常州市高三数学期末试卷及答案.doc

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注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题规定
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请您务必将自己姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡规定位置．
3．请在答题卡上按照次序在对应答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0．5毫米黑色墨水签字笔。请注意字体工整，字迹清晰．
4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗．
5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗圆珠笔．
高三数学Ⅰ试题 1月
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题卡对应位置上．
1．若集合，则集合 ▲ ．
（第5题）
结束
开始
输出

2．命题“”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）．
3．若复数满足，则 ▲ ．
4．若一组样本数据，，x，，平均数为，
则该组样本数据方差为 ▲ ．
5．右图是一种算法流程图，则输出值是 ▲ ．
6．函数定义域记作集合．随机地投掷一枚质地均匀
正方体骰子（骰子每个面上分别标有点数），记骰子
向上点数为，则事件“”概率为 ▲ ．
7．已知圆锥高为6，体积为8．用平行于圆锥底面平面截圆锥，得到圆台体积是7，则该圆台高为 ▲ ．
8．各项均为正数等比数列中，若，则最小值为 ▲ ．
9．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C离心率取值范围是 ▲ ．

10．已知实数满足则取值范围是 ▲ ．
1
-1
（第12题）
11．已知函数，其中．若过原点且斜率为直线与曲线相切，则值为 ▲ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数
图象与轴
交点满足，则 ▲ ．
13．在中，，为内一点（含边界），若满足
，则取值范围为 ▲ ．
14．已知中，，所在平面内存在点使得，则面积最大值为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，合计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节．
15．（本小题满分14分）
已知中，分别为三个内角对边，．
（1）求角；
（2）若，求值．
16．（本小题满分14分）
（第16题）
如图，四棱锥底面是平行四边形，，，点是棱上异于P，C一点．
（1）求证：；
（2）过点和平面截四棱锥得到截面（点在棱上），求证：．

17．（本小题满分14分）
已知小明（如图中AB所示）身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．点光源从M发出，小明在地面上影子记作．
（1）小明沿着圆心为O，半径为3米圆周在地面上走一圈，求扫过图形面积；
（2）若米，小明从A出发，以1米/秒速度沿线段走到，，且米．秒时，小明在地面上影子长度记为（单位：米），求体现式与最小值．
（第17题）

18．（本小题满分16分）
x
y
（第18题）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆右焦点为，点是椭圆左顶点，过原点直线与椭圆交于两点（在第三象限），与椭圆右准线交于点．已知，且．
（1）求椭圆离心率；
（2）若，求椭圆原则方程．

19．（本小题满分16分）
已知各项均为正数无穷数列前项和为，且满足（其中为常数），．数列满足．
（1）证明数列是等差数列，并求出通项公式；
（2）若无穷等比数列满足：对任意，数列中总存在两个不一样项，（），使得，求公比．

20．（本小题满分16分）
已知函数，其中为常数．
（1）若，求函数极值；
（2）若函数在上单调递增，求实数取值范围；
（3）若，设函数在上极值点为，求证：．

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数学Ⅱ（附加题） 1月注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题规定
1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中前2题计分．第22、23题为必答题．每题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回．
2． 答题前，请您务必将自己姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡规定位置．
3． 请在答题卡上按照次序在对应答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0．5毫米黑色墨水签字笔．请注意字体工整，字迹清晰．
4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗．
5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗圆珠笔．

21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每题10分，合计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节．
（选修4—1）
A．选修4—1：几何证明选讲
在中，N是边AC上一点，且，AB与外接圆相切，求值．
B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵不存在逆矩阵，求：
（1）实数a值； （2）矩阵特性向量．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C参数方程为（为参数），直线l极坐标方程为，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN长．
D．选修4—5：不等式选讲
已知，求证：．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节．
22．（本小题满分10分）
已知正四棱锥侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量值：
若这两条棱所在直线相交，则值是这两条棱所在直线夹角大小（弧度制）；
若这两条棱所在直线平行，则；
若这两条棱所在直线异面，则值是这两条棱所在直线所成角大小（弧度制）．
（1）求值；
（2）求随机变量分布列及数学期望．

23．（本小题满分10分）
记（且）展开式中含项系数为，含项系数为．
（1）求；
（2）若，对成立，求实数值；
（3）对（2）中实数，用数学归纳法证明：对任意且，都成立．

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高三数学Ⅰ试题参照答案及评分原则
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分
1． 2．真 3．1 4．2 5．7 6． 7．3
8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．
二、解答题：本大题共6小题，合计90分．解答时应写出文字阐明、证明过程或演算环节．
15．解：（1）由正弦定理得，中，，因此，因此，，，因此；
（2）由于，由正弦定理得，

因此，．
16．（1）证明：，，因此，记交于点，平行四边形对角线互相平分，则为中点，又中，，因此，
又，，因此，又，因此；
（2）四边形是平行四边形，因此，又，，因此，
又，，因此，
又，因此．
17．解：（1）由题意，，，因此，
小明在地面上身影扫过图形是圆环，其面积为；
（2）通过秒，小明走到了处，身影为，由（1）知，因此，
化简得，，当时，最小值为，
答：，当（秒）时，最小值为（米）．
18．解：（1）由题意，消去y得，解得，
因此，，，因此；
（2）由（1），右准线方程为，
直线方程为，因此，
，，
因此，，因此，
椭圆原则方程为．
19．解：（1）措施一：由于①，
因此②，
由②-①得，，
即，又，
则，即．
在中令得，，即．
综上，对任意，均有，
故数列是以2为公差等差数列．
又，则．
措施二：由于，因此，又，则数列是认为首项，为公差等差数列，
因此，即．
当时，，又也符合上式，
故，
故对任意，均有，即数列是以2为公差等差数列．
（2）令，则数列是递减数列，因此．
考察函数，由于，因此在上递增． 因此，从而．
由于对任意，总存在数列中两个不一样项，，使得，因此对任意均有，明显．
若，当时，有，不符合题意，舍去；
若，当时，有，不符合题意，舍去；故．
20．解：（1）当时，，定义域为．
，令，得．

＋
0
－

↗
极大值
↘
∴当时，极大值为，无极小值．
（2），由题意对恒成立．
∵，∴，
∴对恒成立．
∴对恒成立．
令，， 则，
①若，即，则对恒成立，
∴在上单调递减，
则，∴，∴与矛盾，舍去；
②若，即，令，得，
当时，，∴单调递减，
当时，，∴单调递增，
∴当时，，
∴． 综上．
（3）当时，，．
令，，
则，令，得．
①当时，，∴单调递减，，
∴恒成立，∴单调递减，且，
②当时，，∴单调递增，
其中，
又，
∴存在唯一，使得，∴，
当时，，∴单调递增，
当时，，∴单调递减，且，
由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，
∴当时，取极大值．
∵，∴，
∴，
又，∴，∴．

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高三数学Ⅱ（附加题） 参照答案
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每题10分，合计20分．
A．选修4—1：几何证明选讲
解：记外接圆为圆O，AB、AC分别是圆O切线和割线，因此，
又，因此与相似，因此，因此
，．
B．选修4—2：矩阵与变换
（2），即，因此，解得
时，，，属于一种特性向量为；
时，，，属于一种特性向量为．
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：曲线，直线，圆心到直线距离为，因此弦长．

D．选修4—5：不等式选讲
证明：，不妨设，则，，由排序不等式得
，因此．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分．
22．解：根据题意，该四棱锥四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，轻易得到，为等腰直角三角形．也许取值为：，共种状况，其中：
时，有2种；时，有种；时，有种；
（1）；
（2），．
再根据（1）结论，随机变量分布列如下表：

0

根据上表，．
23．解：（1）．
（2），，，
则 解得．
（3）①当时，由（2）知等式成立；
②假设时，等式成立，即；
当时，由
知，
因此，
又，等式也成立；
综上可得，对任意且，均有成立．