连续时间的IS-LM模型可控制性与仿真研究.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国 家 自 然 科 学 基 金 资 助 项 目（）；湖 南 省 自 然 科 学 基 金 项 目（）；广 东 省 自 然 科 学 基 金 项 目（）；广东省哲学社会科学规划课题（）；广州市哲学社会科学规划课题（）；广东省普通高等特色创新类项目（）；重庆师范大学数学科学学院省部级重点实验室开放课题（）作者简介：王祥兵（），男，河南信阳人，博士，教授，研究方向：经济金融系统化管理。连续时间的 模型可控制性与仿真研究王祥兵（怀化学院 商学院，湖南 怀化 ；广州番禺职业技术学院 财经学院，广东 广州 ）摘要：在现代经济学的标准假设下，建立连续时间的 动态模型，分析 动态模型的系统结构特征，设计连续时间的 动态模型的控制律，得到控制律的解析解并进行仿真分析。研究表明：连续时间的 动态模型具有能控性、能达性和完全能观性等系统结构特征；连续时间 动态模型系统可以任意配置其极点，使模型系统渐进稳定，达到输出调节并具有满意的动态性能，即在现代经济学的标准假设下，证实了 动态模型的可控性。根据模型假设及模型参数的经济意义设计仿真实验，仿真实验结果验证了所设计反馈控制律对连续时间 动态模型控制的有效性。因而，针对复杂多变的经济形势，科学设计经济政策，能有效实现经济调控的目标。关键词：连续时间的 模型；反馈控制；能控性；能达性；能观性中图分类号：；文章标识码：文章编号：（）：（，；，）：，：，：；引言实际经济系统通常由货币和商品两大市场构成，动态演化是实际经济系统发展的本质特征。因而，货币和商品两个市场中经济变量如总供给、总需求、投资、消费等，总是随着时间不断地波动变化，导致货币与商品市场不断呈现出振荡、波动、失稳、失衡等非均衡演化状态 。稳定的商品市场和货币市场，可促进宏观经济健康发展，而商品市场和货币市场的非均衡演化状态，则会对宏观经济发展形成严重的负面效应 。为熨平市场振荡、波动与失衡等对经济发展的负面影响，政府须依据经济发展形势设计相应的货币和财政政策，推动宏观经济健康发展。模型由英国经济学家 首创，后经美国经济学家 等人完善 ，是现代经济学中 描 述 封 闭 经 济 系 统 运 行 机 制 的 基 准 框 架 之一 。指出传统的 模型是一种均衡、静态的分析模式，刻画与表达动态的宏观经济理论和观点需要用动态模型分析替代之。和 提出了一种考虑价格因素对经济增长影响的总需求 通货膨胀调整模型，拓展了传统的 模型，提升传统 模型对复杂经济形势的解释力。部分学者借助计量方法对 模型进行估计和实证分析。司春林等 用中国经济数据估计 模型的参数，分析和解释模型中参数的政策意义，分析结果表明：传统的 静态模型难以有效分析和解释经济政策滞后性问题。张晓晶 创新性把金融创新引入 模型 的 分 析，扩 展 了 模 型。林 黎 和 任 若恩 进一步拓展最优化的 模型，构造一个包含定期存款行为与国际部门的四部门、三资产的 模型，并用中国基础数据实证和解释其参数的政策意义。近年来，现代控制理论和动力学仿真方法逐渐被引入到经济学研究。采用最优化控制理论分析了一类宏观经济模型的可控性及控制策略问题。乘数 加速数模型是分析宏观经济增长的基础模型，杨怡光和刘玮 建立乘数加速数问题的系统动力学模型并针对优化政策进行了仿真探索。熊焰等 建立修正的乘数 加速数差分方程模型，分析了模型的系统结构特性及中国数据实证。龚德恩 利用差分方程建立离散时间 的 模 型 及 其 控 制 问 题。等 利用最优控制方法分析了混合约束条件下一类宏观经济增长模型的特性及其优化控制问题。上述文献从静态、比较静态视角利用计量经济学、系统动力学、最优化等方法分析了 模型系统的经济特征及拓展应用。而现实的经济系统由于受外部环境影响是复杂多变的且不断波动与失衡。因此，需要把现代控制理论引入 模型研究。本文主要贡献在于：第一，将现代控制理论和动力学仿真思想引入 模型研究，构建基于连续时间的 的动态模型；第二，分析了 模型在商品市场和货币市场交互变化过程的演化机制和动态的系统结构特征；第三，分析了非平衡波动条件下实现 模型系统稳定的机制与控制策略及其政策意涵，仿真验证本文的理论结论。连续时间的 模型构建通常的 模型是由需求与供给均衡的静态方程构成，包括商品和货币两大市场。实际经济系统是随时间推移而动态发展的，即商品和货币市场都是非平衡演化的。当货币市场、商品市场出现第 期王祥兵：连续时间的 模型可控制性与仿真研究非均衡状态时，利率、总供给则会随之调整，调节市场中货币、商品的供给与需求，以实现货币市场和商品市场的均衡发展。因而，可构建连续时间的 模型如下：商品市场 总需求函数（）（）（）（）（）其中，（），（），（），（）分别表示政府支出、投资、消费、总需求等变量。消费函数（）（），（）其中，（），分别表示可支配收入、边际消费倾向和自发性消费水平。可支配收入函数（）（）（）（）其中，（）和 （）分别表示税收和总收入。税收函数（）（），（）其中，边际税率用 表示。投资函数（）（）（），（）其中，代表经济系统中自发性投资水平，而投资对利率及产出变化的弹性系数则分 别 用 和 表示。总供给函数 （）（），（）（）式说明，当商品市场中商品需求多于商品供给时，企业增加商品生产，总供给增加；当商品市场中商品供给多于商品需求时，市场中商品库存增多，企业减少商品生产，总供给下降；当商品市场中商品供给等于商品需求时，市场处于均衡状态。货币市场 货币需求函数（）（）（）（）其中，（），分别表示利率、价格；，分别表示货币需求对利率和总产出变化的弹性系数；，（），分别表示名义、实际及自发性的货币需求。利率调节函数 （）（），（）其中，（）分别表示名义及实际的货币供给。（）式表明，当货币市场中货币供给多于或少于货币需求时，市场中利率相应的下调或上升，以实现货币市场均衡。模型的控制目标与变量对连续时间的 模型控制，政府（或决策者）希望实现 个调控目标：（）总产出按照预先给定增长率 增长，即 （）（）；（）市场利率稳定在预先给定利率水平，即 （）。其中，表示计划总供给，表示预先给定利率，。根据连续时间的 动态模型控制目标，模型控制的输出变量 （）的矢量形式为：（）（），（）（）控制输入变量 （）由政府支出需求 （）、货币发行量（）组成，分别代表财政和货币政策变量，用矢量形式记为：（）（），（）（）状态变量 （）由总产出 （）、利率 （）组成，用矢量形式记为：（）（），（）。干扰输入变量 （）由自发性消费、投资、计划总供给、目标利率 组成，矢量形式为：（）（，）。模型的状态空间形式将（）（）式代入（）式得：（）（）（）（）将（）（）（）式代入（）式得：（）（）（）将（）式代入（）式得：（）（）（）（）构成 动态模型系统（）：（）（）（）式（）的状态空间形式如下：（）状态空间（）分别由装置、输出误差以及外扰模型等三个方程组成。根据 动态模型的设计要求，式（）的边值条件如下：运 筹 与 管 理 年第 卷（），（）（），（），（）。其中，分别为控制期始端和终端。状态空间（）的系数矩阵如下：（），。模型的系统结构特性分析现实经济系统运行和管理过程中，政府总希望通过输入信号（即政策设计）控制和调整现实经济系统演化及其状态，并使其具有决策者所预期的动态性能。为此，需要先分析 动态模型的系统结构及特性。动态模型能达性和能控性命题 连续时间的 动态模型具有能达性与能控性。命题 刻画了连续时间 动态模型输入变量与状态变量关系。命题 表明：总存在一个控制变量 使得连续时间 动态模型的初始状态在有限时间内转移达到所需要状态。即通过政策的设计，改变连续时间 动态模型运行状态，使其出现政府所希望的经济运行态势。动态模型的能观性命题 连续时间 动态模型的能观性指数为 ，具有完全能观性。命题 刻画了连续时间 动态模型输出变量与 状 态 变 量 关 系。命 题 表 明：连 续 时 间 动态模型的初始状态 （）可以由一个有限时间，（）段上模型输出 （）来唯一确定。即连续时间 动态模型可通过观察其输出变量确定其运行状态。模型的控制律设计命题 、命题 表明连续时间的 动态模型具有良好的系统结构特性。因而，可通过配置其闭环系统的极点，使 动态模型渐进稳定，并达到输出调节 ，即 动态模型的输出趋向于零，（）（）（）（）。其中，（），（）分别为连续时间的 动态模型的纯增益反馈控制器和外部干扰输入。假设连续时间 动态模型的状态反馈控制律为：（）（）（）（）其中，分别反馈控制律的伺服和镇定矩阵。由于 动态模型的闭环系统渐进稳定是实现其控制目标的必要条件。因而设计反馈控制律伺服矩阵 的原则是 动态模型输出误差的静态值须等于零 ；设计反馈控制律镇定矩阵 原则是矩阵 的特征值都在复平面的单位圆内，即 是渐进稳定矩阵，且 动态模型系统具有良好的动态响应过程。动态模型的静态误差须满足装置条件 ，因而 须使得式（）成立：（）（）其中，未知矩阵 的阶是 。不失一般性，取镇定矩阵 如下：。则模型（）的闭环系统特征多项式如下：（）（），解得 （），（）。其中，取值须使 ，。代入（）式，解得：（）。，代入式（），得到连续时间 动态模型的状态反馈控制律的解析解：（）（）（）（）（）命题 利用纯增益反馈控制器（）式，可使连续时间的 动态模型闭环系统渐进稳定，并达到输出调节。第 期王祥兵：连续时间的 模型可控制性与仿真研究 仿真分析以 作为仿真工具，利用计算实验方法仿真验证所设计控制律对连续时间 动态模型控制的有效性。设置 动态模型控制的仿真参数连续时间 动态模型（）涉及经济参数 个，依据建模要求及经济参数的含义，进行如下设置：，模型中参数，的单位均为百亿元人民币。连续时间 动态模型状态变量 （）、干扰输入变量 （）的初始值分别为（，）、（，）。此时，政府的调控目标转变如下：（）（）；（）。其中，为计划总供给，为预先给定利率。仿真结果分析连续时间的 动态模型中各参数在上述设置下，仿真得到其二维相位图，见图 。图 动态模型的二维相位图 动态模型的二维相位图是随时间变化的平面曲线，其纵横坐标分别为动态模型的状态变量总产出 （）和利率 （）。图 可看出，在相平面上 动态模型的迹线均为环绕 动态模型均衡点的螺旋线，所有迹线都偏离 动态模型的均衡点，且向外不断扩大而发散 。此时，动态系统是非平衡和波动的，其对应的经济运行状态是失衡和剧烈振荡的。相同参数设置下，取 个时间单位，利用动力学仿真方法对连续时间的 模型的动态演化过程进行分析，仿真演化过程见图 。图 中总产出、消费、投资的单位均为百亿元。图 无控制条件下 模型演化图图 表明，在无控制条件下，连续时间的 模型系统的振荡发散和非平衡波动非常显著，模型中变量如总产出、消费、利率、投资等都发生很大波动。其中，利率在负 至 间大范围振荡，利率大幅波动以及剧烈振荡又进一步推动投资、消费的波动与振荡，从而导致总产出的振荡及发散。总产出在负 亿到正 亿间巨幅波动、振荡。随着总产出变化，消费 （）在负 亿到 亿间振荡、波动。而总产出的变化与利率波动，引致投资也一直处于波动之中，在负 亿至 亿间振荡波动。动态模型中货币市场与商品市场的剧烈振荡和失衡必然会负面影响宏观经济的稳定运行。因而，政府需要依据实际经济系统运行特征变化及态势进行政策设计，以实现对实际经济系统演化状态调整和控制的目标。根据命题 ，利用（）式中财政与货币政策变量的控制律，仿真和实验分析连续时间的 动态控制的效果，仿真结果见图 。图 中，期初利率为 ，逐渐开始下降，到第 期下降到 ，即实现政府调控利率的目标，随后一直稳定在 ，保持在合理利率预期水平内。随之，消费与投资也保持了平稳的增长，期末消费和投资分别达到 亿、亿，不再振荡、波动。此时，总产出也稳定增长，期时，总产出达到 亿，增速为 ，整个经济系统实现快速稳定的发展目标。上述仿真与实验分析表明：式（）设计的纯增益反馈控制律是有效的，所设计的政策变量可使商品市场与货币市场均趋于均衡和稳定发展，可有效实现对宏观经济系统演化状态的调整及控制；在 模型实现稳定前提下，总产出、消费总量、投资总量远大于模型振荡、波动时的最高幅度，进一步说明宏观经济的平稳运行对经济发展的重要意义。运 筹 与 管 理 年第 卷图 加入控制后 模型演化图 政策含义与结论把 （），（）代入连续时间的 动态系统控制律的解析解（）式，并作变换，可得如下：（）（）（）（）（）（）由于连续时间的 动态模型的特征多项式渐进稳定，所以，均为模小于 的负实数，可得：（），。连续时间的 动态模型有效刻画了封闭经济系统随时间演化过程，其控制律 （）有丰富的政策含义：（）式表明，财政政策变量 （）的调节机制由三个部分组成：在即期总供给中扣除即期的净出口需求、投资、消费（）的基础上，与即期总供给与计划总供给之差（）反向变化，与计划总供给 同向变化。（）式表明，货币政策变量（）的调节机制由两个组成部分，在即期货币需求的基础上，与即期利率与计划利率之差（）同向变化。模型是宏观经济学中描述实际经济系统的经典框架。利用现代控制理论和动力学仿真方法，在现代经济学标准假设下，证明了 模型的可控性，即宏观经济系统具有可控性，为政府在经济波动与失衡条件下的宏观调控与政策设计，提供了理论支撑。参考文献：王祥兵，严广乐，陈华 纯增益反馈控制律在 模型中的应用研究 经济数学，（）：王祥兵 蒙代尔 弗莱明模型可控性与仿真 系统管理学报，（）：张晓晶 加入金融创新的 模型 经济研究，（）：，（）：，：，（）：，（）：司春林，王安宇，袁庆丰 中国 模型及其政策含义 管理科学学报，（）：林黎，任若恩 中国的最优化动态 模型构建与应用 数量经济技术经济研究，（）：，（）：杨怡光，刘玮 乘数 加速动力学模型仿真 中南民族学院学报 ，（）：熊焰，赵铁山，胡军浩 乘数 加速数模型的稳定性与宏观 调 控 政 策 统 工 程 学 报 ，（）：龚德恩 经济控制论 北 京：高 等 教 育 出 版社，：，（）：王祥兵 连续时间的蒙代尔 弗莱明模型可控性及其仿真 信息与控制，（）：王祥兵 连 续 时 间 的 模 型 稳 定 性 及 其 仿 真 管理评论，（）：王枞 控制系统理论及应用 北京：北京邮电大学出版社，：第 期王祥兵：连续时间的 模型可控制性与仿真研究