新课程标准数学选修课后习题解答唐金制.doc

新课程标准数学选修11第三章课后习题解答第三章 导数及其应用31变化率与导数练习（P76）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 h的速率上升.练习（P78）函数在附近单调递增，在附近单调递增. 并且，函数在附近比在附近增长得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.练习（P79）函数的图象为根据图象，估算出，.说明：假如没有信息技术，教师可以将此图直接提供应学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数.习题3.1 A组（P79）1、在处，虽然，然而. 所以，单位时间里公司甲比公司乙的平均治污率大，因此公司甲比公司乙略好一筹.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、，所以，. 这说明运动员在s附近以3.3 ms的速度下降.3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数在时的导数. ，所以，. 因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 ms，它在第5 s的动能 J.4、设车轮转动的角度为，时间为，则. 由题意可知，当时，. 所以，于是. 车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数在时的导数. ，所以. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为弧度秒.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表达的巩固.5、由图可知，函数在处切线的斜率大于0，所以函数在附近单调递增. 同理可得，函数在，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的均大于0，并且随着的增长，的值也在增长；对于函数（3），当小于0时，小于0，当大于0时，大于0，并且随着的增长，的值也在增长. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题旨在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.习题3.1 B组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的的信息获得的相关信息，并据此画出的图象的大体形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的互相转换.3、由题意可知，函数的图象在点处的切线斜率为，所以此点附近曲线呈下降趋势. 一方面画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大体形状. 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟.32导数的计算练习（P85）1、，所以，.2、（1）； （2）； （3）； （4）习题3.2 A组（P85）1、，所以，.2、. 3、.4、（1）； （2）； （3）.5、. 由有 ，解得.6、（1）； （2）. 7、.8、（1）氨气的散发速度. （2），它表达氨气在第7天左右时，以25.5克天的速率减少.习题3.2 B组（P86）1、当时，. 所以函数图象与轴交于点. ，所以. 所以，曲线在点处的切线的方程为.2、. 所以，上午6:00时潮水的速度为mh；上午9:00时潮水的速度为mh；中午12:00时潮水的速度为mh；下午6:00时潮水的速度为mh.33导数在研究函数中的应用练习（P93）1、（1）由于，所以. 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. （2）由于，所以. 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减. （3）由于，所以. 当，即时，函数单调递增； 当，即或时，函数单调递减. （4）由于，所以. 当，即或时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减.注：图象形状不唯一.2、3、由于，所以. （1）当时，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减.（2）当时，即时，函数单调递增；，即时，函数单调递减.4、证明：由于，所以. 当时， 因此函数在内是减函数.练习（P96）1、（1）由于，所以. 令，得. 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，当时，有极小值，并且极小值为. （2）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即或时；当，即时. 当变化时，变化情况如下表：300单调递增54单调递减单调递增因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为54. （3）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即时；当，即或时. 当变化时，变化情况如下表：200单调递减单调递增22单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为22 （4）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即时；当，即或时. 当变化时，变化情况如下表：100单调递减单调递增2单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为22、，是函数的极值点，其中是函数的极大值点，其中是函数的极小值点.练习（P98）（1）在上，当时，有极小值，并且极小值为. 又由于，. 因此，函数在上的最大值是20、最小值是.（2）在上，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为； 又由于，. 因此，函数在上的最大值是54、最小值是.（3）在上，当时，有极大值，并且极大值为. 又由于，. 因此，函数在上的最大值是22、最小值是.（4）在上，函数无极值. 由于，. 因此，函数在上的最大值是、最小值是.习题3.3 A组（P98）1、（1）由于，所以. 因此，函数是单调递减函数. （2）由于，所以，. 因此，函数在上是单调递增函数. （3）由于，所以. 因此，函数是单调递增函数. （4）由于，所以. 因此，函数是单调递增函数.2、（1）由于，所以. 当，即时，函数单调递增. 当，即时，函数单调递减.（2）由于，所以. 当，即时，函数单调递增. 当，即时，函数单调递减.（3）由于，所以. 因此，函数是单调递增函数.（4）由于，所以. 当，即或时，函数单调递增. 当，即时，函数单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在处，导函数有极大值； （2）在和处，导函数有极小值； （3）在处，函数有极大值； （4）在处，函数有极小值.5、（1）由于，所以. 令，得. 当时，单调递增； 当时，单调递减. 所以，时，有极小值，并且极小值为. （2）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即或时；当，即时. 当变化时，变化情况如下表：200单调递增16单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为16；当时，有极小值，并且极小值为. （3）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即或时；当，即时. 当变化时，变化情况如下表：200单调递增22单调递减单调递增因此，当时，有极大值，并且极大值为22；当时，有极小值，并且极小值为. （4）由于，所以. 令，得. 下面分两种情况讨论：当，即或时；当，即时. 当变化时，变化情况如下表：400单调递减单调递增128单调递减因此，当时，有极小值，并且极小值为；当时，有极大值，并且极大值为128.6、（1）当时，有极小值，并且极小值为. 由于， 所以，函数在上的最大值和最小值分别为9，. （2）在上，当时，函数有极大值，并且极大值为16；当时，函数有极小值，并且极小值为. 由于， 所以，函数在上的最大值和最小值分别为16，. （3）函数在上无极值. 由于在上单调递减，且， 所以，函数在上的最大值和最小值分别为，. （4）当时，有极大值，并且极大值为128. 由于， 所以，函数在上的最大值和最小值分别为128，.习题3.3 B组（P99）（1）证明：设，. 由于， 所以在内单调递减 因此，即，. 图略（2）证明：设，. 由于， 所以，当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 又. 因此，. 图略（3）证明：设，. 由于， 所以，当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 综上，. 图略（4）证明：设，. 由于， 所以，当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，显然. 因此，. 由（3）可知，. 综上， 图略34生活中的优化问题举例习题3.4 A组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为，则这两个正方形的边长分别为，两个正方形的面积和为 ，. 令，即，. 当时，；当时，. 因此，是函数的极小值点，也是最小值点.（第2题） 所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为的正方形铁片的四角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为，高为. （1）无盖方盒的容积，.（2）由于， 所以. 令，得（舍去），或. 当时，；当时，. 因此，是函数的极大值点，也是最大值点. 所以，当时，无盖方盒的容积最大.（第3题）3、如图，设圆柱的高为，底半径为，则表面积 由，得. 因此，. 令，解得. 当时，；当时，. 因此，是函数的极小值点，也是最小值点. 此时，. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于，所以. 令，得， 可知，是函数的极小值点，也是最小值点. 这个结果说明，用个数据的平均值表达这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为m，则半圆的半径为m，半圆的面积为，矩形的面积为，矩形的另一边长为m因此铁丝的长为，令，得（负值舍去）.当时，；当时，.因此，是函数的极小值点，也是最小值点.所以，当底宽为m时，所用材料最省.6、利润等于收入减去成本，而收入等于产量乘价格. 由此可得出利润与产量的函数关系式，再用导数求最大利润. 收入， 利润，. 令，即，. 当时，；当时，； 因此，是函数的极大值点，也是最大值点. 所以，产量为84时，利润最大,习题3.4 B组（P105）1、设每个房间天天的定价为元，那么宾馆利润，. 令，解得. 由于只有一个极值，所认为最大值点. 因此，当每个房间天天的定价为350元时，宾馆利润最大.2、设销售价为元件时，利润，. 令，解得. 当时，；当时，. 所以，销售价为元件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A组（P110）1、（1）3； （2）.2、（1）； （3）.3、.4、（1）. 由于红茶的温度在下降. （2）表白在3附近时，红茶温度约以4min的速度下降. 图略.5、由于，所以. 当，即时，单调递增； 当，即时，单调递减.6、由于，所以. 当，即时，有最小值. 由，得. 又由于，所以.7、由于，所以.当，即，或时，函数也许有极值.由题意当时，函数有极大值，所以. 00单调递增极大值单调递减极小值单调递增由于所以，当时，函数有极大值. 此时，.8、设当点的坐标为时，的面积最小. 由于直线过点， 所以直线的方程为，即. 当时，即点的坐标是. 因此，的面积. 令，即. 当，或时，不合题意舍去.20单调递减极小值单调递增由于所以，当，即直线的倾斜角为时，的面积最小，最小面积为2.9、.10、设底面一边的长为m，另一边的长为m. 由于钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为. 设容器的容积为，则. 令，即，. 所以，（舍去），或. 是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为1.8 m3.11、设旅游团人数为时，旅行社费用为. 令，即，. 又，. 所以，是函数的最大值点. 所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为cm时，可使其打印面积最大. 由于打印纸的面积为623.7，长为，所以宽为， 打印面积 ，. 令，即，（负值舍去），. 是函数在内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大.13、设每年养头猪时，总利润为元. 则 . 令，即，. 当时，；当时，. 是函数在内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B组（P111）1、（1）. 所以，细菌在与时的瞬时速度分别为0和. （2）当时，细菌在增长；当时，细菌在减少.2、设扇形的半径为，中心角为弧度时，扇形的面积为. 由于，所以.，. 令，即，此时为2弧度. 是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为，高为，体积为，那么. 因此，. 令，解得. 是函数在内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 把代入，得. 由，得. 所以，圆心角为时，容积最大.4、由于，所以. 设船速为kmh时，总费用为，则 ， 令，即，. 是函数在上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点. 当时，（元）. 于是（元时） 所以，船速约为24kmh时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以kmh行驶时，行车的总费用， 令，解得，；当，；当，. 因此，当时，行车总费用最少. 所以，最经济的车速约为53kmh；假如不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.