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新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答
第三章 导数及其应用
3．1变化率与导数
练习（P76）
在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升.
练习（P78）
函数在附近单调递增，在附近单调递增. 并且，函数在附近比在附近增长得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.
练习（P79）
函数的图象为

根据图象，估算出，.
说明：假如没有信息技术，教师可以将此图直接提供应学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.
习题3.1 A组（P79）
1、在处，虽然，然而.
所以，单位时间里公司甲比公司乙的平均治污率大，因此公司甲比公司乙略好一筹.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
2、，所以，.
这说明运动员在s附近以3.3 m／s的速度下降.
3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数在时的导数.
，所以，.
因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能 J.
4、设车轮转动的角度为，时间为，则.
由题意可知，当时，. 所以，于是.
车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数在时的导数.
，所以.
因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为弧度／秒.
说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表达的巩固.
5、由图可知，函数在处切线的斜率大于0，所以函数在附近单调递增. 同理可得，函数在，，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的均大于0，并且随着的增长，的值也在增长；对于函数（3），当小于0时，小于0，当大于0时，大于0，并且随着的增长，的值也在增长. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.

说明：本题旨在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题3.1 B组（P80）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大体形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的互相转换.
3、由题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势. 一方面画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大体形状.
说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.

3．2导数的计算
练习（P85）
1、，所以，，.
2、（1）； （2）；
（3）； （4）
习题3.2 A组（P85）
1、，所以，.
2、. 3、.
4、（1）； （2）； （3）.
5、. 由有 ，解得.
6、（1）； （2）. 7、.
8、（1）氨气的散发速度.
（2），它表达氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.
习题3.2 B组（P86）
1、当时，. 所以函数图象与轴交于点.
，所以.
所以，曲线在点处的切线的方程为.
2、. 所以，上午6:00时潮水的速度为m／h；上午9:00时潮水的速度为m／h；中午12:00时潮水的速度为m／h；下午6:00时潮水的速度为m／h.
3．3导数在研究函数中的应用
练习（P93）
1、（1）由于，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（2）由于，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
（3）由于，所以.
当，即时，函数单调递增；
当，即或时，函数单调递减.
（4）由于，所以.
当，即或时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减.
注：图象形状不唯一.
2、
3、由于，所以.
（1）当时，
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
（2）当时，
，即时，函数单调递增；
，即时，函数单调递减.
4、证明：由于，所以.
当时，，
因此函数在内是减函数.
练习（P96）
1、（1）由于，所以.
令，得.
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，当时，有极小值，并且极小值为.
（2）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：

3

＋
0
－
0
＋

单调递增
54
单调递减

单调递增
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为54.
（3）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，，变化情况如下表：

2

－
0
＋
0
－

单调递减

单调递增
22
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为22
（4）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即时；②当，即或时.
当变化时，，变化情况如下表：

1

－
0
＋
0
－

单调递减

单调递增
2
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为2
2、，是函数的极值点，
其中是函数的极大值点，其中是函数的极小值点.
练习（P98）
（1）在上，当时，有极小值，并且极小值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是20、最小值是.
（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为；
又由于，.
因此，函数在上的最大值是54、最小值是.
（3）在上，当时，有极大值，并且极大值为.
又由于，.
因此，函数在上的最大值是22、最小值是.
（4）在上，函数无极值.
由于，.
因此，函数在上的最大值是、最小值是.
习题3.3 A组（P98）
1、（1）由于，所以.
因此，函数是单调递减函数.
（2）由于，，所以，.
因此，函数在上是单调递增函数.
（3）由于，所以.
因此，函数是单调递增函数.
（4）由于，所以.
因此，函数是单调递增函数.
2、（1）由于，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（2）由于，所以.
当，即时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
（3）由于，所以.
因此，函数是单调递增函数.
（4）由于，所以.
当，即或时，函数单调递增.
当，即时，函数单调递减.
3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在处，导函数有极大值；
（2）在和处，导函数有极小值；
（3）在处，函数有极大值；
（4）在处，函数有极小值.
5、（1）由于，所以.
令，得.
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，时，有极小值，并且极小值为.
（2）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：

2

＋
0
－
0
＋

单调递增
16
单调递减

单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为16；
当时，有极小值，并且极小值为.
（3）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：

2

＋
0
－
0
＋

单调递增
22
单调递减

单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为22；
当时，有极小值，并且极小值为.
（4）由于，所以.
令，得.
下面分两种情况讨论：
①当，即或时；②当，即时.
当变化时，，变化情况如下表：

4

－
0
＋
0
－

单调递减

单调递增
128
单调递减
因此，当时，有极小值，并且极小值为；
当时，有极大值，并且极大值为128.
6、（1）当时，有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为9，.
（2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为16；
当时，函数有极小值，并且极小值为.
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，.
（3）函数在上无极值.
由于在上单调递减，且，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为，.
（4）当时，有极大值，并且极大值为128..
由于，，
所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.
习题3.3 B组（P99）
（1）证明：设，.
由于，
所以在内单调递减
因此，，即，. 图略
（2）证明：设，.
由于，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
又. 因此，，. 图略
（3）证明：设，.
由于，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
综上，，. 图略
（4）证明：设，.
由于，
所以，当时，，单调递增，
；
当时，，单调递减，
；
当时，显然. 因此，.
由（3）可知，，.
. 综上，， 图略
3．4生活中的优化问题举例
习题3.4 A组（P104）
1、设两段铁丝的长度分别为，，则这两个正方形的边长分别为，，两个正方形的面积和为 ，.
令，即，.
当时，；当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
（第2题）
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去
四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为.
（1）无盖方盒的容积，.
（2）由于，
所以.
令，得（舍去），或.
当时，；当时，.
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，当时，无盖方盒的容积最大.
（第3题）
3、如图，设圆柱的高为，底半径为，
则表面积
由，得.
因此，，.
令，解得.
当时，；
当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点. 此时，.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
4、证明：由于，所以.
令，得，
可知，是函数的极小值点，也是最小值点.
这个结果说明，用个数据的平均值表达这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.
5、设矩形的底宽为m，则半圆的半径为m，半圆的面积为，
矩形的面积为，矩形的另一边长为m
因此铁丝的长为，
令，得（负值舍去）.
当时，；当时，.
因此，是函数的极小值点，也是最小值点.
所以，当底宽为m时，所用材料最省.
6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格.
由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润.
收入，
利润，.

令，即，.
当时，；当时，；
因此，是函数的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润最大,
习题3.4 B组（P105）
1、设每个房间天天的定价为元，
那么宾馆利润，.
令，解得.
由于只有一个极值，所认为最大值点.
因此，当每个房间天天的定价为350元时，宾馆利润最大.
2、设销售价为元／件时，
利润，.
令，解得.
当时，；当时，.
所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
第三章 复习参考题A组（P110）
1、（1）3； （2）.
2、（1）； （3）.
3、.
4、（1）. 由于红茶的温度在下降.
（2）表白在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降. 图略.
5、由于，所以.
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减.
6、由于，所以.
当，即时，有最小值.
由，得. 又由于，所以.
7、由于，
所以.
当，即，或时，函数也许有极值.
由题意当时，函数有极大值，所以.

＋
0
－
0
＋

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
由于

所以，当时，函数有极大值. 此时，，.
8、设当点的坐标为时，的面积最小.
由于直线过点，，
所以直线的方程为，即.
当时，，即点的坐标是.
因此，的面积.
令，即.
当，或时，，不合题意舍去.

2

－
0
＋

单调递减
极小值
单调递增
由于

所以，当，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为2.
9、.
10、设底面一边的长为m，另一边的长为m. 由于钢条长为14.8m.
所以，长方体容器的高为.
设容器的容积为，则
.
令，即，.
所以，（舍去），或.
是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为1.8 m3.
11、设旅游团人数为时，
旅行社费用为.
令，即，.
又，，.
所以，是函数的最大值点.
所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为cm时，可使其打印面积最大.
由于打印纸的面积为623.7，长为，所以宽为，
打印面积
，.
令，即，（负值舍去），.
是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.
所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大.
13、设每年养头猪时，总利润为元.
则 .
令，即，.
当时，；当时，.
是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.
第三章 复习参考题B组（P111）
1、（1）. 所以，细菌在与时的瞬时速度分别为0和.
（2）当时，细菌在增长；当时，细菌在减少.
2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为.
由于，，所以.
，.
令，即，，此时为2弧度.
是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.
3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么.
因此，，.
令，解得.
是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
把代入，得.
由，得.
所以，圆心角为时，容积最大.
4、由于，所以.
设船速为km／h时，总费用为，则
，
令，即，.
是函数在上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.
当时，（元）. 于是（元／时）
所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.
5、设汽车以km／h行驶时，行车的总费用，
令，解得，；当，；当，.
因此，当时，行车总费用最少.
所以，最经济的车速约为53km／h；假如不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.