数量值函数的积分学市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

第九章第九章 数量值函数积分学数量值函数积分学 9.1 9.1 二重积分概念及性质二重积分概念及性质 9.2 9.2 二重积分计算二重积分计算 9.3 9.3 三重积分及其计算三重积分及其计算 9.4 9.4 第一型（对弧长）曲线积分第一型（对弧长）曲线积分 9.5 9.5 第一型（对面积）曲面积分第一型（对面积）曲面积分 9.6 9.6 数量值函数积分学应用数量值函数积分学应用第1页曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.1.曲顶柱体体积曲顶柱体体积问题提出问题提出一一.二重积分定义二重积分定义9.1 二重积分概念及性质曲顶柱体曲顶柱体.柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.第2页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第3页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第4页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第5页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第6页求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第7页返回返回求曲顶柱体体积采取求曲顶柱体体积采取“分割、近似代替、求分割、近似代替、求和、取极限和、取极限”方法，以下动画演示方法，以下动画演示第8页(3)曲顶柱体体积曲顶柱体体积:曲顶柱体体积为曲顶柱体体积为:步骤以下步骤以下 第9页2.求平面薄板质量求平面薄板质量(3)薄板总质量：薄板总质量：第10页定义第11页积分区域积分区域积分区域积分区域积分和积分和积分和积分和被积函数被积函数被积函数被积函数积分变量积分变量积分变量积分变量被积表被积表被积表被积表示式示式示式示式面积元素面积元素面积元素面积元素积分号积分号积分号积分号第12页用平行于坐标轴直线网来划分区域用平行于坐标轴直线网来划分区域 ，故二重积分可写为故二重积分可写为第13页二重积分几何意义：二重积分几何意义：物理意义：物理意义：平面薄板质量平面薄板质量第14页二.二重积分性质性质性质1性质性质 2性质性质 3（积分区域（积分区域可加性）可加性）第15页性质性质 4性质性质 5（不等式性质）（不等式性质）第16页性质性质 6（估值定理）（估值定理）证证证毕证毕第17页性质性质 7（中值定理）（中值定理）中值公式中值公式 .第18页证证证毕证毕第19页性质性质8(对称性对称性)xyOD1D第20页 xyOD1Dxy第21页解解由性质由性质 6 得得第22页解解由性质由性质 6 得得第23页解解第24页解解第25页解解（1）积分区域如图所表示）积分区域如图所表示xy1-11OD第26页-111xyD解解第27页积分区域如图所表示，积分区域如图所表示，解解第28页9.2 二重积分计算直角坐标系下二重积分计算直角坐标系下二重积分计算一.化二重积分为二次积分第29页其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.是平行于是平行于 y 轴直线部分除外）轴直线部分除外）特点特点：假如积分区域为假如积分区域为 ：第30页第31页其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.特点特点：是平行于是平行于 轴直线部分除外）轴直线部分除外）同理同理假如积分区域为假如积分区域为 ：第32页二重积分在直角坐标下计算公式二重积分在直角坐标下计算公式第33页第34页若区域如图，若区域如图，在分割后三个区域上分别在分割后三个区域上分别使用积分公式使用积分公式:则必须分割则必须分割.第35页解解第36页解解第37页第38页解解第39页注注:化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分,既要依据积分区域形状既要依据积分区域形状,又要注意被积函数特点选择简便易算积分次序又要注意被积函数特点选择简便易算积分次序.画出积分区域草图往往有利于做出正确选择画出积分区域草图往往有利于做出正确选择.第40页要改变积分次序！要改变积分次序！解解第41页解解所围成所围成.说明积分区域说明积分区域由由第42页解解例例6 6第43页解解 曲面围成立体如图：曲面围成立体如图：第44页例例 证证 第45页二.二重积分变量代换1.极坐标变换第46页（不记高阶无穷小）（不记高阶无穷小）可看成以可看成以第47页在极坐标下二重积分化为二次积分公式在极坐标下二重积分化为二次积分公式:(1)极点位于积分区域极点位于积分区域 第48页第49页第50页极坐标系下区域面积极坐标系下区域面积第51页解解第52页第53页注注:第54页解解第55页解解第56页解解 第57页第58页解解 设设例例4求概率积分求概率积分第59页第60页解解第61页2.二重积分普通变量代换第62页（证实略）（证实略）第63页解解第64页证证第65页 证毕证毕第66页解解（第一卦（第一卦 限部分）限部分）第67页9.3 三重积分及其计算问题提出问题提出 设有非均匀物体占有空间区域设有非均匀物体占有空间区域 ,其上各点其上各点(x,y,z)处密度为连续函数处密度为连续函数 f(x,y,z),求该物体质量求该物体质量.求空间非均匀物体求空间非均匀物体质量质量.yxzO第68页定义定义第69页三重积分物理意义三重积分物理意义：空间物体质量：空间物体质量第70页1.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分 三重积分计算化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分第71页第72页依据三重积分物理意义依据三重积分物理意义,用微元法：用微元法：第73页先一后二法先一后二法第74页先先 z 后后 y 再再 x 积分次序积分次序先一后二法先一后二法第75页解解第76页解解第77页若若则则先先 x 后后 y z 积分次序积分次序第78页若若o则则先先 y 后后 xz 积分次序积分次序第79页解解第80页先二后一法（坐标轴投影法、截面法）普通步骤：（1）把积分区域）把积分区域向某轴向某轴(比如比如轴轴)投影投影,得投影区间得投影区间（2）用过用过且平行且平行平面平面去截平面平面去截得得截面截面即即用微元法：用微元法：第81页故故注注：当：当 比较简单，比较简单，f(x,y,z)=f(z)时，时，先二后一法先二后一法用这种方法计算比较简便用这种方法计算比较简便.第82页先二后一法先二后一法先一后二法先一后二法Dz解解2解解1xyzDxy计算很繁！计算很繁！第83页解解先二后一法先二后一法第84页第85页2.2.在柱面坐标系下三重积分计算在柱面坐标系下三重积分计算要求：要求：柱面坐标与直角坐标关系为柱面坐标与直角坐标关系为第86页如图，三个坐标面分别为如图，三个坐标面分别为圆柱面圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系中体积元素为如图，柱面坐标系中体积元素为第87页体积元素：体积元素：第88页 普通地普通地,当积分区域在坐标面上投影区域是当积分区域在坐标面上投影区域是圆圆域域或者或者扇形域扇形域,被积函数含有式子被积函数含有式子 x2+y2 时时,用柱用柱面坐标变换计算三重积分比较简单面坐标变换计算三重积分比较简单.解解知交线为知交线为第89页第90页解解第91页解解第92页3.3.在球面坐标系下三重积分计算在球面坐标系下三重积分计算如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面第93页第94页球面坐标系中体积元素球面坐标系中体积元素:第95页第96页解解第97页第98页第99页解解第100页第101页注注:解解作变换：作变换：第102页称为广义称为广义球面坐标球面坐标变换变换 .第103页4.4.利用对称性化简三重积分计算利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意使用对称性时应注意：.积分区域关于坐标面对称性；积分区域关于坐标面对称性；.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴奇被积函数在积分区域上关于三个坐标轴奇偶性偶性第104页第105页解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 奇函数奇函数,第106页解解由对称性知由对称性知第107页交线为交线为第108页例例1515 解解被积函数是被积函数是 偶函数偶函数,第109页（北京大学考研题）第110页第111页实例实例:求非均匀曲线形物体质量求非均匀曲线形物体质量均匀曲线形物体质量均匀曲线形物体质量分割分割求和求和取极限取极限近似值近似值准确值准确值9.4 9.4 第一型（对弧长）第一型（对弧长）曲线积分曲线积分问题提出问题提出近似代替近似代替第112页定义定义被积函数被积函数积分弧段积分弧段弧长微元弧长微元第113页推广：推广：注意：注意：第114页第一型曲线积分物理意义：第一型曲线积分物理意义：几何意义：第115页第一型曲线积分性质：第一型曲线积分性质：第116页即：第一型曲线积分与曲线即：第一型曲线积分与曲线 L 方向无关方向无关.(定义中定义中弧长弧长与曲线方向无关）与曲线方向无关）第117页定理定理 用用L方程代换方程代换 弧微分弧微分换限换限注意注意:把第一型曲线积分化为定积分计算时，把第一型曲线积分化为定积分计算时，证实略证实略第118页特殊情形特殊情形:第119页推广推广:第120页例例1解解第121页解解 第122页例例3解解第123页解解yzO1x第124页例例5解解 由坐标轮换对称性由坐标轮换对称性,知知第125页9.5 第一型（对面积）曲面积分实例实例 所谓曲面光滑即所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切曲面上各点处都有切平面平面,且当点在曲面且当点在曲面上连续移动时上连续移动时,切平切平面也连续转动面也连续转动.问题提出问题提出第126页第127页定义定义 第128页 当积分曲面是封闭曲面时当积分曲面是封闭曲面时,常记常记 第一型曲面积分第一型曲面积分物理意义物理意义:曲面质量曲面质量 第一型曲面积分第一型曲面积分有如定积分类似性质有如定积分类似性质,从略从略.第129页第一型曲面积分计算第130页第131页曲面面曲面面 积积 元元 素素 第132页换换 元元 换换 域域换面积元素换面积元素定理定理 证实略证实略第133页则则则则类似地：类似地：第134页解解关于关于轴对称轴对称,被积被积函数是关于函数是关于奇函数奇函数.例例1 1第135页解解第136页解解其中其中第137页第138页例例4 4第139页解解关于关于轴对称，被积函数轴对称，被积函数是关于是关于奇函数奇函数.第140页第141页例例5 5 解解第142页解解在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数在计算第一型曲面积分时，要充分利用被积函数定义在积分曲面上，定义在积分曲面上，数奇偶性等特点简化积分计算数奇偶性等特点简化积分计算.积分曲面对称性及被积函积分曲面对称性及被积函例例6 6第143页 9.6 数量值函数积分学应用一一.几何应用几何应用第144页第145页第146页解解第147页解解 第148页第149页解解 先二后一法先二后一法第150页第151页第152页二二.质量质量 第153页第154页三三.质量重心质量重心 第155页重心重心第156页第157页第158页第159页第160页第161页第162页第163页 解解第164页 解解第165页第166页四四.转动惯量转动惯量第167页薄片对于薄片对于 轴轴转动惯量转动惯量薄片对于薄片对于 轴轴转动惯量转动惯量第168页第169页第170页解解第171页解解第172页五五.引力引力第173页第174页立体对单位质点立体对单位质点 引力为引力为为引力常数为引力常数.第175页先二后一法先二后一法第176页第177页