高三数学基础突破复习检测27.doc

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4．函数的奇偶性与周期性（学生版，后附教师版）

【知识梳理】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 (填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是 偶函数 ．
②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数 ．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 奇函数
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【基础考点突破】
考点1．函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xlg(x＋)； (2)f(x)＝(1－x)；
(3)f(x)= (4)f(x)＝．

【归纳总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
变式训练1． (1)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
考点2．函数奇偶性的应用
【例2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)
(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1

【归纳总结】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式．
变式训练2． (1)(2016·唐山模拟)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝(　　)
A．－4 B．－2 C．－1 D．－3
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．

考点3．函数的周期性及其应用
【例3】f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．

【归纳总结】(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质．
(3)函数周期性的三个常用结论：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝，则T＝2a，
③若f(x＋a)＝－，则T＝2a (a>0)．
变式训练3． (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)等于________．
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(19.5)＝______．

考点4．函数性质的综合应用
命题点1．函数奇偶性的应用
【例4】 (1)已知，且，那么等于________．
(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．

命题点2．单调性与奇偶性、周期性结合
【例5】 (1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)
【归纳总结】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0．
变式训练4．（1）若函数是偶函数，定义域为，则____，____．
(2) 定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．

【基础练习】
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln(－x) C．y＝ex D．y＝ln
2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)
A．－ B． C．2 D．－2
3．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是(　　)
A．y＝log2|x| B．y＝cos 2x C．y＝ D．y＝log2
5．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，10) C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)
8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A． B．－ C． D．－
9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
10． f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
11．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)
A． B． C．(1,3) D．
12．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
13．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
14．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．

17．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝．
(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式．

18．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

2017年高考数学基础突破——集合与函数
4．函数的奇偶性与周期性（教师版）

【知识梳理】
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2．奇(偶)函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 相反 (填“相同”、“相反”)．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是 奇函数 ，两个奇函数的积函数是 偶函数 ．
②两个偶函数的和函数、积函数是 偶函数 ．
③一个奇函数，一个偶函数的积函数是 奇函数
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【基础考点突破】
考点1．函数奇偶性的判断
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xlg(x＋)； (2)f(x)＝(1－x)；
(3)f(x)= (4)f(x)＝．
【解析】(1)∵＞|x|≥0，∴函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)lg(－x＋)＝－xlg(－x)＝xlg(＋x)＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当≥0时函数有意义，∴－1≤x＜1，由于定义域关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．
(3)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
(4)∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称．
∴f(x)＝＝，又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．
【归纳总结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
变式训练1． (1)下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝|sin x| C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
(2)(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
【答案】　(1)D　(2)C
【解析】(1)y＝的定义域为[0，＋∞)，所以y＝为非奇非偶函数；y＝|sin x|与y＝cos x为偶函数；令y＝f(x)＝ex－e－x，x∈R，则满足f(－x)＝－f(x)，所以y＝ex－e－x为奇函数，故选D．
(2)依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)·g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确； |f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，
|f(x)g(x)|是偶函数，D错．
考点2．函数奇偶性的应用
【例2】 (1)(2015·山东卷)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为(　　)
A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，＋∞)
(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】　(1)C　(2)B
【解析】(1)法一　f(－x)＝＝，由f(－x)＝－f(x)，得＝－，
即1－a2x＝－2x＋a，化简得a(1＋2x)＝1＋2x，所以a＝1， f(x)＝，由f(x)＞3，得0＜x＜1，故选C．
法二：因为f(x)＝是奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即＋＝0，解得a＝1，f(x)＝，
由f(x)＞3，得0＜x＜1，故选C．
(2)由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，则有解得g(1)＝3，故选B．
【归纳总结】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程，从而可得f(x)的值或解析式．
变式训练2． (1)(2016·唐山模拟)已知f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝(　　)
A．－4 B．－2 C．－1 D．－3
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝________．
【答案】(1)A　(2)
【解析】(1)令g(x)＝f(x)＋1＝x＋，则g(x)为奇函数．
又f(a)＝2，则g(a)＝3，g(－a)＝－3．∴f(－a)＝－4．
(2)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0．
又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x．又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝
考点3．函数的周期性及其应用
【例3】f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2，4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)．
证明：(1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0，2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2，4]．
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝f(2 016)＋f(2 017)＝f(0)＋f(1)＝1．
【归纳总结】(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质．
(3)函数周期性的三个常用结论：
①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝，则T＝2a，③若f(x＋a)＝－，则T＝2a (a>0)．

变式训练3． (1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x．则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)等于________．
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(20．5)＝______．
【答案】(1)337　(2)2．5
【解析】(1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6．
∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，
∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＝1×＝336，又f(2 017)＝f(1)＝1．
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 017)＝337．
(2)由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－＝－＝f(x)．故函数的周期为4．
∴f(19.5)＝f(4×5－0.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，∵0≤0．5≤1，由题意，得f(0．5)＝0．5，∴f(19．5)＝0．5．

考点4．函数性质的综合应用
命题点1．函数奇偶性的应用
【例4】(1)已知，且，那么等于________．
(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________．
【解析】(1) 解：令，易知为奇函数，，，∴， ．
(2)f(x)为偶函数，则ln(x＋)为奇函数，所以ln(x＋)＋ln(－x＋)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．

命题点2．单调性与奇偶性、周期性结合
【例5】 (1)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－1,4) B．(－2,0) C．(－1,0) D．(－1,2)
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)
A．f(－25)<f(11)<f(80) B．f(80)<f(11)<f(－25) C．f(11)<f(80)<f(－25) D．f(－25)<f(80)<f(11)
【答案】(1)A　(2)D
【解析】(1)∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，
∵f(1)<1，f(5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a<4，故选A．
(2)∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，
f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)<f(0)<f(1)，
即f(－25)<f(80)<f(11)．
【归纳总结】 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0．

变式训练4．（1）若函数是偶函数，定义域为，则____，____．
(2) 定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
分析：　→→→
解：（1）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，解得．由函数为偶函数，所以，即对任意均成立，所以．
（2）由f(m)＋f(m－1)＞0，得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0,2]上为减函数且f(x)在上为奇函数，∴ f(x)在[－2,2]上为减函数．
∴ ，即，∴．
【基础练习】
1．下列函数为偶函数的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝ln(－x) C．y＝ex D．y＝ln
【解析】A选项定义域为R，f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；B选项定义域为R，f(－x)＝ln[－(－x)]＝ln(＋x)≠f(x)，∴函数不是偶函数；C选项定义域为R，f(－x)＝e－x＝≠f(x)，∴函数不是偶函数；D选项定义域为R，f(－x)＝ln＝ln＝f(x)，∴函数为偶函数．故选D．
2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－)＝(　　)
A．－ B． C．2 D．－2
【解析】由已知得f(－)＝f()＝log2＝．故选B．
3．(2014·福建卷)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【解析】函数f(x)＝的图象如图所示，由图象知只有D正确．

4．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是(　　)
A．y＝log2|x| B．y＝cos 2x C．y＝ D．y＝log2
【解析】对于A，函数y＝log2|x|是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于B，函数y＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于C，函数y＝不是偶函数；对于D，函数y＝log2不是偶函数，故选A．
5．已知函数f(x)＝ln(－3x)＋1，则f(lg 2)＋f等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】设g(x)＝ln(－3x)＝f(x)－1，g(－x)＝ln(＋3x)＝ln＝－g(x)．
∴g(x)是奇函数，∴f(lg 2)－1＋f－1＝g(lg 2)＋g＝0，因此f(lg 2)＋f＝2，故选D．
6．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)等于(　　)
A．－2 B．2 C．－98 D．98
【解析】∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2．，故选A
7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f(lg x)＜0，则x的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．(1，10) C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)
【解析】依题意，函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等价于lg x＜0，故0＜x＜1，故选A．
8．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝(　　)
A． B．－ C． D．－
【解析】先将表达式化简为f(x)＝1＋，由此可得f(－x)＝1＋，∴有f(x)＋f(－x)＝2，即有f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝，故选C．
9．定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则(　　)
A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3) C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)
答案　A
解析　由题意知f(x)为偶函数，所以f(－2)＝f(2)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)为减函数，且3>2>1，
∴f(3)<f(2)<f(1)，即f(3)<f(－2)<f(1)，故选A．
10．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x．作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，
解得－2<a<1． 答案　C
11．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)
A． B． C．(1,3) D．
答案　A
解析　∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x<1，f(－x)＝－f(x)．
∴f(m－2)＋f(2m－3)>0可转化为f(m－2)>－f(2m－3)，∴f(m－2)>f(－2m＋3)，
∵f(x)是减函数，∴m－2<－2m＋3，∵∴1<m<．
12．函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝________．
答案　－－1
解析　∵f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝＋1＝－f(x)，即x<0时，f(x)＝－(＋1)＝－－1．
13．已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是________．
答案　(－∞，1]∪[3，＋∞)
【解析】由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
14．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝________．
答案　
【解析】依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，
∴f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋f(1)＋f＋f(0)＋f＝f＋f(1)－f＋f(0)＋f＝f＋f(1)＋f(0)＝2－1＋21－1＋20－1＝．
15．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解　(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2．
(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)．
(1)证明　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)解　∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8，
又f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．
(3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1．
又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝f(2 016)＝f(0)＝0．
17．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0，1)时，f(x)＝．
(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求f(x)在[－1，1]上的解析式．
解　(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)，∴f(1)＝0，f(－1)＝0．
(2)由题意知，f(0)＝0．当x∈(－1，0)时，－x∈(0，1)．
由f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－，
综上，在[－1，1]上，f(x)＝
18．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；
(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．
解　(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0．
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0．
令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1．
∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

睦喀屏缠娶宠翠睹古孜宦皖扦甸脾驰础闲鸳胳匀头喇卑再诫效桨侵乱讣抠账尸辙掳凡求刃浪坐寅思肖售粤揉芹