高考数学专题复习测试卷10.doc

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第十三讲 函数模型及其应用
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.(2010·杭州调研题)2002年初,甲､乙两外商在济南各自兴办了一家大型独资企业.2010年初在经济指标对比时发现,这两家企业在2002年和2009年缴纳的地税均相同,其间每年缴纳的地税按各自的规律增长:企业甲年增长数相同,而企业乙年增长率相同.则2010年企业缴纳地税的情况是( )
A.甲多 B.乙多
C.甲乙一样多 D.不能确定
解析:设企业甲每年缴纳的地税组成数列{an},由于企业甲年增长数相同,所以数列{an}是等差数列,则an是关于n的一次函数.设企业乙每年缴纳的地税组成数列{bn},由于企业乙年增长率相同,所以数列{bn}是等比数列,则bn是关于n的指数形函数.根据题意,a1=b1,a8=b8,如图知a9<b9,故2010年企业乙缴纳的地税多.

答案:B
2.(2010·北京海滨模拟题)北京电视台某星期六晚播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm时,它的体重大约是( )
A.20 g B.25 g
C.35 g D.40 g
解析:假设小蜥蜴从15 cm长到20 cm,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为l的蜥蜴的体重为wt,因此有w20=w15×≈35.56(g),合理的答案应该是35 g,选C.
答案:C
3.(2010·长沙模拟题)在一次数学实验中,运用计算器采集到如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.0 2.0 3.0
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则x、y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a、b为待定系数)?()
A.y=a+bxB.y=a+bx
C.y=ax2+bD.y=a+
解析:解法一:作散点图,由散点图可知,应选B.
解法二:从表中发现0在函数的定义域内而否定D;函数不具奇偶性,从而否定C;自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.
答案:B
4.(2010·江门诊断题)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%),则每年销售量将减少10x万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x的最小值为()
A.2B.6
C.8D.10
解析:(100-10x)•70•≥112,2≤x≤8.
答案:A
5.已知A､B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是()
A.x=60t
B.x=60t+50t
C.
D.
解析:到达B地需要=2.5小时;
所以当0≤t≤2.5时,x=60t;
当2.5<t≤3.5时,x=150;
当3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5).
答案:D
6.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P= (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,则a的最小值应为()
A. B.5
C.3 D.解析:设对乙商品投入资金x万元,则投入甲商品的资金为(20-x)万元(0≤x≤20).
则纯利润S(x)=,
依题意应有S(x)≥5恒成立,
即≥5,
即a≥,
由于0≤x≤20,
∴
答案:A

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010·武汉联考题)已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年剩留质量为y,则y关于x的函数关系是________.
答案: (x≥0)
8.(2010·温州统考题)某服装商贩同时卖出两套服装,卖出价为168元/套,以成本计算一套盈利20%而另一套亏损20%,则此商贩________.(填赚或赔多少钱)
解析:设盈利的那套服装成本价为x,则x+20%x=168,x=140元,设亏损的那套服装成本价为y,则y-20%y=168,y=210元,所以商贩赔(210-168)-(168-140)=14(元).
答案:赔14元
9.在不考虑空气阻力的情况下,设火箭的最大速度v m/s和燃料的质量M kg,火箭(除燃料外)的质量m kg的函数关系是v=2000•ln(1+M/m).当燃料质量是火箭质量的________倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
解析:∵2000•ln(1+M/m)≤12000,∴≤e6-1.
答案:e6-1
10.一水池有两个进水口,一个出水口,每水口的进､出水速度如图甲､乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口).

给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.则一定能确定正确的是________.
解析:由丙图(题图)知0点到3点蓄水量为6,故应两个进水口进水,不出水,故①正确.
由丙图(题图)知3点到4点间1小时蓄水量少1个单位,故1个进水1个出水,故②错误.
由丙图(题图)知4点到6点蓄水量不变,故两个进水一个出水,故③错误.
答案:①
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)

11.某长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李.如果超过规定的质量,则需购买行李票,行李费用y(元)是关于行李质量x(kg)的一次函数,其图象如图所示.
(1)根据图象数据,求y与x之间的函数关系式;
(2)问旅客最多可免费携带行李的质量是多少千克?
解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b.
由题图可知,当x=60时,y=6;
当x=80时,y=10.
∴
∴y与x之间的函数关系式为y=x-6(x≥30).
(2)y=x-6(x≥30)中y的值为0时,x的值为最多可免费携带行李的质量,应是函数图象与x轴交点的横坐标.
当y=0时,x=30.
∴旅客最多可免费携带行李的质量为30 kg.
12.某公司生产的A型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年,商场为吸引厂家,决定免收该年管理费,该年A型商品定价为每件70元,年销售量为12.7万件.第二年,商场开始对该商品征收比率为m%的管理费(即销售100元要征收m元),于是该商品每件的定价提高%,预计年销售量将减少m万件.
(1)将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成m的函数,并指出这个函数的定义域;
(2)要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于21万元,则商场对该商品征收管理费的比率m%的范围是多少?
(3)第二年,商场在所收管理费不少于21万元的前提下,求使厂家获得最大销售金额时的m的值.
解:(1)依题意,第二年该商品年销售量为(12.7-m)万件,每件销售价格为:

故当m=3时,厂家销售金额最大,且商场所收管理费又不少于21万元.
13.某皮鞋厂,从今年1月份开始投产,并且前4个月的产量分别为1万双,1.2万双,1.3万双,1.37万双.由于产品质量好,款式新颖,前几个月的产品销售情况良好.为了推销员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.厂里分析,产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂不准备增加设备和工人,假如你是厂长,将会采用什么办法估算以后几个月的产量?
解:作出图象如下图,图上可以得到四个点:A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).

解法1:(一次函数模型)
设模拟函数为y=ax+b,以B,C两点的坐标代入函数式,有
所以得y=0.1x+1.
评析:此法的结论是:在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1000双,这是不太可能的.
解法2:(二次函数模拟)
设y=ax2+bx+c,将A,B,C三点的坐标代入,有

所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.
评析:由此法计算4月份产量为1.3万双,比实际产量少700双.而且,由二次函数性质可知,产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下,对称轴方程是x=3.5),这显然不符合实际情况.
解法3:(幂函数模拟)如下图,

设y=a+b,将A,B两点的坐标代入,
有
评析:以x=3和4代入,分别得到y=1.35和1.48,与实际产量差距较大.这是因为此法只使用了两个月的数据.
方法4:(指数函数模拟)如上图,
设y=abx+c,将A､B､C三点的坐标代入,得

所以y=-0.8·0.5x+1.4.
评析:以x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35.
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