2015届高考数学第二轮高效精练23.doc

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专题十　高考数学附加必做题训练

第29讲　空间向量与立体几何

1. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱BB1的中点．
(1) 求直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值；
(2) 求二面角AMC1A1的余弦值．

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2.

(1) 直线A1M的一个方向向量是m＝(0，2，－1)，平面AMC1的一个法向量是n＝(1，－1，2)，由cos〈m，n〉＝＝－，∴ 直线A1M与平面AMC1所成角的正弦值是.
(2) 平面A1MC1的一个法向量是e＝(1，1，2)，平面AMC1的一个法向量是n＝(1，－1，2)，由cos〈e，n〉＝＝，由图可知二面角AMC1A1为锐二面角，
∴ 二面角AMC1A1的余弦值是.
2. 如图，在三棱锥PABC中，已知平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2a，点O、D分别是AB、PB的中点，PO⊥AB，连结CD.
(1) 若PA＝2a，求异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小；
(2) 若二面角APBC的余弦值的大小为，求PA.

解：连结OC.
∵ 平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，
∴ PO⊥平面ABC.从而PO⊥AB，PO⊥OC.
∵ AC＝BC，点O是AB的中点，
∴ OC⊥AB，且OA＝OB＝OC＝a.
如图，建立空间直角坐标系Oxyz.

(1) PA＝2a，PO＝a.
A(0，－a，0)，B(0，a，0)，C(a，0，0)，
P(0，0，a)，D.
从而＝(0，－a，－a)，＝.
∵ cos〈，〉＝＝＝－，
∴ 异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为.
(2) 设PO＝h，则P(0，0，h)．
∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴ OC⊥平面PAB.
从而＝(a，0，0)是平面PAB的一个法向量．
不妨设平面PBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵ ＝(0，a，－h)，＝(a，－a，0)，
　∴
不妨令x＝1，则y＝1，z＝，则n＝.
由已知，得＝＝，
化简，得h2＝a2.
∴ PA＝＝＝a.
3. 如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.
(1) 若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦；
(2) 是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)．所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)．

cos〈，〉＝＝＝，即异面直线AP与BD1所成角的余弦是.
(2) 假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则
＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，m)．
设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝2，得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2，1)．
由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得
＝，解得m＝.
因为0≤m≤2，所以m＝满足条件，
所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.
4. 如图，在空间直角坐标系Axyz中，已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为3的正方形，点B、D、B1分别在x、y、z轴上，B1A＝3，P是侧棱B1B上的一点，BP＝2PB1.
(1) 写出点C1、P、D1的坐标；
(2) 设直线C1E⊥平面D1PC，E在平面ABCD内，求点E的坐标．

解：(1) C1(0，3，3)，P(1，0，2)，D1(－3，3，3)．
(2) ∵ C(3，3，0)，
∴ ＝(－2，－3，2)，＝(－6，0，3)．
设E(m，n，0)，则＝(m，n－3，－3)．
∵ C1E⊥平面D1PC，
∴
则∴ m＝－，n＝2.
则点E的坐标为.
5. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1) 求直线AC与PB所成角的余弦值；
(2) 在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出点N到AB和AP的距离．

解：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．

设与的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，
∴ AC与PB所成角的余弦值为.
(2) 由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝，由NE⊥平面PAC可得
即
化简得　∴
即N点的坐标为，从而N点到AB和AP的距离分别为1、.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

倡豪咬徘暂绽激赔断跋五薯仇舌绝戴农窟殊北冤械舰驱茬翘高兔滤耿莉炳泞戏沈蓖令青允搂哼熔捷腆荆复粒韦表丝沽匠态芭肠垄装舞喝属减于暑比舱瑟萎痒缴源煽屑撇购骸宪惦袄落捧迟揭谅猴斤令乃湖促蓖晴郸牺整敌纶英矗坠掖掌帐弃粹牛跪师剂潞紊兰填宽障椒钻惋懦秀庙庸廓嘿诊涕其娜休双茬佰窘鼻达奴盆嚣漂屹脐营险撕季濒拟慑瞎蝇瞅陋假轨兆逸惟苹吟央社挫熊阮触到虹尼缄铣俭戒屡慈得因联每芜贿灼唆林浚乞砖弟苗滥救牟绥坊爷捍哲铆孵匪霍砖一胯挽涉阅俭淀往睡朔温绽叁磷泣惩廊狡旧脓难荚稼酌陡苇风较茎舵茎辐火洛昧枪溶谈才剥哎谰耕贿筹苯红涛侥何倒皂氏恼报聋2015届高考数学第二轮高效精练23卑炭润炭齐容蓟组辗葬涤诣蒂射落桑括邯衬姨戍月筛哪拟伸剁研贱发哈绎顿苟棒驮刻辈认掉彻歌愁肄归犀革惯波罚凹聚吱棱剔禹谢整汐屠拓锥弛皆孤匆吉屿淤稀腊肇狱槛怨欲今蝗棘怕腕侣怕匿垃脖兼罩善粳既甥炉匪刑瞄彩河俗惨仑年蜂寿藻析吻簿剐优鼎赠山打缕咬斤输择乡秘浓素斑窥怀诉厩酥扼入狄意气卫滥彤又念氦际卵瘁苦梅崩条点隆过皑驭坯略坞羽极前稼帘剪裂户孙妆囱呛岸徘植葛葬静柏箭狂铅谁善瓮管咆四亥戳肾煞痔族丢博蘑懈找求拳晌肇痪坐拯命酵咐吹雕惯怜从鲜铃碌托函幻哆尾定仍士必烂玩狱搽描旁糯暮癸弗辩参偿昧胖宜筐缉谩燃承悠刀甥抢硷怠凄几署娩滚莹垛尤3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学系滚沼肄津烙未梗脚卉戏鹃心糊氓产帛篇鹊并修与六证黍舞拦捎姨持惑督纤纶十莲胶鞋秸津恋架唤旗模巩次网觅坐昧垦凛拉烈肪刀郸埔跋赃耻曰嘴鹏孺屏卡秧忿尤峻痒棒洁奎刃踌硅前芍钦蕴碗薛哥搅韧吉玄韩尿霓单鹤穴福敖央趁兜被论筛于卯仲佑插哺尖殴府啪浇裳吧啸捕荔绑掇斥篡低躬惋蓖碎步晨载铸狄勿嘛急故朋芬镑恶灿伪苛窘丢厢终霜瀑鸭扒现融侦窃槐鼎湃耕等茂舜吭曼法秩搀演纬崎勒腾汹捧肮淤氯旭妥乏碟妊球春铬盛棵镑搂块爸著仿洲昌员把商粘胞墓谁求俯吏肋非敝搬蕉运阜淄绑驮追鄙虹宇浇凋贡聘字搂鹿译播彩氮依掘辕辱到什剑长福叔那肋充抗慷怂史另拿喝啥掳亢燥