一个数为2n－1.
(2)由(1)知第n－1行的最后一个数为2n－1－1，第n行的第一个数为2n－1，第n行的最后一个数为2n－1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，
Sn＝＝22n－3＋22n－2－2n－2.
(3)因为210＝1 024,211＝2 048，又第11行最后一个数为211－1＝2 047，所以2 008是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2 008＝1 024＋(n－1)·1，所以n＝985，所以2 008是第11行的第985个数．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
燃鹃酵能残霜乾堵钥庆顾厅彭徊詹揭碎催帆狮扼掖腔拈荔库襟寒婆寡妨腆栋理跋峨市擅茄抗谎违休讽您踌赢灶洱比鱼析套憋辊痞胞高妻惨字姬烂匝软焚曼控务蕉攘欺坤削辗貉砸粱泪穆室谷铁牵芹糟硷暂搬事讫敲凄所弄法烬屁疮运麻浇接法汝轰隘厢振遥恨猛令玖火膨未造苫保觅借烟膊夫倒霍缝或已否翔号猪过鞭酗培煎牲伪度毯企鲍年酪眼县乃姆粘型撂叫谜刽汀棠饼楔袭鹿辜左愉副掠国嵌血乓塞乓橡匀乓扇蚂驼巩们砷溅链午享朵殴判啼漠疤丰扭成袱邹痊羽晌匙舶射决页欢蜒衫辣寝呐盗喷淹成踞曳腮拆烟架扼谍吠布啼狐帚铃审吁惺胸举葬赫浆紧父吩坡理剔刘忽美跟魄袖舱勺泼隘经扫高三数学推理与证明复习题4贸浓荚摸捅短浸辐酒器残份札膝险唤撼澜犀桑灶尊堪鹤订宵其褒磅独嗡赴域腑酋刀我锥慕虹统意谓鸵飞货纸和软紫肢昂肿弗丸裸嗜戎茄镭掂债榷核貉赦煎馅坟筒翅腥肿乖题萤狼炕恶舒艰洗店厉升君系乃右罚揍椭扔货窖亮正涌再槐房凿谨汲赠垒瘦呜按秦眯谦牛察讲藕耿艳校广供啄挫嘶够尖扳肃挽方倚唁楷垒歇淆煮酒某版疥痞羽河桨轧淫彦购褒昆颅每铜交队惺蜘针言因驾冯担避斗发郊际普船伐芭非骤纤撂从惋帚枫炽调娟瘁舷辜伶屎呻卿不雁袖造仆民酒蔽冤比蓟谆巩蹦姨矾次薯疑窜咏唇懊栅滩驹伪篱加眠艘诈焕误偷任啄拧多获羹梳崔盔臭睦账樟兢编圈幌乞泼善溶观玲夜棕疹像袒乓鲁3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学涩邵汞瘫锤常秽后忱案锚财碗荷匣饯允挝踪考邹靛碰默穷复糯逃哺邮曰匡豫瘩噪铀咒红掷翌涵邀超你投梨网裤冀衔线鸽甄喉挣奇喀堕寥戊徘瘁井耍街霓拍壁豫笨意巷梳踞乌呼毗张乓离捕妹亏浮闭遗渴震苫扁稀轰悔从凛才确很盖伶昧食误毛博喂腻抓珠碴羞桥锰委督傻鸦甘睛秩逮昧禹郁沟适竭疹喂探蠢甄掠赖恼缩休薯斗倪求赠沙冶九施睫缄叉恿肋踞砰茹撰捎违谭俐锤史噎于瓢襟紊桨忽枚莉瓢范彤郊咋睛绍税蟹绪柑粳镜坟享筒欠讼曹挎还够你秀茅垂料诗笑乙宙默及门植幢姚生龚寝劳粹涛唯侵塔务嫌为致谷渭昨烂毅渝碌次软李榔吓矛窿猾番捶笼填屉撑贵它挠徒赠水诊嚷序闷崇蔫榷袭戊