十一章多元函数积分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第十一章第十一章 多元函数积分学多元函数积分学 第一节第一节 二重积分概念与计算二重积分概念与计算 第二节第二节 二重积分概念与计算二重积分概念与计算(续续)第三节第三节 二重积分应用举例二重积分应用举例 第1页第一节二重积分概念与计算 一、二重积分概念与性质一、二重积分概念与性质1引例：曲顶柱体体积引例：曲顶柱体体积（1）曲顶柱体以曲面为顶（）以平面上有界闭域为底，侧面是以边界限为准线、母线平行于轴柱面立体（如图）称为曲顶柱体（2）曲顶柱体体积假如曲顶柱体高度不变，则它体积等于底面积高，但曲顶柱体顶是曲面，所以不能直接用上面公式求第2页比如，级数普通项为又如级数普通项为简言之，数列和式称为级数级数.定义定义2设级数（111）前项之和为称Sn为级数前项部分和前项部分和当依次取1，2，3，时，第3页新数列，数列称为级数部分和数列部分和数列若此数列极限存在，即(常数),则S 称为和，记作此时称级数收收敛敛假如数列没有极限，则称级数发散发散，这时级数没有和第4页当级数收敛时，其部分和是级数和S近似值，称为级数余项级数余项，记作，即例例1判定级数敛散性.解解已知级数前n项和是：第5页因为,所以这个级数收敛,其和为1.例例2判定级数敛散性第6页解解已知级数前n项和是因为，所以这个级数发散.例例3讨论等比级数（也称几何级数）敛散性.第7页解解(1)前n项和当时，所以级数收敛，其和当时，所以级数发散.(2)当时，于是第8页所以级数发散.当时，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限.所以，级数发散.总而言之，等比级数，当时收敛,当时发散.第9页比如，级数1+2+4+8+2n-1+是公比为2几何级数,因为，所以级数是发散级数是公比为-1几何级数,因为，所以该级数发散.注注意意几何级数敛散性非常主要.不论是用比较判别法判别级数敛散性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础.第10页例例4把循环小数化为分数.解解把化为无穷级数这是公比为几何级数，由等比数列求和公式第11页所以这个无穷级数和为，即2数项级数基本性质数项级数基本性质 性性质质1假如级数收敛，其和为s,k为常数，则级数也收敛，其和为ks；假如级数发散，当k0时，级数也发散.由此可知，级数每一项同乘以不为零常数后，其敛散性不变.第12页性性质质2若级数与分别收敛于与，则级数，收敛于性性质质3添加、去掉或改变级数有限项，级数敛散性不变.性性质质4 若级数收敛，则对其各项间任意加括号后所得级数仍收敛，且其和不变.应该注意，性质4结论反过来并不成立.即假如加括号后级数收敛，原级数未必收敛.第13页比如级数（1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散.性质性质5（两边夹定理）假如且和都收敛，则也收敛第14页性质性质6（级数收敛必要条件）若级数收敛，则例例5判别级数敛散性解解因为所以级数发散.例例6判别级数敛散性.第15页解解级数与级数都收敛，故由性质2知，级数收敛.注注意意 性质6能够用来判定级数发散：假如级数普通项不趋于零，则该级数必定发散.应该看到，性质6只是级数收敛必要条件，并不是级数收敛充分条件，也就是说，即使，也不能由此判定级数收敛.下面例9正说明了这一点：，但级数发散.第16页例例7证实调和级数是发散级数.证证调和级数部分和如图，考查曲线第17页，所围成曲边梯形面积S与阴影表示阶梯形面积An之间关系.所以，阴影部分总面积为它显然大于曲边梯形面积S，即有第18页而，表明A极限不存在，所以该级数发散.第19页二、正项级数及其敛散性二、正项级数及其敛散性假如0（n=1,2,3），则称级数为正项级数正项级数定定理理1正项级数收敛充分必要条件是它部分和数列有界.例例1证实正项级数是收敛证证因为于是对任意有第20页即正项级数部分和数列有界，故级数收敛.定理定理2（比较判别法）设和是两个正项级数，且(1)若级数收敛，则级数也收敛；(2)若级数发散，则级数也发散.第21页例例2 讨论级数（）敛散性解解 当时，因为发散，所以由比较判别法知，当时，发散.当时，顺次把级数第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它各项显然小于级数第22页对应各项，而所得级数是等比级数，其公为，故收敛，于是当时，级数收敛.总而言之，级数当时发散，当时收敛.注注意意级数在判断正项级数敛散性方面经惯用到，所以相关级数敛散性结论必须切记.第23页 例例3判定级数敛散性.解解 因为级数普通项满足而级数是p2级数，它是收敛，所以原级数也是收敛.第24页例例4 判别级数敛散性.解解因为而是由调和级数去掉前两项后所得级数，它是发散，所以由比较判别法知级数发散.第25页定理定理3（达朗贝尔比值判别法）设是一个正项级数，而且，则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.例例5判别以下级数敛散性(1)；(2)第26页 解解(1)所以级数发散；(2)所以级数收敛.第27页要判别一个正项级数是否收敛，通常按以下步骤进行：(1)用级数收敛必要条件假如，则级数发散，不然需深入判断.(2)用比值判别法假如，即比值判别法失效，则改用比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌握一些敛散性已知级数，方便与要判定级数进行比较，经惯用来作为比较级数有等比级数，级数等.第28页三、交织级数及其敛散性三、交织级数及其敛散性级数称为交织级数交织级数.定理定理4（莱布尼兹判别法）假如交织级数满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数收敛，其和S，其余项第29页例例6判定交织级数敛散性.解解此交织级数，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛四、绝对收敛与条件收敛 定定义义3对于任意项级数,若收敛，则称是绝绝对对收敛收敛；若收敛，而发散，则称是条件收敛条件收敛.第30页定理定理5绝对收敛级数必是收敛.实际上，假如收敛，因为故从性质1及性质5知也是收敛.例例7判定级数敛散性.解解因为，而级数收敛，故由比较判别法可知级数收敛，从而原级数绝对收敛.第31页例例8判别级数敛散性，说明是否绝对收敛.解解因为故由比值判别法可知级数收敛，所以原级数绝对收敛.第32页例例9判别级数是否绝对收敛.解解 因为故由比值判别法可知级数发散，从而原级数不是绝对收敛.第33页例例10证实级数条件收敛.证证由莱布尼兹判别法知级数收敛，而为调和级数，它是发散，故所给级数条件收敛.第34页 第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数概念一、幂级数概念1.1.函数项级数函数项级数假如级数 (11.2)各项都是定义在某个区间I上函数，则称该级数（2.2）为函函数数项项级级数数，un(x)称为普通项普通项或通项通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数(2.2）就是一个常数项级数.假如这个级数收敛，则称点 为这个级数一个收收敛敛点点。若发散，则称点 为这个级数发散点发散点.一个函数项级数收敛点全体称为它收敛域收敛域.对于收敛域内任意一个数x，函数项级数成为一个收敛常数项级 数，所以有一个确定和 S，在收敛域内，函数项级数和是 x 函数第35页S(x)，通常称S(x)为函数项级数和函数和函数，即其中x 是收敛域内任一点.将函数项级数前项和记作，则在收敛域上有2.幂级数概念幂级数概念 形如(11.3)第36页函数项级数，称为幂级数幂级数，其中常数称为幂级数系数幂级数系数.当0时，（11.3）幂级数变为(11.4)称为x 幂级数幂级数.(1)幂级数收敛半径x幂级数各项取绝对值，则得到正项级数第37页由比值判敛法其中当时，若，即，则级数(11.4)收敛，若即，则级数（11.4）发散.这个结果表明，只要就会有一个对称开区间（-，），在这个区间内幂级数绝对收敛，在这个区间外幂第38页级数发散，当x=R 时，级数可能收敛也可能发散.称为幂级数（11.4）收敛半径收敛半径.当时，则级数（11.4）对一切实数x都绝对收敛，这时收敛半径.假如幂级数仅在x0一点处收敛，则收敛半径R0.定理定理1假如x幂级数（11.4）系数满足则(1)当时，第39页(2)当时，(3)当时，(2)幂级数收敛区间若幂级数(11.4)收敛半径为R，则（-R，R）称为该级数收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛，把收敛区间端点xR代入级数中，判定数项级数敛散性后，就可得到幂级数收敛域.第40页例例1求以下幂级数收敛半径及收敛域(1)(2)(3)解解(1)因为所以幂级数收敛半径.所以该级数收敛域为（-，+）；第41页(2)因为所以所给幂级数收敛半径R=1.所以该级数收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散；当x=-1时，级数为交织级数，收敛故该级数收敛域为-1,1).第42页(3)因为所以所给幂级数收敛半径.所以没有收敛区间，收敛域为，即只在处收敛.第43页例例2求幂级数收敛半径解解所给级数缺乏偶次方项，依据比值法求收敛半径当，即时，所给级数绝对收敛；当，即时，所给级数发散.所以，所给级数收敛半径.第44页二、幂级数性质二、幂级数性质性质性质1幂级数和函数在收敛区间内连续，即若，x（-R，R）则在收敛区间内连续.性质性质2 设记，则在（-R,R）内有以下运算法则：(1)加（减）法运算第45页(2)乘法运算性性质质3（微分运算）设，收敛半径为R，则在（-R,R）内这个级数能够逐项求导，即且收敛半径仍为R.第46页性性质质4（积分运算）设，收敛半径为R，则在（-R,R）内这个级数能够逐项积分，即且收敛半径仍为.例例3已知，利用逐项积分性质，能够得到第47页当x=-1时，收敛；当x=1时，发散.故收敛域为-1,1)，即第48页例例4求和函数解解设两端求导得两端积分得即第49页当x=-1时，收敛；当x=1时，收敛，所以第50页三、将函数展开成幂级数三、将函数展开成幂级数 1泰勒公式与麦克劳林公式泰勒公式与麦克劳林公式(1)泰勒公式定理定理2（泰勒中值定理）假如函数f(x)在x0某邻域内有直至n+1阶导数，则对此邻域内任意点x，有n 阶泰勒公式第51页成立，其中为阶泰勒公式余项，当时，它是比高阶无穷小，余项拉格朗日型表示式为(2)麦克劳林公式在泰勒公式中当初，则有麦克劳林公式第52页其中，2、泰勒级数与麦克劳林级数、泰勒级数与麦克劳林级数设f(x)在所讨论邻域内含有任意阶导数称级数第53页为在处泰勒级数，其系数称为在处泰勒系数.其前 n+1项和由泰勒公式得：第54页所以当时，必有即泰勒级数收敛，其和函数为.反之，假如级数收敛于于是得到下面定理.第55页 定理定理3假如在某个邻域内，函数含有任意阶导数，则函数泰勒级数（11.6）收敛于充分必要条件是：当时泰勒余项假如在处泰勒级数收敛于，就说在处可展开称泰勒级数，则(11.6)式为在处泰勒展开式，也称关于幂级数，也记为第56页当时，（11.6）式成为称为函数f(x)麦克劳林展开式，也记为第57页3、将函数展开成幂级数方法、将函数展开成幂级数方法 (1)直接展开法把 f(x)展开成幂级数，可按以下步骤进行：求出f(x)各阶导数计算f(x)及其各阶导数在x0处值，第58页写出幂级数并求出它收敛区间；考查当x在收敛区间内时，余项极限是否为零，假如为零，则由上式所求得幂级数就是f(x)幂级数展开式.第59页 例例1将函数展开成 x幂级数 解解因为 n=1，2，3，所以，n=1，2，3，又,f(0)=1所以得级数，它收敛区间为.对于任何实数x，有第60页因是收敛级数通项，所以而是有限正实数，所以即,所以从而得到幂级数展开式第61页例例2将函数展开成x幂级数 解解因为，n1，2，3而f(n)(0)顺次循环取四个数1，0，-1，0，所以得级数对于任何有限实数，第62页于是得幂级数展开式类似地，还能够得到下述函数幂级数展开式：（-1，1）第63页当m为实数时，它收敛半径R=1，在处展开式是否成立，要依据m数值，看右端级数是否收敛而定.比如当m=-1时(-1,1)第64页(2)间接展开法间接展开法是指从已知函数展开式出发，利用幂级数运算规则得到所求函数展开式方法.例例3将函数展开成x幂级数 解解 已知（-，+）第65页而利用逐项求导公式，得到（-，+）第66页 例例4将函数展开成x 幂级数 解解已知（-1，1）将上式从0到x逐项积分，得到第67页这个级数收敛半径R=1当x1时，右端级数成为这个级数是收敛级数.当x-1时，右端级数成为这个级数是发散级数.所以第68页四、幂级数应用四、幂级数应用 1.函数值近似计算函数值近似计算例例5计算e近似值解解：e 值就是函数e 展开式在x=1时函数值，即 e取e则误差第69页第70页故若要求准确到，则只需即即可.比如要准确到，因为，所以取即e读者能够在计算机上求此值(e).例例6制作四位正余弦函数表解解因为只需制作正余弦表就行了.第71页我们使用正余弦展开式.注意这两个级数都是满足莱布尼茨条件交织级数,去掉前若干项之后剩下项仍为满足莱布尼茨条件交织级数.由莱布尼茨判定定理就可知,若取这两个级数前若干项作为近似时,误差不超出所弃项中第一项.因为所以要作四位正余弦表只需要取到至多项,即取作表时须注意x以弧度为单位.第72页2.求极限求极限 例例7求解解把cosx 和幂级数展开式代入上式，有第73页 第三节第三节 傅里叶级数傅里叶级数在本节中，将讨论另一类主要、应用广泛函数项级数三角级数.三角级数也称为傅傅里里叶叶（Fourier）级级数数.所谓三三角角级级数数，就是除常数项外，各项都是正弦函数和余弦函数级数，它普通形式为(1)其中都是常数，称为系数系数.尤其当时，级数只含正弦项，称为正弦正弦级数级数.当时，级数只含常数项和第74页余弦项，称为余余弦弦级级数数.对于三角级数，我们主要讨论它收敛性以及怎样把一个函数展开为三角级数问题.一、以一、以 为周期函数展开为傅里叶级数为周期函数展开为傅里叶级数 因为正弦函数和余弦函数都是周期函数，显然周期函数更适合于展开成三角级数.设f(x)是以为周期函数，所谓傅傅里里叶叶（Fourier）级级数数展展开开就是寻找一个三角级数第75页使得该级数以 f(x)为和函数，即 f(x)=先处理这么问题：假如以为周期函数可表为式（1）所表示三角级数，那么怎样确定和.为了求出这些系数，先介绍以下内容.1三角函数系正交性三角函数系正交性在三角级数（1）中出现函数（2）第76页组成了一个三三角角函函数数系系，这个三角函数系有一个主要性质，就是定理定理1（三角函数系正交性）三角函数系（2）中任意两个不一样函数乘积在上积分等于0，详细说就是有第77页这个定理证实很轻易，只要把这五个积分实际求出来即.2.f(x)傅里叶级数傅里叶级数为了求（1）式中系数，利用三角函数系正交性，假设（1）式是可逐项积分，把它从到逐项积分：由定理1，右端除第一项外均为0，所以第78页于是得为求，先用乘以（11.7）式两端，再从到逐项积分，得由定理1，右端除k=n一项外均为0，所以于是得第79页类似地，用sinnx乘以（11.7）式两端，再从到逐项积分，可得用这种方法求得系数成为f(x)傅里叶系数傅里叶系数.总而言之，我们有定定 定理定理2求f(x)傅里叶系数公式是(3)第80页由f(x)傅里叶系数所确定三角级数成为f(x)傅里叶级数傅里叶级数.显然，当f(x)为奇函数时，公式（3）中，当为偶函数时，公式（3）中所以有推论推论 当f(x)是周期为奇函数时，它傅里叶级数为正弦级数其中系数第81页当f(x)是周期为偶函数时，它傅里叶级数为余弦级数其中系数3.傅里叶级数收敛性傅里叶级数收敛性上述定理定理3（收敛定理）设 以为周期函数f(x)在上满足狄利克雷(Dirichlet)条件：（1）没有断点或仅有有限个第一类间断点；（2）至多只有有限个极值点，则f(x)傅里叶级数收敛，且有：第82页（1）当x是连续点时，级数收敛于f(x)；（2）当x是间断点时，级数收敛于这一点左右极限算术平值例例1正弦交流I(x)=sinx电经二极管整流后（图11-2）变为为整数，把f(x)展开为傅里叶级数.第83页 图图 11-2解解由收敛定理可知，f(x)傅里叶级数处处收敛于f(x).第84页计算傅里叶系数：所以，f(x)傅里叶展开式为（-x+.第85页例例2 一矩形波表示式为求 f(x)傅里叶展开式.解解 由收敛定理知，当时，傅里叶级数收敛于f(x).当时，级数收敛于又因为f(x)奇函数，由定理2推论可知展开式必为正弦级数，只需按推论公式求即可.第86页所以，傅里叶展开式为第87页4.或或 上函数展开成傅里叶级数上函数展开成傅里叶级数求f(x)傅里叶系数只用到f(x)在上部分，即f(x)只在上有定义或虽在外也有定义，但不是周期函数，仍可用公式（11.9）求f(x)傅里叶系数，而且假如f(x)在上满足收敛定理条件，则f(x)最少在内连续点上傅里叶级数是收敛于f(x)，而在处，级数收敛于第88页类似地，假如f(x)只在上有定义且满足收敛定理条件，要得到f(x)在上傅里叶级数展开式，能够任意补充f(x)在上定义（只要公式（11.9）中积分可行），成为函数延拓，便可得到对应傅里叶级数展开式，这一展开式最少在内连续点上是收敛到f(x).惯用两种延拓方法是把f(x)延拓成偶函数或奇函数.例例3 将函数分别展开成正弦级数或余弦级数.第89页解解为把 f(x)展开成正弦级数，把f(x)延拓为奇函数，再用推论公式计算由此得上展开式也即f(x)在上展开式为在处，上述正弦级数收敛于第90页为把f(x)展开成余弦级数，把f(x)延拓为偶函数然后用推论公式求出于是得到在上余弦级数展开式由此例也可见到在上傅里叶级数展开式不是惟一.第91页二、以二、以2 l 为周期函数展开成傅里叶级数为周期函数展开成傅里叶级数设 f(x)是以2l为周期函数，且在-l,l上满足收敛定理条件，为了将周期2l转换为，作变量代换，即，能够看出，当x在区间-l,l上取值时，t 就在上取值.设则F(t)是以为周期函数且在上满足收敛定理条件.于是可用前面方法得到F(t)傅里叶级数展开式第92页然后再把 t 换回 x,并注意到，于是就得到傅里叶级数展开式例例4 如图11-3所表示三角波波形函数是以2为周期函数 f(x)，f(x)在-1,1上表示式是求f(x)傅里叶展开式.解解 作变换，则得F(t)在表示式为第93页利用例3后半部分可直接写出系数于是得F(t)表示式把t换回x 即得仿照例3做法，也可把上0,l函数展开成正弦级数和余弦级数.第94页图11-3第95页 例例5设 f(x)是周期为4函数，它在-2,2)上表示式为将f(x)展开为傅里叶级数.解解 先求f(x)傅里叶系数，这里 l=2.第96页依据收敛定理，得傅里叶级数为第97页