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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(1),127-132 Published Online January 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.131015 文章引用文章引用:徐晨,常桂松.基于概率统计方法证明若干组合恒等式J.应用数学进展,2024,13(1):127-132.DOI:10.12677/aam.2024.131015 基于概率统计方法证明若干组合恒等式基于概率统计方法证明若干组合恒等式 徐徐 晨晨，常桂松常桂松 东北大学理学院数学系，辽宁 沈阳 收稿日期：2023年12月15日；录用日期：2024年1月9日；发布日期：2024年1月15日 摘摘 要要 组合恒等式的发现与证明一直是组合数学的一个主要分支，一些组合等式因其复杂性难以直接证明，如组合恒等式的发现与证明一直是组合数学的一个主要分支，一些组合等式因其复杂性难以直接证明，如何给出组合恒等式的简洁证明是组合数学的重要研究方向。本文应用负二项分布卷积的不同表达形式，何给出组合恒等式的简洁证明是组合数学的重要研究方向。本文应用负二项分布卷积的不同表达形式，与负二项分布的可加性等性质，发现并证明了若干组合恒等式。与负二项分布的可加性等性质，发现并证明了若干组合恒等式。关键词关键词 组合等式，负二项分布，组合等式，负二项分布，Bell多项式多项式 Proofs of Several Combinatorial Identities Based on Probability Statistics Method Chen Xu,Guisong Chang Departement of Mathematics,College of Sciences,Northeastern University,Shenyang Liaoning Received:Dec.15th,2023;accepted:Jan.9th,2024;published:Jan.15th,2024 Abstract Finding and proving combinatorial identities is an important part of combinatorial mathematics.However,some combinatorial identities contain computational complexity,which hinders the di-rect proofs.So it is an important research direction in combinatorial mathematics to give concise proofs of combinatorial identities.In this paper,some combinatorial identities are found and proved by using different expressions of convolution of negative binomial distribution and the additivity of negative binomial distribution.Keywords Combinatorial Identity,Negative Binomial Distribution,Bell Polynomial 徐晨，常桂松 DOI:10.12677/aam.2024.131015 128 应用数学进展 Copyright 2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 组合数学中的恒等式在数学各个学科有着广泛的应用，组合等式的证明方法也是多种多样，其中应用概率统计方法证明组合等式已经有了很多经典结果1 2。若用不同方法解答同一概率统计模型，得到同一事件的不同概率表达公式，则可得到相应的组合恒等式3。文献4-9中均讨论了负二项分布的卷积，并给出了负二项分布卷积的不同形式的概率展开公式，详见引理 1 与引理 2。文献4 10 11 12中均讨论了几何分布的卷积，并给出了几何分布卷积的不同形式的概率展开形式，详见引理 3 与引理 4比较这些结论并结合负二项分布的可加性、Bell 多项式的相关性质即可推出若干组合恒等式。负二项分布是概率统计中重要的离散型分布，若随机变量 X 的分布律为()(),01,1,0,0,1,2,kP Xkpqpqpkk=?则称随机变量 X 服从参数为(),p的负二项分布，记作(),)XNBp。若随机变量(),YNBp，且随机变量 X 与随机变量 Y 相互独立，则随机变量ZXY=+服从负二项分布，即(),ZNBp+，称为负二项分布的可加性。下面给出关于负二项分布卷积的引理，设12,nXXX?是()2n n 个相互独立的随机变量，分别服从负二项分布，即(),iiiXNBp，其中0 1ip，0i，1,2,in=?。引理引理 1.4负二项分布卷积1niiSX=的分布律为()12111211111121,0,1,1,!121ikjiniicccnnnkjiiiiiiniiiiikjpkP Skqqqpkc cckj+=+=+=+?其中求和式取遍所有满足12312323ccckcccj+=+=?的整数123,0c c c?，0 1ip，0i，1,2,in=?，0,1,2,k=?引理引理 2.5负二项分布卷积1niiSX=的分布律为()1211,0,1,1,iiinniiniimiimmmk iipkP Skmp qkm=+=+?其中为12,nm mm?非负整数。若随机变量 X 服从负二项分布，即(),XNBp，将负二项分布的中的实参数1=时，则随机变量 X 服从几何分布，记作()1,XNBp或()XG p，几何分布是特殊的负二项分布。设12,nXXX?是Open AccessOpen Access徐晨，常桂松 DOI:10.12677/aam.2024.131015 129 应用数学进展 ()2n n 个相互独立的随机变量，分别服从几何分布，即()iiXG p，其中01ip，1,2,in=?。引理引理 3.4几何分布卷积1niiSX=的分布律为()1212121,01,0,1,2,nnnccciniccckiP Skpq qqpk+=?其中求和式取遍所有满足123ccck+=?的整数123,0c c c?。引理引理 4.10几何分布卷积1niiSX=的分布律为()111,01,0,1,2,nnjk niiijijjij ipP Skp qijppkpp+=。证明：证明：设12,nXXX?是()2n n 个相互独立的随机变量，分别服从参数为(),ip的负二项分布，即(),iiXNBp，其中01p，0i，1,2,in=?。由负二项分布的可加性可知，卷积1niiSX=也服从负二项分布，参数为1,niip=，即1,niiSNBp=，则卷积 S 的分布律为()()11,01,0,1,2,0,1,2,niinkiiiP Skpqpin kk=?将引理 1 中参数12,np pp?均取同一值 p，再由1,niiSNBp=，比较卷积 S 的不同概率表达式既成立()112111211,0,1,2,!121kjjnniiiiiccckjkc cckjk+=+=。定理定理 2.设 n，k 为正整数，12,n?为大于 0 的实数，则成立等式 1211212312311123112111,!121kjncccnnniiiniiiiimmmkccckiikjcccjmmc cckj+=+=+=+=+=+?其中为12,nm mm?非负整数。证明：证明：比较引理 1 与引理 2 中的结论，由卷积 S 的不同概率表达式即可正面定理 2 中的等式。徐晨，常桂松 DOI:10.12677/aam.2024.131015 131 应用数学进展 定理定理 3.设:,1,2,iijr rr ij i jn=?为一个任意实数序列，记()ktf t为函数()f t关于 t 进行多项式展开后kt前面的系数，则成立等式 121211211111.1nnnnnccckk nniccckiijiijj itr rrrrtrr+=?其中求和式取遍所有满足123ccck+=?的整数123,0c c c?。证明：证明：若随机变量 X 服从几何分布，即()XG p，X 是一个非负整型随机变量，其概率发生函数()f t为()()()001kXkkkkpf tE ttpqptqqt=，并且随机变量 X 的概率发生函数()f t展开成关于变量 t 的多项式后，()0ktk 前面的系数即为概率()kpP Xk=。不妨设12,nXXX?是()2n n 个相互独立的随机变量，分别服从几何分布，即()iiXG p，则卷积S 的概率发生函数()Sft以变量 t 进行多项式展开后，kt前面的系数即为概率()P Sk=，其中0,1,2,k=?记()kStft为()Sft关于 t 展开后kt前面的系数，则根据引理 3 可知，()12121201111.1nnnnnnccckkkjjiSiiinjccckiiiiiptftttpq tpq qqqt+=?其中求和式取遍所有满足123ccck+=?的整数123,0c c c?。进一步比较引理 4 中的结论，即根据卷积 S 的不同概率表达式即可正面定理 3 中的等式。3.小结小结 本文比较负二项分布卷积与几何分布卷积的不同概率展开公式，得到了三个组合恒等式，有些恒等式还可验证其他组合数学中的恒等式，例如在定理 1 中的恒等式里若取 x=1，并考虑指数型 Bell 多项式与第一类无符号 Stirling 数(),c n k关系，即可验证关于第一类无符号 Stirling 数(),c n k的求和等式()()(),110!,1!,2!,0!,1!,2!,!.nnnn kkkYBc n kn=?若将式定理 2 中的恒等式里所有的12,n?均取 1，则定理 2 中的等式左边为正整数 k 的非负有序 n 分拆个数，因此可以得到一个关于有序分拆的组合式与 Bell 多项式关系的等式 1121231232312111,!121kjcccccckkjcccjnknnnkc cckj+=+=+=+?其中 n，k 为正整数，这个结论与定理 1 中结论一致。相比较于文献1 2中组合数学的概率统计方法，本文主要基于同一概率模型的不同概率展开方法、以及概率模型中特有的概率性质，如可加性等，推导了若干组合恒等式，推导过程简洁明了、推导结果还可以用来论证其他组合等式。基基金项目金项目 东北大学科研启动项目同族分布顺序统计量的性质与应用的研究。徐晨，常桂松 DOI:10.12677/aam.2024.131015 132 应用数学进展 参考文献参考文献 1 Vellaisamy,P.and Zeleke,A.(2019)Probabilistic Proofs of Some Beta-Function Identities.Journal of Integer Se-quences,22,1-10.2 Ge,H.P.and Zhao,X.Q.(2010)Some Applications of Probabilistic Methods in Combinatorial Mathematics.Periodi-cal of 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