广义热弹性.doc

. 广义热弹性问题热信号是以波的形式在介质中传播的，传统的热弹性理论认为传播的波速为无穷大，很明显，这与物理实际不相符合。很多科学家通过研究建立了一些广义热弹性理论，使之更能够解释自然规律，并将之运用到工程实际中来。传统的热弹性理论基于经典傅里叶定律。略去内热源的经典热传导方程是抛物型的。 c：比热容由于这个方程是抛物型的，当物质中存在着一定的温度分布，远离热源的部分会立即受到影响，热播的速度是无穷大。这个理论违背了物理事实，遇到了一些无法解决的问题。热是以波的形式传播的，我们将它称之为第二声速。在均匀的各向同性材料中，广义的傅里叶定律为：相应的热传导方程：这是一个双曲型方程，热播以速度传播的。热松弛时间。一般材料的热松弛时间非常小，当研究的问题涉及到非常短的时间间隔或者相当大的热流时，就不应该忽略松弛时间对其的影响。由Maxwall提出更一般的热传导定律：Curtin and Pipkin：热流松弛函数。 Meixner： ：材料常数 ： 正实值函数传统的热传导理论基本方程：1 运动方程： 2 动量守恒方程： 3 质量守恒定律： 4 能量守恒定律：（热力学第一定律）:应变张量 ：应力张量 ：内热源强度 ：变形前密度 ：变形后密度熵不等式： :熵Helmholtzs free energy 线性近似：忽略高阶量。和变为柯西应力与应变张量，各式变为：具有如下对称性： 热传导方程 运动方程运动方程是双曲型，而热传导方程是抛物型的，描述了一个以有限速度的弹性波与无限速度热波的耦合系统。假如材料是各向同性的：可进一步简化 线性热膨胀系数含有热松弛时间的热弹性理论：控制方程：热传导方程：是双曲型方程。热波波速是有限的。此试与运动方程：组成完整的系统，两个方程都是双曲型的。各向同性材料有如下形式：热波波速：能量方程：能量守恒方程：特解：初、边值条件 齐次初始条件如下：能量守恒方程简化为： 变分和耦合原理：设是区域内体力，在边界上得应力及温度。 Danilovskayas problem考虑的半空间平面热冲击问题，边界自由 给边界一个具体温度不计体力与热源 ：热弹性耦合系数所有量均是无量纲化的结果。初始、边界条件 :heaviside阶梯函数 对方程进行拉普拉斯变换，消去，得： 是以下方程的根：由于逆变换任务繁重，考虑两种极限情况： ：弹性波 ：热波时，都会发生跳跃，这个幅值为： 时， 考虑温度变化率的热弹性理论：TRDTE此时，熵不等式变的更一般化：能量函数：线性近似： 新的材料常数消去得：构成了TRDTE各向异性均匀材料的完整体系。各向同性材料这个理论引入了两个新的材料常数热波波速： 能量方程：不计体力和内热源设：代入上式：初始边界条件： 消去：增加初始条件： 设应满足：其中各系数均为材料常数。 实值函数假定添加边界条件： 特征函数，满足 Danilovskayas problem控制方程如下：经拉式变换后，解得：是以下方程的根：时，与考虑热松弛时间的结果相同： 两种波的传播速度不同 当，发生跳跃最近又发展了一些不考虑能量耗散的热弹性理论。近年来，有许多文章用广义热弹性理论求解了一些问题1 阶跃热流冲击加热半无限体动态热应力分析设弹性半无限体，初始温度均匀，在时刻，表面突然作用阶跃热流设物性参数均为常数，热流场，热应力场归结为以下定解方程组： 热传导方程 非傅里叶定律 热弹性方程 弹性膨胀波波速 过余温度 热扩散率 热膨胀系数 阶跃函数 时间变量应用拉普拉斯变换法进行求解，对方程两边施行对时间的拉式变换：结合初始条件并考虑解得有界性：非傅里叶方程两边积分：其反变换式的无量纲动态温度场为： 无量纲化处理： 热应力经典解为：考虑非傅里叶效应，热是以有限速度传播的，且呈波状传播，波前位置处温度变化是跳跃的。由于有限速度热传递的特点，造成短时间内热难以传出去，使相应的温度要高出经典效应很多，时间越短相差越大。两种应力波传播在半无限体内部出现两个波峰，且时间越短两个波峰相遇越近，冲击效益越明显。任一时刻，经典分布是连续的，非经典有两处是间断的。两处间断是两个波前，第一个波前是膨胀波，第二个波前是热波。很多问题在列出控制方程后，可利用拉普拉斯变换和有限元法进行求解分析。当拉普拉斯逆变换难以求解时，课利用数值方法求解。压电材料：不考虑体力的运动方程：本构方程： 能量方程： 压电常数一维情形：压电杆中不存在自由电荷。高斯定理： 为常数引入无量纲量： 简化并去掉星号： 两类边界条件，第一类为端部应力自由，给一个脉冲温度： 第二类为端部给一个脉冲应力和脉冲温度： 引入弹性势函数：代入方程，得到四阶偏微分方程：可利用拉式变换求解。广义电磁热弹耦合二维问题：考虑一热弹性半无限大体（）。置于恒定磁场中，磁场强度大小为，方向沿z轴。初始表面受到随时间t和坐标y变化的热载荷作用。由于外加磁场，半无限体中产生了感应磁场h，和感应电场E。对于缓慢变形的电和磁可导的各向同性体，线性化以后的电磁场控制方程如下： 电流密度矢量 位移矢量 电导率 介电率 磁导率 电荷密度 电位移矢量不计体力与内热源：广义电磁热弹性耦合问题的控制微分方程： 洛伦兹力分量 热膨胀系数 电场强度矢量同时垂直于磁场强度矢量和位移矢量： 电流密度矢量平行于 引入无量纲量 控制方程（省略星号） 前两式相加：旋转压电体的广义压电热弹耦合问题考虑旋转效应，运动方程中应包含与时间相关的向心加速度项和科里奥利加速度。不计体力及自由电荷，不计内热源，广义热压电理论的控制微分方程： 熵密度 电势函数 电流量 压电材料常数 介电常数 热电常数 热模量 压电常数 20 / 20