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一道几何证明题的方法与研究

牛鑫

摘 要：通过构造法说明如何构造三角形全等，探究两条线段之间的数量关系中蕴含的推理思想，并相应地提出解决这类问题的方法。
关键词：三角形；全等；几何证明；两角互补
初中几何是数学学习的重要内容。学好几何不仅对于初中数学的学习有极大的帮助，而且对高中数学的学习也有一定影响。几何学更能够培养学生的逻辑思维及抽象思维能力。但多数同学感觉证明几何题时没有思路，特别是对一些需要添加辅助线的几何题感到无从下手，因而失去了学习几何的信心。因此教给学生解题思路和解题技巧是帮助学生提高分析问题、解决问题能力的关键。下面就以一道2014辽宁大连一模几何证明题的某一问来探究如何分析几何证明题，采用构造法解决几何证明题。
问题：（2014辽宁大连一模）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E，F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE.
（1）求证：∠AFB与∠BAC互补
（2）图1中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由。
探究两条线段之间的数量关系，一般都需要通过构造两个三角形全等来实现。如何添加辅助线，利用已有的边和角去构造出全等的三角形，以及怎样证明两个角相等，这些几何问题的证明思路学生比较陌生，解决这些问题的方法都需要逐步在课堂渗透，引导学生不断感悟，并将学会的方法进行迁移。
多种解法，一个思想
【证法1】（1）如图2，∵BF∥CE，∴∠AFB=∠CEF
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC=∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补.∴∠AFB与∠BAC互补
（2）存在，CE=AF.
如图2，在AF上取一点G，使AG=BF
∵∠AFB+∠BAC=180°=∠AFB+（∠BAF+∠CAF），
∠AFB+∠ABF+∠BAF=180°，
∴∠ABF=∠CAF
又∵AB=AC，∴△ABF≌△CAG
∴AF=CG，∠AFB=∠CGA
又∵∠AFB=∠CEF，∴∠CGA=∠CEF.
∴CE=CG.∴CE=AF.
【点评】证明线段CE与AF相等，可以转化为證明包含CE边的三角形与△ABF全等，通过挖掘已知条件，发现∠ABF=∠CAF，又AB=AC，这时还缺一个条件，于是从SAS（边角边）证明三角形全等切入，在AF上截取AG=BF。从一条对应边相等，一组对应角相等入手，再构造一组对应边相等，这样便可构造出一对三角形全等。
下面在该题的其余解法中选择两种供参考。
【证法2】如图3，构造与△ABF全等的三角形。在AF上取一点G，使得CG=CA，则CG=BA，∠CGA=∠CAG，而∠GAC=∠ABF，所以∠CGA=∠ABF，又BF∥CE，则∠BFA=∠CEG，从而△ABF≌△CEG，所以CE=AF。此方法的关键是通过作等腰构造出与∠CAG相等的角。
【证法3】如图4，我们也可以构造与△ACE全等的三角形。根据同角的补角相等，则∠AFG=∠AEC。可以考虑从这对角相等入手，还需要引入一条辅助线，既能带来边相等也能带来角相等，于是在BF的延长线上取一点G，使得AG=AB，即构造等腰三角形来实现。
我们发现遇到两个角互补的问题，可以通过构造已知边的等腰也可构造求证边的等腰，从而为证明三角形全等作准备。在作辅助线的过程中，注意不要破坏题目中原有的条件。
构造思想是数学思想的一种思考方式，而构造法是数学方法中的一种。构造性的思想决定了如何构造，怎么构造，构造后怎么解决等问题。构造法是根据原问题的条件和结构来进行分析观察，然后通过联想原有的知识进行迁移变换，由于每个人的知识层次不同，解题经验不同，思考的方向不同，这也决定了形式也是不同的，所以构造法的灵活性很大，一个问题可能有多种不同的构造方式。
通过上面的分析可以知道，在探究两条线段之间的数量关系时，我们可以从一边一角即一组边对应相等，一组角对应相等，通过辅助线构造出一个三角形与确定的另一个三角形全等。但值得注意的是，在证明角相等的问题时，暴露出学生的不足之处，需要引导学生进一步总结推理角相等的方法，需要我们在课堂上给予学生充分的时间和空间，进一步来完善学生的几何证明推理能力。
我们所给出的各种思路能帮助学生进行构造性思维的训练和理解，同时让学生从本质上理解构造法的意义，并且在训练中提高学生的创新能力。构造法需要学生有良好的知识框架，才能建立起知识之间的内在联系，才能更好地进行构造，所以要将所学的知识系统化、有序化，经常整理知识，分析它们之间的内在联系，建立良好的知识框架才能培养出好的构造思想。
编辑 赵飞飞

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