模糊数学建模方法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

含糊数学建模方法含糊数学建模方法重庆邮电大学重庆邮电大学数理学院数理学院沈世云沈世云13996204681第1页第第 1 章章含糊集基本概念含糊集基本概念第2页第一节第一节 含糊数学概述含糊数学概述1.1.1.1.含糊数学产生含糊数学产生含糊数学产生含糊数学产生至今，数学发展已经历三代：至今，数学发展已经历三代：至今，数学发展已经历三代：至今，数学发展已经历三代：（1 1 1 1）第一代数学：经典数学，研究和处理准确必定现象；）第一代数学：经典数学，研究和处理准确必定现象；）第一代数学：经典数学，研究和处理准确必定现象；）第一代数学：经典数学，研究和处理准确必定现象；（2 2 2 2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性随机性随机性随机性)；（3 3 3 3）第三代数学：含糊数学，研究和处理事物含糊性。）第三代数学：含糊数学，研究和处理事物含糊性。）第三代数学：含糊数学，研究和处理事物含糊性。）第三代数学：含糊数学，研究和处理事物含糊性。它们都是不确定数学，是准确（确定）数学延伸和发展。它们都是不确定数学，是准确（确定）数学延伸和发展。它们都是不确定数学，是准确（确定）数学延伸和发展。它们都是不确定数学，是准确（确定）数学延伸和发展。Fuzzy Maths Fuzzy Maths Fuzzy Maths Fuzzy Maths，专门用来处理和研究含糊性事物一个新数，专门用来处理和研究含糊性事物一个新数，专门用来处理和研究含糊性事物一个新数，专门用来处理和研究含糊性事物一个新数学方法。学方法。学方法。学方法。1965196519651965年美国加州大学查德年美国加州大学查德年美国加州大学查德年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)(L.A.Zadeh)教授发表教授发表教授发表教授发表Fuzzy SetsFuzzy SetsFuzzy SetsFuzzy Sets一文，标志其诞生。一文，标志其诞生。一文，标志其诞生。一文，标志其诞生。第3页2.含糊数学概念含糊数学概念n处理现实对象数学模型处理现实对象数学模型n确定性数学模型确定性数学模型:确定性或固定性确定性或固定性,对象间有必对象间有必定联络定联络.n随机性数学模型随机性数学模型:对象含有或然性或随机性对象含有或然性或随机性n含糊性数学模型含糊性数学模型:对象及其关系均含有含糊性对象及其关系均含有含糊性.n随机性与含糊性区分随机性与含糊性区分n随机性随机性:指事件出现某种结果机会指事件出现某种结果机会.n含糊性含糊性:指存在于现实中不分明现象指存在于现实中不分明现象.n含糊数学含糊数学:研究含糊现象定量处理方法研究含糊现象定量处理方法.第4页用数学眼光看世界，可把我们身边现象划分为：用数学眼光看世界，可把我们身边现象划分为：1 1）.确定性现象：如水加温到确定性现象：如水加温到100100o oC C就沸腾，这种现象规律性就沸腾，这种现象规律性靠经典数学去刻画；靠经典数学去刻画；2 2）.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象规律随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象规律性靠概率统计去刻画性靠概率统计去刻画;3 3）.含糊现象：如含糊现象：如 “今天天气很热今天天气很热”，“小伙子很帅小伙子很帅”，等等。此话准确吗？有多大水分？靠含糊数学去刻画。等等。此话准确吗？有多大水分？靠含糊数学去刻画。第5页3.3.含糊数学任务含糊数学任务含糊数学任务含糊数学任务（1 1 1 1）给数学）给数学）给数学）给数学“禁区禁区禁区禁区”各门学科，如社会、人各门学科，如社会、人各门学科，如社会、人各门学科，如社会、人文学科等提供新语言和工具；文学科等提供新语言和工具；文学科等提供新语言和工具；文学科等提供新语言和工具；（2 2 2 2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提升自动化水平，使电脑更和判断，提升自动化水平，使电脑更和判断，提升自动化水平，使电脑更和判断，提升自动化水平，使电脑更“聪明聪明聪明聪明”。第6页4.4.4.4.事物含糊性？事物含糊性？事物含糊性？事物含糊性？指客观事物在中介过渡时所展现指客观事物在中介过渡时所展现指客观事物在中介过渡时所展现指客观事物在中介过渡时所展现“亦此亦彼性亦此亦彼性亦此亦彼性亦此亦彼性”。(1)(1)(1)(1)清楚事物清楚事物清楚事物清楚事物每个概念内涵（内在涵义或本质属性）每个概念内涵（内在涵义或本质属性）每个概念内涵（内在涵义或本质属性）每个概念内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个和外延（符合本概念全体）都必须是清楚、不变，每个概念非真即假，有一条截然分明界限，如男、女。概念非真即假，有一条截然分明界限，如男、女。概念非真即假，有一条截然分明界限，如男、女。概念非真即假，有一条截然分明界限，如男、女。(2)(2)(2)(2)含糊性事物含糊性事物含糊性事物含糊性事物因为人未认识，或有所认识但信息不因为人未认识，或有所认识但信息不因为人未认识，或有所认识但信息不因为人未认识，或有所认识但信息不够丰富，使其含糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外够丰富，使其含糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外够丰富，使其含糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外够丰富，使其含糊性不可忽略。它是一个没有绝对明确外延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、延事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等认识就是含糊。容貌、冷暖、深浅等认识就是含糊。容貌、冷暖、深浅等认识就是含糊。容貌、冷暖、深浅等认识就是含糊。第7页“事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基事物复杂性与准确性矛盾是当代科学一个基本矛盾本矛盾本矛盾本矛盾”，由此促使着含糊数学产生和发展。，由此促使着含糊数学产生和发展。，由此促使着含糊数学产生和发展。，由此促使着含糊数学产生和发展。“含糊含糊含糊含糊”并非坏事，在有些情况下它比准确更并非坏事，在有些情况下它比准确更并非坏事，在有些情况下它比准确更并非坏事，在有些情况下它比准确更有意义，会带来更加好效果，如含糊描述人特征，有意义，会带来更加好效果，如含糊描述人特征，有意义，会带来更加好效果，如含糊描述人特征，有意义，会带来更加好效果，如含糊描述人特征，对人进行含糊综合评价。郑板桥讲对人进行含糊综合评价。郑板桥讲对人进行含糊综合评价。郑板桥讲对人进行含糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂难得糊涂难得糊涂难得糊涂”，实际上包含了难得含糊哲理。，实际上包含了难得含糊哲理。，实际上包含了难得含糊哲理。，实际上包含了难得含糊哲理。第8页 含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法含糊数学是研究和处理含糊性现象数学方法.众所周知，经典数学是以准确性为特征众所周知，经典数学是以准确性为特征.然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有然而，与准确形相悖含糊性并不完全是消极、没有价值价值.甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好甚至能够这么说，有时含糊性比准确性还要好.比如比如,要你某时到某地去迎接一个要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜中年男人头发戴宽边黑色眼镜中年男人”.”.尽管这里只提供了一个准确信息尽管这里只提供了一个准确信息男人，而其它男人，而其它信息信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头年等都是含糊概念，不过你只要将这些含糊概念经过头脑综合分析判断，就能够接到这个人脑综合分析判断，就能够接到这个人.含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领含糊数学在实际中应用几乎包括到国民经济各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用经济管理等方面都有含糊数学广泛而又成功应用.第9页数学建模与含糊数学相关问题数学建模与含糊数学相关问题n含糊数学含糊数学研究和处理含糊性现象数学研究和处理含糊性现象数学 （概念与其对立面之间没有一条明确分界限）（概念与其对立面之间没有一条明确分界限）n与含糊数学相关问题（一）与含糊数学相关问题（一）n含糊分类问题含糊分类问题已知若干个相互之间不分明含已知若干个相互之间不分明含糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个含糊糊概念，需要判断某个确定事物用哪一个含糊概念来反应更合理准确概念来反应更合理准确n含糊相同选择含糊相同选择 按某种性质对一组事物或对象按某种性质对一组事物或对象排序是一类常见问题，不过用来比较性质含有排序是一类常见问题，不过用来比较性质含有边界不分明含糊性边界不分明含糊性第10页数学建模数学建模与含糊数学相关问题n含糊聚类分析含糊聚类分析依据研究对象本身属性结构依据研究对象本身属性结构含糊矩阵，在此基础上依据一定隶属度来确含糊矩阵，在此基础上依据一定隶属度来确定其分类关系定其分类关系 n含糊层次分析法含糊层次分析法两两比较指标确实定两两比较指标确实定n含糊综合评判含糊综合评判综合评判就是对受到多个原综合评判就是对受到多个原因制约事物或对象作出一个总评价，如产品因制约事物或对象作出一个总评价，如产品质量评定、科技结果判定、某种作物种植适质量评定、科技结果判定、某种作物种植适应性评价等，都属于综合评判问题。因为从应性评价等，都属于综合评判问题。因为从多方面对事物进行评价难免带有含糊性和主多方面对事物进行评价难免带有含糊性和主观性，采取含糊数学方法进行综合评判将使观性，采取含糊数学方法进行综合评判将使结果尽可能客观从而取得更加好实际效果结果尽可能客观从而取得更加好实际效果 第11页参考书目参考书目1.含糊数学基础，张文修，西交大出版社2.含糊理论及其应用，刘普寅等，国防科大出版社第12页第二第二节节 含糊子集及其运算含糊子集及其运算经典集合经典集合 经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合含有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明,即一个元素即一个元素x要么属要么属于集合于集合A(记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合(记作记作x A)，二者必居其一，二者必居其一.集合表示法：集合表示法：(1)(1)枚举法，枚举法，A=x1,x2,xn；(2)(2)描述法，描述法，A=x|P(x).A B 若若x A，则则x B；A B 若若x B，则则x A；A=B A B且且 A B.第13页 集合集合A全部子集所组成集合称为全部子集所组成集合称为A幂集，记为幂集，记为(A).并集并集AB=x|x A或或x B；交集交集AB=x|x A且且x B；余集余集Ac=x|x A.集合运算规律集合运算规律 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；第14页分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：排中律：AAc=U，AAc=；U 为全集，为全集，为空集为空集.集合直积：集合直积：X Y=(x,y)|x X,y Y .第15页 含糊子集及其运算含糊子集及其运算含糊子集与隶属函数含糊子集与隶属函数 设设U是论域，称映射是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上上含糊子集含糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A隶属隶属函数函数，它表示，它表示x对对A隶属程度隶属程度.使使A(x)=0.5点点x称为称为A过渡点，此点最具含过渡点，此点最具含糊性糊性.当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，含糊子集时，含糊子集A就是经就是经典子集，而典子集，而A(x)就是它特征函数就是它特征函数.可见经典子集可见经典子集就是含糊子集特殊情形就是含糊子集特殊情形.第16页 例例 设论域设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：单位：cm)表示人身高，那么表示人身高，那么U上一个含糊集上一个含糊集“高个子高个子”(A)隶属函数隶属函数A(x)可定义为可定义为也可用也可用Zadeh表示法：表示法：第17页还可用向量表示法：还可用向量表示法：A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1).另外，还能够在另外，还能够在U上建立一个上建立一个“矮个子矮个子”、“中等个子中等个子”、“年轻人年轻人”、“中年人中年人”等含糊等含糊子集子集.从上例可看出：从上例可看出：(1)(1)一个有限论域能够有没有限个含糊子集一个有限论域能够有没有限个含糊子集,而经典子集是有限；而经典子集是有限；(2)(2)一个含糊子集隶属函数确实定方法是主一个含糊子集隶属函数确实定方法是主观观.隶属函数是含糊数学中最主要概念之一，含隶属函数是含糊数学中最主要概念之一，含糊数学方法是在客观基础上，尤其强调主观方法糊数学方法是在客观基础上，尤其强调主观方法.第18页 如：考虑年纪集如：考虑年纪集U=0,100U=0,100，A=“A=“年老年老”，A A也是一个年纪集，也是一个年纪集，u=20 u=20 A A，40 40 呢？呢？查查德给出了德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:第19页第20页含糊集运算含糊集运算相等相等：A=B A(x)=B(x)；包含包含：A B A(x)B(x)；并并：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交交：AB隶属函数为隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余余：Ac隶属函数为隶属函数为Ac(x)=1-A(x).第21页含糊集并、交、余运算性质含糊集并、交、余运算性质 幂等律：幂等律：AA=A，AA=A；交换律：交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-10-1律：律：AU=U，AU=A；A =A，A =；还原律：还原律：(Ac)c=A；第22页对偶律：对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；对偶律证实：对于任意对偶律证实：对于任意 x U(论域论域)，(AB)c(x)=1-(AB)(x)=1-(A(x)B(x)=(1-A(x)(1-B(x)=Ac(x)Bc(x)=AcBc(x)含糊集运算性质基本上与经典集合一致，含糊集运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即除了排中律以外，即AAc U，AAc .含糊集不再含有含糊集不再含有“非此即彼非此即彼”特点，这特点，这正是含糊性带来本质特征正是含糊性带来本质特征.第23页 例例 设论域设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品商品集集)，在，在U上定义两个含糊集：上定义两个含糊集：A=“商品质商品质量好量好”，B=“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏商品质量不坏”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可见可见Ac B,Bc A.又又 AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).第24页第25页一、一、含糊截集与强截集含糊截集与强截集1.定义定义第三节第三节 含糊集基本定理含糊集基本定理第26页 含糊集含糊集-截集截集A 是一个经典集合，由隶属度是一个经典集合，由隶属度大于大于 组员组成组员组成.例：论域例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集学生集)，他们成绩依次为，他们成绩依次为50,60,70,80,90,9550,60,70,80,90,95，A=“学学习成绩好学生习成绩好学生”隶属度分别为隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.950.9,0.95，则，则A0.9 (90分以上者分以上者)=u5,u6,A0.6 (60分以上者分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.第27页2.性质性质性质性质1第28页性质性质1第29页性质性质2第30页性质性质3 性质性质4 第31页性质性质 5第32页例例1解解性质性质6第33页定义定义2性质性质7当当 时时,称称 为为正规含糊集正规含糊集.第34页第35页 下面将要介绍分解定理就是反应这一事实下面将要介绍分解定理就是反应这一事实.先来学习数积概念与性质先来学习数积概念与性质.从前面介绍性质能够看出当从前面介绍性质能够看出当 从从1逐步下逐步下降趋于降趋于0，而不到达，而不到达0时，时，是从是从 核核Ker 逐逐步扩展为步扩展为 支集支集Supp .所以，我们能够将含所以，我们能够将含糊集糊集 看作是其边界在看作是其边界在Ker 和和Supp 之间游之间游移移,即将含糊集即将含糊集 看作是普通集合族看作是普通集合族 总体总体.第36页1.数积概念与性质数积概念与性质其隶属函数为其隶属函数为二、分解定理二、分解定理定义定义第37页第38页定理定理1（分解定理（分解定理I）证实证实2.分解定理分解定理第39页第40页定理定理2（分解定理（分解定理II）第41页定理定理3（分解定理（分解定理III）第42页第43页第四节、隶属函数确定 含糊数学基本思想是隶属度思想。含糊数学基本思想是隶属度思想。应用含糊数学方法应用含糊数学方法建立数学模型关键是建立符合实际隶属函数。怎样确定建立数学模型关键是建立符合实际隶属函数。怎样确定一个含糊集隶属函数至今还是还未处理问题。这里仅仅一个含糊集隶属函数至今还是还未处理问题。这里仅仅介绍几个惯用确实定隶属函数方法。介绍几个惯用确实定隶属函数方法。1.含糊统计方法含糊统计方法 与概率统计类似，但有区分：若把概率统计随机事件与概率统计类似，但有区分：若把概率统计随机事件A是是固定不变，样本空间中样本点数十变动，而含糊统计试验中，固定不变，样本空间中样本点数十变动，而含糊统计试验中，x是是固定不变，而含糊集固定不变，而含糊集A*是可变。是可变。2.指派方法指派方法 一个主观方法依据实践经验来确定，普通给出隶属函数解析表示式。一个主观方法依据实践经验来确定，普通给出隶属函数解析表示式。3.借用已经有借用已经有“客观客观”尺度尺度依据问题实际意义来确定，在经济管理，社会管理中惯用。如依据问题实际意义来确定，在经济管理，社会管理中惯用。如U表示产品，表示产品，定义定义A含糊集含糊集“质量稳定质量稳定”，可用产品，可用产品“正品率正品率”作为作为A隶属度。隶属度。第44页n惯用隶属函数有惯用隶属函数有Z函数（偏小型）、函数（偏小型）、函数（中函数（中间型）、间型）、S函数（偏大型）函数（偏大型）.n偏小型普通适合于描述像偏小型普通适合于描述像“小，少，浅，淡，青小，少，浅，淡，青年年”等偏小程度含糊现象。等偏小程度含糊现象。n偏大型普通适合于描述像偏大型普通适合于描述像“大，多，深，浓，老大，多，深，浓，老年年”等偏大程度含糊现象。等偏大程度含糊现象。n中间型普通适合于描述像中间型普通适合于描述像“中，适中，不太多，中，适中，不太多，不太浓，暖和，中年不太浓，暖和，中年”等处于中间状态含糊现象。等处于中间状态含糊现象。第45页惯用隶属函数有偏小型、中间型、偏大型惯用隶属函数有偏小型、中间型、偏大型.偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：梯形分布梯形分布：第46页偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：分布分布 第47页偏小型：偏小型：偏大型：偏大型：中间型：中间型：正态分布正态分布 第48页 以人年纪作为论域以人年纪作为论域X,含糊集含糊集 表示表示“年老年老”,表示表示“年轻年轻”，不妨设，不妨设 X=0,150.Zadeh 给给出它们隶属函数分别以下：出它们隶属函数分别以下：例例1Oldyoung第49页trig(x;20,60,80)trap(x;10,20,60,90)g(x;50,20)bell(x:20,4,50)第50页cc-ac+a斜率斜率=-b/2a隶属函数参数化举例：隶属函数参数化举例：以钟形函数为例，以钟形函数为例，a,b,c,几何意义如图所表示。几何意义如图所表示。改变改变a,b,c,即可改变隶属函数形状。即可改变隶属函数形状。第51页第52页第第 二二 章章含糊模式识别含糊模式识别第53页第一节第一节 含糊模型识别含糊模型识别模型识别模型识别 已知某类事物若干标准模型，现有这类事物已知某类事物若干标准模型，现有这类事物中一个详细对象，问把它归到哪一模型，这就是中一个详细对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别模型识别.模型识别在实际问题中是普遍存在模型识别在实际问题中是普遍存在.比如，比如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员哪一纲哪一目；投递员(或分拣机或分拣机)在分拣信件时在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.含糊模型识别含糊模型识别 所谓含糊模型识别所谓含糊模型识别,是指在模型识别中是指在模型识别中,模型模型是含糊是含糊.也就是说也就是说,标准模型库中提供模型是含糊标准模型库中提供模型是含糊.第54页模型识别模型识别原理原理 为了能识别待判断对象为了能识别待判断对象x=(x1,x2,xn)T是是属于已知类属于已知类A1,A2,Am中哪一类？中哪一类？事先必须要有一个普通规则事先必须要有一个普通规则,一旦知道了一旦知道了x值值,便能依据这个规则马上作出判断便能依据这个规则马上作出判断,称这么一个规称这么一个规则为则为判别规则判别规则.判别规则往往经过某个函数来表示判别规则往往经过某个函数来表示,我们把我们把它称为它称为判别函数判别函数,记作记作W(i;x).一旦知道了一旦知道了判别函数并确定了判别函数并确定了判别规则，最判别规则，最好将已知类别对象代入检验，这一过程称为好将已知类别对象代入检验，这一过程称为回代回代检验检验，方便检验你，方便检验你判别函数和判别函数和判别规则是否正确判别规则是否正确.第55页第二节第二节 最大隶属标准最大隶属标准含糊向量内积与外积含糊向量内积与外积 定义定义 称向量称向量a=(a1,a2,an)是含糊向量是含糊向量,其中其中0ai1.若若ai 只取只取0或或1,则称则称a=(a1,a2,an)是是Boole向量向量.设设 a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn)都是含都是含糊向量，则定义糊向量，则定义 内积内积：a b=(akbk)|1kn；外积外积：a b=(akbk)|1kn.内积与外积性质内积与外积性质(a b)c=a c b c;(a b)c=a c b c.第56页含糊向量集合族含糊向量集合族 设设A1,A2,An是论域是论域X上上n个含糊子集个含糊子集,称称以含糊集以含糊集A1,A2,An为分量含糊向量为为分量含糊向量为含糊含糊向向量集合族量集合族，记为，记为A=(A1,A2,An).若若X 上上n个含糊子集个含糊子集A1,A2,An隶属函数隶属函数分别为分别为A1(x),A2(x),An(x),则定义含糊向则定义含糊向量集合族量集合族 A=(A1,A2,An)隶属函数为隶属函数为A(x)=A1(x1),A2(x2),An(xn)或者或者A(x)=A1(x1)+A2(x2)+An(xn)/n.其中其中x=(x1,x2,xn)为普通向量为普通向量.第57页最大隶属标准最大隶属标准 最大隶属标准最大隶属标准 设论域设论域X=x1,x2,xn 上有上有m个含糊子集个含糊子集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),组成了一个标准模型库组成了一个标准模型库,若对任一若对任一x0X,有有k1,2,m,使得使得Ak(x0)=A1(x0),A2(x0),Am(x0)，则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ak.最大隶属标准最大隶属标准 设论域设论域X上有一个标准模上有一个标准模型型A,待识别对象有待识别对象有n个：个：x1,x2,xnX,假如假如有某个有某个xk满足满足A(xk)=A(x1),A(x2),A(xn),则应优先录用则应优先录用xk.第58页 例例1 1 在论域在论域X=0,1000,100分数上建立三个表示分数上建立三个表示学习成绩含糊集学习成绩含糊集A=“优优”,”,B=“良良”,”,C=“差差”.”.当当一位同学成绩为一位同学成绩为8888分时分时,这个成绩是属于哪一类这个成绩是属于哪一类？A(88)=0.8第59页B(88)=0.7第60页A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.依据最大隶属标准依据最大隶属标准,88,88分这个成绩应隶属分这个成绩应隶属于于A,即为即为“优优”.”.例例2 论论域域 X=x1(71),x2(74),x3(78)表表示三个学生成绩示三个学生成绩,那一位学生成绩最差？那一位学生成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,依据最大隶属标准依据最大隶属标准，x1(71)最差最差.第61页例例3 3 细胞染色体形状含糊识别细胞染色体形状含糊识别 细胞染色体形状含糊识别就是几何图形含糊细胞染色体形状含糊识别就是几何图形含糊识别识别,而几何图形经常化为若干个三角图形而几何图形经常化为若干个三角图形,故设故设论域为三角形全体论域为三角形全体.即即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC 标准模型库标准模型库=E(正三角形正三角形),),R(直角三角形直角三角形),),I(等腰三角形等腰三角形),),IR(等腰直角三角形等腰直角三角形),),T(任意三任意三角形角形).).某人在试验中观察到一染色体几何形状，测某人在试验中观察到一染色体几何形状，测得其三个内角分别为得其三个内角分别为94,50,36,94,50,36,即待识别对象为即待识别对象为x0=(94,50,36).=(94,50,36).问问x0应隶属于哪一个三角形？应隶属于哪一个三角形？第62页先建立标准模型库中先建立标准模型库中各种三角形隶属函数各种三角形隶属函数.直角三角形隶属函数直角三角形隶属函数R(A,B,C)应满足以下约应满足以下约束条件：束条件：(1)(1)当当A=90时时,R(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180时时,R(A,B,C)=0;(3)(3)0R(A,B,C)1.所以，不妨定义所以，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则则R(x0)=0.955.或者或者其中其中 p=|A 90|则则R(x0)=0.54.第63页 正三角形隶属函数正三角形隶属函数E(A,B,C)应满足以下约束应满足以下约束条件：条件：(1)当当A=B=C=60时时,E(A,B,C)=1;(2)当当A=180,B=C=0时时,E(A,B,C)=0;(3)0E(A,B,C)1.所以，不妨定义所以，不妨定义E(A,B,C)=1 (A C)/180.则则E(x0)=0.677.或者或者其中其中 p=A C 则则E(x0)=0.02.第64页 等腰三角形隶属函数等腰三角形隶属函数I(A,B,C)应满足以下约束应满足以下约束条件：条件：(1)(1)当当A=B 或者或者 B=C时时,I(A,B,C)=1;(2)(2)当当A=180,B=60,C=0时时,I(A,B,C)=0;(3)(3)0I(A,B,C)1.所以，不妨定义所以，不妨定义I(A,B,C)=1 (A B)(B C)/60.则则I(x0)=0.766.或者或者 p=(A B)(B C)则则I(x0)=0.10.第65页等腰直角三角形隶属函数等腰直角三角形隶属函数(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.任意三角形隶属函数任意三角形隶属函数T(A,B,C)=IcRcEc=(IRE)c.T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.经过以上计算经过以上计算,R(x0)=0.955最大最大,所以所以x0应隶应隶属于直角三角形属于直角三角形.或者或者(IR)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.依然是依然是R(x0)=0.54最大最大,所以所以x0应隶属于直角三角应隶属于直角三角形形.第66页阈值标准阈值标准 设论域设论域X=x1,x2,xn 上有上有m个含糊子个含糊子集集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),组成了一个标准组成了一个标准模型库模型库,若对任一若对任一x0X,取定水平取定水平 0,1.若存在若存在 i1,i2,ik,使使Aij(x0)(j=1,2,k),则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于 若若Ak(x0)|k=1,2,m,则判决为：则判决为：不能识别不能识别,应该找原因另作分析应该找原因另作分析.该方法也适合用于判别该方法也适合用于判别x0是否隶属于是否隶属于标准模标准模型型Ak.若若Ak(x0),则判决为：则判决为：x0相对隶属于相对隶属于Ak;若若Ak(x0),则判决为：则判决为：x0相对不隶属于相对不隶属于Ak.第67页第三节第三节 择近标准择近标准 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有m个含糊子集个含糊子集A1,A2,Am(即即m个模型个模型),),组成了一个标准模型组成了一个标准模型库库.被识别对象被识别对象B也是也是X上一个含糊集上一个含糊集,它与标准它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类含糊识模型库中那一个模型最贴近？这是第二类含糊识别问题别问题.先将含糊向量内积与外积概念扩充先将含糊向量内积与外积概念扩充.设设A(x),B(x)是论域是论域X上两个含糊子集隶属函上两个含糊子集隶属函数数,定义定义 内积：内积：A B=A(x)B(x)|xX；外积：外积：AB=A(x)B(x)|xX.第68页内积与外积性质内积与外积性质(1)(1)(A B)c=AcBc;(2)(2)(AB)c=Ac Bc;(3)(3)A Ac 1/2;(4)(4)AAc 1/2.证实证实(1)(1)(A B)c=1-A(x)B(x)|xX =1-A(x)1-B(x)|xX=Ac(x)Bc(x)|xX=AcBc.证实证实(3)(3)A Ac=A(x)1-A(x)|xX 1/2|xX 1/2.第69页 下面我们用下面我们用 (A,B)表示两个含糊集表示两个含糊集A,B之间之间贴近程度贴近程度(简称简称贴近度贴近度),),贴近度贴近度 (A,B)有一些不有一些不一样定义一样定义.0(A,B)=A B+(1-A B)/2 (格贴近度格贴近度)1(A,B)=(A B)(1-A B)择近标准择近标准 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有m个含糊子个含糊子集集A1,A2,Am组成了一个标准模型库组成了一个标准模型库,B是待是待识别模型识别模型.若有若有k1,2,m,使得使得 (Ak,B)=(Ai,B)|1im,则称则称B与与Ak最贴近最贴近,或者说把或者说把B归于归于Ak类类.这就是这就是择择近标准近标准.第70页 C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.第71页茶叶等级识别n茶叶分为I，II，III，IV，V种，识别A为哪一个。n指标数以下：nI=（0.5，0.4，0.3，0.6，0.5，0.4）nII=（0.3，0.2，0.2，0.1，0.2，0.2）nIII=（0.2，0.2，0.2，0.1，0.1，0.2）nIV=（0，0.1，0.2，0.1，0.1，0.1）nV=（0，0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）n待识别茶叶指标数：第72页n利用贴近度得 由此可得 A 为 I 型茶叶。，第73页算法演示n算法演示：第74页计算MATLAB程序以下：na=0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.4 n 0.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.2 n 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.2 n 0 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 n 0 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1;nb=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6;nfor i=1:5 n x=a(i,:);b;n t(i)=min(max(min(x)1-min(max(x);nend nt 第75页多个特征择近标准多个特征择近标准 设在论域设在论域X=x1,x2,xn上有上有n个含糊子个含糊子集集A1,A2,An组成了一个标准模型库组成了一个标准模型库,每个模每个模型又由个特征来刻划：型又由个特征来刻划：Ai=(Ai1,Ai2,Aim),i=1,2,n,待识别模型待识别模型B=(B1,B2,Bm).先求两个含糊向量集合族贴近度：先求两个含糊向量集合族贴近度：si=(Aij,Bj)|1jm,i=1,2,n,若有若有k1,2,n,使得使得 (Ak,B)=si|1in,则称则称B与与Ak最贴近最贴近,或者说把或者说把B归于归于Ak类类.这就是这就是多个特征择近标准多个特征择近标准.第76页贴近度改进贴近度改进格贴近度不足之处是普通格贴近度不足之处是普通 0(A,A)1.定义定义(公理化定义公理化定义)若若 (A,B)满足满足 (A,A)=1;(A,B)=(B,A);若若ABC,则则 (A,C)(A,B)(B,C).则称则称 (A,B)为为A与与B贴近度贴近度.显然,公理化定义显得自然、合理、直观,防止了格贴近度不足之处,它具有理论价值.但是公理化定义并未提供一个计算贴近度方法,不便于操作.于是,人们一方面尽管以为格贴近度有缺陷,但还是乐意采用易于计算格贴近度来解决一些实际问题；其次,在实际工作中又给出了许多具体定义.第77页离散型离散型连续型连续型第78页离散型离散型连续型连续型第79页离散型离散型连续型连续型第80页 实际上实际上,择近标准关键就是最大隶属标准择近标准关键就是最大隶属标准.如如在小麦品种含糊识别在小麦品种含糊识别(仅对百粒重考虑仅对百粒重考虑)中中,可重可重新定义新定义“早熟早熟”、“矮秆矮秆”、“大粒大粒”、“高肥高肥丰产丰产”、“中肥丰产中肥丰产”隶属函数隶属函数.重新定义重新定义“早熟早熟”隶属函数为隶属函数为重新定义重新定义“矮秆矮秆”隶属函数为隶属函数为第81页例例4 4 大学生体质水平含糊识别大学生体质水平含糊识别.陈蓓菲等人在福建农学院对陈蓓菲等人在福建农学院对240240名男生体质名男生体质水平按中国学生体质健康调查研究手册上要水平按中国学生体质健康调查研究手册上要求求,从从1818项体测指标中选出了反应体质水平项体测指标中选出了反应体质水平4 4个主个主要指标要指标(身高、体重、胸围、肺活量身高、体重、胸围、肺活量),),依据聚类依据聚类分析法分析法,将将240240名男生分成名男生分成5 5类：类：A1(体质差体质差),),A2(体质中下体质中下),),A3(体质中体质中),),A4(体质良体质良),),A5 (体质优体质优),),作为论域作为论域U(大学生大学生)上一个标准模型库上一个标准模型库,然后用然后用最大隶属标准最大隶属标准,去识别一个详细学生