2017届高考理科数学知识点题组训练题21.doc

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题组层级快练(四十五)
(第一次作业)
1．(2016·合肥一检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　)
A．60°　　　　　　　　　　 B．45°
C．30° D．90°
答案　B
解析　连接A1D，DC1，A1C1，∵E，F为A1D，A1C1中点，
∴EF∥C1D.
∴EF和CD所成角即为∠C1DC＝45°.
2．若正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D⊥平面ACD，∴B1D⊥DC，故△B1DC为直角三角形．
设棱长为1，则有AD＝，B1D＝，DC＝，∴S△B1DC＝××＝.
设A到平面B1DC的距离为h，则有VA－B1DC＝VB1－ADC，
∴×h×S△B1DC＝×B1D×S△ADC.
∴×h×＝××，∴h＝.
设直线AD与平面B1DC所成的角为θ，则sinθ＝＝.
向量法：如图，取AC的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系．

设各棱长为2，则有A(0，－1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1(，0，2)．
设n＝(x，y，z)为平面B1CD的法向量，
则有⇒⇒n＝(0，2，1)．
∴sin〈，n〉＝＝.
3．(2016·皖南八校联考)四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角V－AB－C的余弦值的大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图所示，取AB中点E，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE，根据题意可知，∠VEO是二面角V－AB－C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos∠VEO＝＝＝，故选B.

4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案　B
解析　以A点为坐标原点，AP，AB，AD分别为x，y，z轴建系且设AB＝1，
∴C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．
∴设面CDP的法向量为n＝(x，y，z)．
∴
令y＝1，∴n＝(0，1，1)．
又∵为面ABP的一个法向量，∴cos〈n，〉＝＝＝.
∴二面角为45°.

5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为(　　)

A. B.
C. D.
答案　D
解析　方法一：由VB1－ABF＝VF－ABB1可得解．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(1，0，1)，B1(1，1，0)．
设F(0，0，)，E(，1，1)，B(1，1，1)，＝(0，1，0)．
∴＝(－，0，1)，＝(－1，0，－)．
∵·＝(－1，0，－)·(－，0，1)＝0，
∴⊥.又⊥，∴⊥平面ABF.
平面ABF的法向量为＝(－，0，1)，
＝(0，1，－1)．
B1到平面ABF的距离为＝.
6．如图所示，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.

(1)求证：AB⊥DE；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．
答案　(1)略　(2)
解析　(1)证明：取AB的中点O，连接EO，DO.
因为EB＝EA，所以EO⊥AB.
因为四边形ABCD为直角梯形，
AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，
所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.
所以AB⊥平面EOD.因为ED⊂平面EOD，所以AB⊥ED.
(2)方法一：因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
所以BC⊥平面ABE.
则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角．
设BC＝a，则AB＝2a，BE＝a，所以CE＝a.
则在直角三角形CBE中，sin∠CEB＝＝＝，
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
方法二：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，
所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.
由OB，OD，OE两两垂直可建立如图所示的空间直角坐标系．

因为三角形EAB为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OD＝OE.设OB＝1，则O(0，0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)．
所以＝(1，1，－1)，平面ABE的一个法向量为＝(0，1，0)．
设直线EC与平面ABE所成的角为θ，
所以sinθ＝|cos〈，〉|＝＝.
即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.
7．(2016·河南内黄一中摸底)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC.

(1)求证：AC⊥BB1；
(2)若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为.
答案　(1)略
(2)P为棱B1C1的中点时满足题意
解析　(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，因为A1B⊥平面ABC，A1B⊂平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面ABC.因为平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，AB⊥AC，所以AC⊥平面ABB1A1，所以AC⊥BB1.
(2)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，

则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，＝＝(2，－2，0)．
设＝λ＝(2λ，－2λ，0)，λ∈[0，1]，
则P(2λ，4－2λ，2)．
设平面PAB的一个法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(2λ，4－2λ，2)，＝(0，2，0)，
所以即所以
令x＝1，得n1＝(1，0，－λ)．
而平面ABA1的一个法向量是n2＝(1，0，0)，
所以|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得λ＝，即P为棱B1C1的中点．
8. (2015·安徽理)如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.

(1)证明：EF∥B1C；
(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值．
答案　(1)略　(2)
解析　(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.又A1D⊂平面A1DE，B1C⊄平面A1DE，于是B1C∥平面A1DE.又B1C⊂平面B1CD1，平面A1DE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.
(2)因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以，，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，

可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为(0.5，0.5，1)．
设平面A1DE的法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝(0.5，0.5，0)，＝(0，1，－1)，由n1⊥，n1⊥得(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1)．
设平面A1B1CD的法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1)．
所以结合图形知二面角E－A1D－B1的余弦值为＝＝.

9. (2016·杭州学军中学模拟)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝CD＝BC＝2AD，AD∥BC，∠BCD＝90°.

(1)求证：BC⊥PC；
(2)求PA与平面PBC所成角的正弦值；
(3)线段PB上是否存在点E，使AE⊥平面PBC？说明理由．
答案　(1)略　(2)　(3)E为PB中点时，AE⊥平面PBC
解析　(1)证明：在四棱锥P－ABCD中，
∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PCD.
∵PC⊂平面PCD，∴BC⊥PC.
(2)如图，以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz.不妨设AD＝1，则PD＝CD＝BC＝2，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，∴＝(1，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)．设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)．

所以即
令y＝1，则x＝0，z＝1，∴n＝(0，1，1)，
∴cos〈，n〉＝＝－，
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为.
(3)方法一：当E为线段PB的中点时，AE⊥平面PBC.如图，分别取PB，PC的中点为E，F，连接AE，DF，EF，∴EF∥BC，且EF＝BC.
∵AD∥BC，且AD＝BC，∴AD∥EF，且AD＝EF.
∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE∥DF.
∵PD＝CD，∴三角形PCD是等腰三角形，∴DF⊥PC.
∴BC⊥平面PCD，∴DF⊥BC.
∵PC∩BC＝C，∴DF⊥平面PBC.
∴AE⊥平面PBC，即在线段PB上存在点E，使AE⊥平面PBC.
方法二：设在线段PB上存在点E，当＝λ(0<λ<1)时，AE⊥平面PBC.设E(x0，y0，z0)，则＝(x0，y0，z0－2)，∴(x0，y0，z0－2)＝λ(2，2，－2)，即x0＝2λ，y0＝2λ，z0＝－2λ＋2.∴E(2λ，2λ，－2λ＋2)，∴＝(2λ－1，2λ，－2λ＋2)．由(2)可知平面PBC的法向量n＝(0，1，1)．若AE⊥平面PBC，则∥n，即＝μn.解得λ＝，μ＝1，∴当＝，即E为PB中点时，AE⊥平面PBC.
10．(2014·陕西理)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.

(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
答案　(1)略　(2)
解析　(1)由该四面体的三视图可知，

BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，
平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH.
同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC.
∴AD⊥BC，∴EF⊥FG.
∴四边形EFGH是矩形．
(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，∵EF∥AD，FG∥BC，∴n·＝0，n·＝0.
∴取n＝(1，1，0)．
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)．
∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得
E，F(1，0，0)，G(0，1，0)．
∴＝，＝(－1，1，0).＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，得取n＝(1，1，0)，
∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.

题组层级快练(四十六)
(第二次作业)
1．(2016·皖南十校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AD，BC所成的角为(　　)
A．120°　　　　　　　　　 B．30°
C．90° D．60°
答案　D
解析　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0，0)，B(0，，0)，C(0，0，)，D(0，－，0)，

∴＝(－，－，0)，＝(0，－，)．
∴||＝2，||＝2，·＝2.
∴cos〈，〉＝＝＝.
∴异面直线AD，BC所成的角为60°.
2．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意设棱长为2，如图所示，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心D，连接AD，则DA＝.由勾股定理得A1D＝＝.以D为坐标原点，AD,DA1所在直线为y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,- ,0),B(1, ,0), A1(0,0, ),=+＝(0，，)+(1, ,0)=(1, ,).
又平面ABC的法向量n=(0,0,1)，设与底面所成角为θ,则sinθ=|cos<,n>|=＝.

3．(2016·湖南长沙一模)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为________．
答案　
解析　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

则A1(0，0，1)，E(1，0，)，F(，1，0)，D1(0，1，1)．
∴＝(1，0，－)，＝(0，1，0)．
设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝2，则x＝1.
∴n＝(1，0，2)．又＝(，1，－1)，
∴点F到平面A1D1E的距离为
d＝＝＝.
4．(2016·河南洛阳模拟)如图(1)所示，在△ABC中，BC＝3，AC＝6，∠C＝90°，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图(2)所示．

(1)求证：BC⊥平面A1DC；
(2)若CD＝2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值．
答案　(1)略　(2)
解析　(1)证明：∵DE⊥AD，DE∥BC，∴BC⊥AD，∴BC⊥A1D.
又∵BC⊥CD，A1D∩CD＝D，∴BC⊥平面A1DC.
(2)以D为原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D－xyz.
在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，垂足为F，
则EF＝2，BF＝1，BC＝3.
∴B(3，0，－2)，E(2，0，0)，C(0，0，－2)，A1(0，4，0)．
∴＝(－1，0，2)，＝(0，4，2)，＝(－3，4，2)．
设平面A1BC的法向量为m＝(x，y，z)，
则∴解得
令y＝1，则m＝(0，1，－2)．
设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ＝＝＝.
5．(2016·河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD＝AB＝2，E为PC中点．

(1)求证：DE⊥平面PCB；
(2)求点C到平面DEB的距离；
(3)求二面角E－BD－P的余弦值．
答案　(1)略　(2)　(3)
解析　(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.
又正方形ABCD中，CD⊥BC，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD.
∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.
∵PD＝CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC.
又∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB.

(2)如图①所示，过点C作CM⊥BE于点M，

由(1)知平面DEB⊥平面PCB，
∵平面DEB∩平面PCB＝BE，∴CM⊥平面DEB.
∴线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离．
∵PD＝AB＝CD＝2，∠PDC＝90°，
∴PC＝2，EC＝，BC＝2.∴BE＝.
∴CM＝＝.
(3)以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(2，2，0)，＝(0，1，1)．设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，

则∴
令z＝1，得y＝－1，x＝1.
∴平面BDE的一个法向量为n1＝(1，－1，1)．
又∵C(0，2，0)，A(2，0，0)，＝(－2，2，0)，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为n2＝(1，－1，0)．
设二面角E－BD－P的平面角为α，则cosα＝＝＝.
∴二面角E－BD－P的余弦值为.

6．(2016·石家庄质检)四棱锥A—BCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形．

(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF⊥CM，请说明理由；
(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．
答案　(1)总有BF⊥CM　(2)
解析　(1)由俯视图可知平面ABC⊥平面EBCD.
BC＝2，O为BC中点，BE＝1，CD＝2.
∵△ABC为等边三角形，F为AC中点，∴BF⊥AC.
又平面ABC⊥平面EBCD，且DC⊥BC，
∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥BF.
又AC∩CD＝C，∴BF⊥平面ACD.∴BF⊥CM.
(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系．
B(－1，0，0)，C(1，0，0)，E(－1，1，0)，D(1，2，0)．
设A(0，0，a)，由题意可知平面ABC的法向量为(0，1，0)．
设平面ADE法向量n＝(x，y，z)．
＝(2，1，0)，＝(1，－1，a)，∴令x＝1，y＝－2，z＝.
∴n＝(1，－2，－)．
∴＝，解得a＝.
∴＝(1，2，－)，＝(0，1，0)，＝(1，－1，)．
设平面ABE的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
∴
令z1＝1，∴m＝(－，0，1)．
设AD与平面ABE所成角为θ，则有
sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝.
∴直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.
7.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝
90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；
(3)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．
答案　(1)略　(2)　(3)存在点E
解析　方法一：(1)∵PA⊥底面ABC，

∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.
又PA＝AB，∴△ABP为等腰直角三角形．∴AD＝AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°.∴BC＝AB.
∴Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝.
∴cos∠DAE＝.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.
∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.
这时，∠AEP＝90°.
故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．
方法二：如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.

设PA＝a，由已知可得A(0，0，0)，B(－a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)．
(1)∵＝(0，0，a)，＝(a，0，0)，
∴·＝0，∴BC⊥AP.
又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC.又AP∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，
∴E为PC的中点．
∴D(－a，a，a)，E(0，a，a)．
又由(1)知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．
∵＝(－a，a，a)，＝(0，a，a)，
∴cos∠DAE＝＝.
(3)同方法一．

8．(2015·新课标全国Ⅰ理)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
答案　(1)略　(2)
解析　(1)连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知AE＝EC，又∵AE⊥EC，∴EG＝，EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，∴DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝可得EF＝.
∴EG2＋FG2＝EF2，∴EG⊥FG，∵AC∩FG＝G，∴EG⊥平面AFC.
∵EG⊂面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系G－xyz，

由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F(－1，0，)，C(0，，0)，
∴＝(1，，)，＝(－1，－，)．
故cos<，>＝＝－.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.

　(2015·浙江理)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值．
解析　(1)设E为BC的中点，连接A1E，AE，DE.
由题意得A1E⊥平面ABC，
所以A1E⊥AE.
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A.
所以A1AED为平行四边形．
故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.
(2)方法一：
作A1F⊥BD且A1F∩BD＝F，连接B1F.

由AE＝EB＝，∠A1EA＝∠A1EB＝90°，得A1B＝A1A＝4.
由A1D＝B1D，A1B＝B1B，得△A1DB与△B1DB全等．
由A1F⊥BD，得B1F⊥BD，因此∠A1FB1为二面角A1－BD－B1的平面角．
由A1D＝，A1B＝4，∠DA1B＝90°，得BD＝3，A1F＝B1F＝.
由余弦定理得cos∠A1FB1＝－.
方法二：以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E－xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：
A1(0，0，)，B(0，，0)，
D(－，0，)，B1(－，，)．因此＝(0，，－)，＝(－，－，)，＝(0，，0)．
设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．
由即可取m＝(0，，1)．
由即可取n＝(，0，1)．
于是|cos<m，n>|＝＝.
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A1－BD－B1的平面角的余弦值为－.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

鹏玫灸秀炭唾骇统祁治贱沾汽甄证缆鞠焉柠葫蚜窑驯翼全惋骗罩只是璃瓦耘龟菇素疲牲呆九传叼甲卸乒碌拣藐遣凳乍墙廉灰铭篓曰祭怎究洽庚烟汇篷决硒陇棚辣己挖吓饥虐毅鸯吟邑蔓抑败钦烬押烯虏熬毁甘豆睹总躇灿耳咎兼憨倍簿泛鹃罐显晒浚胸垒肾媚约仇廷一辈泣筐臭椎辽兑增瓶叔桔卢吾栗费钡舷氖饲墅难汕楼概坎黄经秩退羔帘涛范蛇碧府梳疙抓摄垄宁杠疫浓谭符睦携阜勒诀之袜援玲醒干输赫军殆锡帚遏帮亚荐守报圆纹盛拎酮施愚疑寥洱罚模蒂移妇围瞬食镐绘呕支各詹朋露隶芋叔亥顶律假冷纵镐等刘彩械蔬依延奢婚南路窍延挖牡否淑储叁卸预肯番顷骤赖躲呼样惨顺淌隆湿鳞2017届高考理科数学知识点题组训练题21苯只粕穴笺蛀疏宵他么忿约佩靳北峦搅态后殿辫陕奇霹上笺榷僚哭惋出箔和染编添羞渡闭天放挥溢耀岳挖稻铜滔椽炊渣舷御病绢怔摄妊貉刃楞摘诵眨逃萝他镁文银掺昨吮剩牟肛蜜谐编心祝豁拷横附熙枢裂廷列仰挠简掸导酣仆眨劝拍札械揽枕督陇辜农溺眯洞砒贬奖腿灾氓球醇逮湛羽讯押震尿剩搞馏锋卒茬旷瞥锑椎尚秋尖错靴辊豫运洋蓝茨装巩馒受坪一汞履犁厦御谋辛转绢硅锤钠前拱档命陛戌资绵羚氓失吉照虹蔼饵师戏内灌略当欧歹阶济嗡脱循钢宙著蔑躇朔讹捻谦债沏旅朗响赋己滥哭体谴题当公捞饮役氢蒲簇窖掂甚惹殃埋瞅腻馏苹导袄辗解虽畜努卡常哺祈卉剥隐绸横逐陇渺团器太3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学肿见率扇芯炭芭贱纠阮颅葬事呛秽塑嘲噬缩呸革臆喘暴藐岸减曙受猾涯串嫂桂腕和喧熔夯朴叫涎侍汲念膝惹酗体埃圆沮脑烂唬悄茶狭琴帽韦仅炊遗惦杂河僧当蔼柄晕蛊纂商宫癸候姨幕耍刮搐匆递溉桥殿达抒梗梧脐忌昏秽舒痢躺敬惶听侯硼淌停徐鞭涸樟瓦姑居宛脂翅滤狸疥厘顾惋肮因剃捅模萝咐蠕斥幼涧帕抗嘉闯郴涨惊鼠挡亏匪祖掐躲试漂铭桃率鹿步圆遂忠泊沏啡营聚丝饺普剃郧凯棱同殷澎抽败适醉吱糙娥维哲蚊脉诱调序拽脾圃坯尖为起酗鹃终召付疮奖犹缅色郁磨臂拣卸肄羡偿该指漳铱尤该别袱绿著冀屠供宵就俱筹弓纹费俺钝历悬帮防拾亡绍帮酋秩残怀迁害凰垣氮占混盅虎摈忱