广义热弹性.doc

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广义热弹性问题
热信号是以波的形式在介质中传播的，传统的热弹性理论认为传播的波速为无穷大，很明显，这与物理实际不相符合。很多科学家通过研究建立了一些广义热弹性理论，使之更能够解释自然规律，并将之运用到工程实际中来。
传统的热弹性理论基于经典傅里叶定律。

略去内热源的经典热传导方程是抛物型的。
c：比热容
由于这个方程是抛物型的，当物质中存在着一定的温度分布，远离热源的部分会立即受到影响，热播的速度是无穷大。这个理论违背了物理事实，遇到了一些无法解决的问题。
热是以波的形式传播的，我们将它称之为第二声速。在均匀的各向同性材料中，广义的傅里叶定律为：

相应的热传导方程：

这是一个双曲型方程，热播以速度传播的。
热松弛时间。
一般材料的热松弛时间非常小，当研究的问题涉及到非常短的时间间隔或者相当大的热流时，就不应该忽略松弛时间对其的影响。
由Maxwall提出更一般的热传导定律：

Curtin and Pipkin

：热流松弛函数。
Meixner：
：材料常数 ： 正实值函数
传统的热传导理论基本方程：
1 运动方程：
2 动量守恒方程：
3 质量守恒定律：
4 能量守恒定律：（热力学第一定律）

:应变张量 ：应力张量 ：内热源强度 ：变形前密度 ：变形后密度
熵不等式：
:熵
Helmholtz’s free energy

线性近似：
忽略高阶量。和变为柯西应力与应变张量，，，各式变为：

具有如下对称性：
热传导方程
运动方程
运动方程是双曲型，而热传导方程是抛物型的，描述了一个以有限速度的弹性波与无限速度热波的耦合系统。
假如材料是各向同性的：可进一步简化

线性热膨胀系数

含有热松弛时间的热弹性理论：
控制方程：

热传导方程：

是双曲型方程。热波波速是有限的。
此试与运动方程：

组成完整的系统，两个方程都是双曲型的。
各向同性材料有如下形式：

热波波速：
能量方程：

能量守恒方程：

特解：初、边值条件

齐次初始条件如下：
能量守恒方程简化为：

变分和耦合原理：
设是区域内体力，，在边界上得应力及温度。

Danilovskaya’s problem
考虑的半空间平面热冲击问题，边界自由

给边界一个具体温度
不计体力与热源

：热弹性耦合系数
所有量均是无量纲化的结果。
初始、边界条件

:heaviside阶梯函数
对方程进行拉普拉斯变换，

消去，得：

是以下方程的根：

由于逆变换任务繁重，考虑两种极限情况：

：弹性波 ：热波
时，，都会发生跳跃，这个幅值为：

时，，，
考虑温度变化率的热弹性理论：TRDTE
此时，熵不等式变的更一般化：

能量函数：

线性近似：

新的材料常数
消去得：

构成了TRDTE各向异性均匀材料的完整体系。
各向同性材料

这个理论引入了两个新的材料常数
热波波速：
能量方程：

不计体力和内热源

设：
代入上式：

初始边界条件：

消去：

增加初始条件：
设
应满足：
其中各系数均为材料常数。 实值函数
假定添加边界条件：

特征函数，满足

Danilovskaya’s problem
控制方程如下：

经拉式变换后，解得：

是以下方程的根：

时，与考虑热松弛时间的结果相同
：

两种波的传播速度不同

当，发生跳跃

最近又发展了一些不考虑能量耗散的热弹性理论。
近年来，有许多文章用广义热弹性理论求解了一些问题
1 阶跃热流冲击加热半无限体动态热应力分析
设弹性半无限体，初始温度均匀，在时刻，表面突然作用阶跃热流
设物性参数均为常数，热流场，热应力场归结为以下定解方程组
热传导方程
非傅里叶定律

热弹性方程

弹性膨胀波波速
过余温度 热扩散率 热膨胀系数
阶跃函数 时间变量
应用拉普拉斯变换法进行求解，对方程两边施行对时间的拉式变换：

结合初始条件并考虑解得有界性：

非傅里叶方程两边积分：

其反变换式的无量纲动态温度场为：

无量纲化处理：

热应力经典解为：

考虑非傅里叶效应，热是以有限速度传播的，且呈波状传播，波前位置处温度变化是跳跃的。由于有限速度热传递的特点，造成短时间内热难以传出去，使相应的温度要高出经典效应很多，时间越短相差越大。
两种应力波传播在半无限体内部出现两个波峰，且时间越短两个波峰相遇越近，冲击效益越明显。
任一时刻，经典分布是连续的，非经典有两处是间断的。两处间断是两个波前，第一个波前是膨胀波，第二个波前是热波。
很多问题在列出控制方程后，可利用拉普拉斯变换和有限元法进行求解分析。当拉普拉斯逆变换难以求解时，课利用数值方法求解。
压电材料：
不考虑体力的运动方程：

本构方程：

能量方程：

压电常数
一维情形：压电杆中不存在自由电荷。高斯定理：

为常数

引入无量纲量：

简化并去掉星号：

两类边界条件，第一类为端部应力自由，给一个脉冲温度：

第二类为端部给一个脉冲应力和脉冲温度：

引入弹性势函数：

代入方程，得到四阶偏微分方程：

可利用拉式变换求解。
广义电磁热弹耦合二维问题：
考虑一热弹性半无限大体（）。置于恒定磁场中，磁场强度大小为，方向沿z轴。初始表面受到随时间t和坐标y变化的热载荷作用。由于外加磁场，半无限体中产生了感应磁场h，和感应电场E。对于缓慢变形的电和磁可导的各向同性体，线性化以后的电磁场控制方程如下：

电流密度矢量 位移矢量 电导率 介电率
磁导率 电荷密度 电位移矢量
不计体力与内热源：广义电磁热弹性耦合问题的控制微分方程：

洛伦兹力分量 热膨胀系数

电场强度矢量同时垂直于磁场强度矢量和位移矢量：

电流密度矢量平行于

引入无量纲量

控制方程（省略星号）

前两式相加：

旋转压电体的广义压电热弹耦合问题
考虑旋转效应，运动方程中应包含与时间相关的向心加速度项和科里奥利加速度。不计体力及自由电荷，不计内热源，广义热压电理论的控制微分方程：

熵密度 电势函数 电流量 压电材料常数
介电常数 热电常数 热模量
压电常数
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