垂径定理上示范课用市公开课一等奖百校联赛获奖课件.pptx

九年级数学九年级数学(下下)第三章第三章 圆圆2.2.圆对称性圆对称性(1)(1)垂径定理垂径定理第1页3.23.2圆对称性圆对称性l圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？假如是假如是,它对称轴是什么它对称轴是什么?你能找到多少条对你能找到多少条对称轴？称轴？O你是用什么方法处理上述问题你是用什么方法处理上述问题?第2页l圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆对称轴是圆对称轴是任意一条经过圆心直线任意一条经过圆心直线,它有没有数它有没有数条对称轴条对称轴.O可利用折叠方法即可处理上述问题可利用折叠方法即可处理上述问题.第3页圆相关概念圆相关概念l圆上任意两点间部分叫做圆上任意两点间部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.l直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫每一部分都叫做半圆做半圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间线段叫做连接圆上任意两点间线段叫做弦弦(如弦如弦AB).On经过圆心弦叫做经过圆心弦叫做直径直径(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点两点为端点弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.ABn小于半圆小于半圆弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用用两个字母两个字母).AmBn大于半圆大于半圆弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmD第4页AM=BM,垂径定理垂径定理lAB是是 O一条弦一条弦.l你能发觉图中有哪些等量关系你能发觉图中有哪些等量关系?与同伴说说你想法和理由与同伴说说你想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下列图是轴对称图形吗下列图是轴对称图形吗?假如是假如是,其对称轴是什其对称轴是什么么?ABCDMAmBn由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论第5页垂径定理垂径定理l如图如图,小明理由是小明理由是:l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.第6页垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理:垂直垂直于弦于弦直径直径平分弦平分弦,而且平分弦所正确两条弧而且平分弦所正确两条弧.l老师提醒老师提醒:l垂径定理是垂径定理是圆中一个主圆中一个主要结论要结论,三种三种语言要相互语言要相互转化转化,形成整形成整体体,才能利用才能利用自如自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.第7页CDAB,垂径定理垂径定理逆定理逆定理lAB是是 O一条弦一条弦,且且AM=BM.l你能发觉图中有哪些等量关系你能发觉图中有哪些等量关系?与同伴说说与同伴说说你想法和理由你想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?假如是假如是,其对称轴是什么其对称轴是什么?CDn由由 CD是直是直径径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD.MAB平分平分弦（不是直径）弦（不是直径）直径直径垂直于弦垂直于弦,而且平而且平 分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧.不是直径不是直径第8页 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB长为长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB距离为距离为3厘米，求厘米，求 O半径。半径。E.ABO练一练：试练一练：试 金金 石石解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，依据勾股定理有中，依据勾股定理有OA5厘米厘米 O半径为半径为5厘米。厘米。第9页n你能够写出对应命题吗你能够写出对应命题吗?垂径定理垂径定理逆定理逆定理l如图如图,在以下五个条件中在以下五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第10页垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命 题题垂直于弦直径平分弦垂直于弦直径平分弦,而且平分弦所两条弧而且平分弦所两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)直径垂直于弦直径垂直于弦,而且平而且平 分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧.平分弦所正确一条弧直径平分弦所正确一条弧直径,垂直平分弦垂直平分弦,而且平分弦所正确而且平分弦所正确另一条弧另一条弧.弦垂直平分线经过圆心弦垂直平分线经过圆心,而且平分这条弦所正确两条弧而且平分这条弦所正确两条弧.垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心垂直于弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,而且平而且平分弦和所正确另一条弧分弦和所正确另一条弧.平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心平分弦而且平分弦所正确一条弧直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,而且平分弦所正确另一条弧而且平分弦所正确另一条弧.平分弦所正确两条弧直线经过圆心平分弦所正确两条弧直线经过圆心,而且垂直平分弦而且垂直平分弦.CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.第11页依据垂径定理与推论可知对于一个依据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。假如具备圆和一条直线来说。假如具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对劣弧上述五个条件中任何两个条件都能上述五个条件中任何两个条件都能够推出其它三个结论够推出其它三个结论注意注意第12页试一试试一试P931111驶向胜利彼岸挑战自我画一画l如如图图,M,M为为OO内内一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过过点点M.M.而且而且AM=BM.AM=BM.OM第13页2 2、如图、如图4 4，在，在OO中，中，ABAB为为OO弦，弦，C C、D D是直线是直线ABAB上两点，且上两点，且ACACBDBD求证：求证：OCDOCD为等腰三角形。为等腰三角形。E第14页3 3、如图如图，两个圆都以点，两个圆都以点O O为圆心，小圆弦为圆心，小圆弦CDCD与与大圆弦大圆弦ABAB在同一条直线上。你认为在同一条直线上。你认为ACAC与与BDBD大小有大小有什么关系？为何？什么关系？为何？G第15页 AG =BG CG =DG AG-CG =BG-DG即即 AC =BDGabcd a=b，c=d a c=b-d线段加减圆弧加减圆弧加减第16页挑战自我垂径定理推论 l假如圆两条弦相互平行假如圆两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗那么这两条弦所夹弧相等吗?l老师提醒老师提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:随堂练习随堂练习P921010驶向胜利彼岸OABCD1.两条弦在圆心同侧两条弦在圆心同侧OABCD2.两条弦在圆心两侧两条弦在圆心两侧垂径定理推论垂径定理推论 圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等.第17页垂径定理推论垂径定理推论 l假如圆假如圆两条弦相互平行两条弦相互平行,那么这两条弦所夹弧相等吗那么这两条弦所夹弧相等吗?l老师提醒老师提醒:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心同侧两条弦在圆心同侧OABCD2.两条弦在圆心两侧两条弦在圆心两侧垂径定理推论垂径定理推论 圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等.MM第18页 已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证实：作直径证实：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂（垂直平分弦直径平分弦所正确弦）直平分弦直径平分弦所正确弦）AMCM BM DMACBD.MCDABON讲解讲解假如圆两条弦相互平行，假如圆两条弦相互平行，那么这两条弦所夹弧相那么这两条弦所夹弧相等吗？等吗？圆两条平行弦所夹弧相等圆两条平行弦所夹弧相等第19页怎样找圆心？怎样找圆心？l当未知一个圆或一条弧圆心时，怎样把它找出来？第20页试一试试一试P931212挑战自我挑战自我填一填填一填l1、判断：、判断：l 垂直于弦直线平分这条弦垂直于弦直线平分这条弦,而且平分弦所对而且平分弦所对 两条弧两条弧.（）l平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所平分弦所正确一条弧直径一定平分这条弦所 正确另一条弧正确另一条弧.（）l经过弦中点直径一定垂直于弦经过弦中点直径一定垂直于弦.（）l圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行圆两条弦所夹弧相等，则这两条弦平行.l弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧弦垂直平分线一定平分这条弦所正确弧.（）第21页l2.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等线段有图中相等线段有:.图中相等劣弧有图中相等劣弧有:.第22页l3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 中点，中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 半径半径OA.第23页4、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为拱高为4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度AB长。长。第24页l1300多年前，我国隋代建造赵州石拱桥桥拱是圆弧形，它跨度(弧所正确弦长)为37.4米，拱高(弧中点到弦距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱半径(准确到0.1米)第25页l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE长长.ABCD0EFGHMN第26页已知：已知：ABAB和和CDCD是是OO内两条平行弦，内两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，OO半径为半径为5cm5cm，思索题：思索题：（1 1）请依据题意画出符合条件图形）请依据题意画出符合条件图形（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间距离。间距离。（1）（2）第27页学生练习学生练习已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF第28页小结小结:处理相关弦问题，经常是过圆心作弦处理相关弦问题，经常是过圆心作弦垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅垂线，或作垂直于弦直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO第29页