2023年第十九届北京市数学竞赛甲乙解答.doc

第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
一、填空题（每题3分，共30分）
1. = 1/6 .
2．设持续，在处可导，且满足
则曲线在处切线方程为 y=2x－2 .
3. 设，则 －2 .
4．设函数可导且，二元函数满足，则 .
5. 设是由曲线 和直线，所围成区域，是持续函数，则 －2 .
6. .
7. 数项级数和 －1+cos1+ln2.
8. 计算积分= 1/2 .
9. 已知入射光线途径为，则此光线通过平面反射后反射线方程为 .
10. 设曲线长度为L，则 .
二、(10分) (10分) 设在上二阶可导，且而当时，证明在内，方程有且仅有一种实根．
证明 由于当时，因而单调减，从而，于是又有严格单调减．再由知，最多只有一种实根．
下面证明必有一实根．当时，
，
即
，
上式右端当时，趋于，因而当充足大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．
综上所述，知在有并且只有一种实根．
三、(10分) 设有二阶持续偏导数，，且，证明 在获得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.
解 由题设 其中 设
则
故

A=

，且，故是极大值.
四、（10分）设f (x)在 [0,1] 上持续，f (0)= f (1) ，求证:　对于任意正整数n，必存在，使．
证明　令
于是有　　
因此　
故存在　使

即　．
五、

六、(10分) 设函数(x≠0)具有持续导数,在围绕原点任意光滑简朴闭曲面上,积分

值恒为同一常数.
(1)证明：对空间区域内任意光滑简朴闭曲面,有
;
(2) 求函数满足体现式.
(1)证明：
如图,
将分解为,另做曲面围绕原点且与相接，则

=0.
(2) 由(1)可知，,
其通解为，由，得,
故
y
七、(10分) 如图，一平面均匀薄片是由抛物线
及轴所围成，现规定当此薄片觉得支点向右方
倾斜时，只要角不超过，则该薄片便不会向右翻倒,
问参数最大不能超过多少?
解
倾斜前薄片质心在，点与点距离为，薄片不翻倒临界位置质心在点，此时薄片底边中心在点处，有
， 解得，故最大不能超过.
八、(10分) 讨论与否存在 [0,2] 上满足下列条件函数，并论述理由:
f (x) 在 [0,2] 上有持续导数， f (0) = f (2)=1，
解 不存在这样函数.
当时，
由题设知,且
.
下面证明上面不等式不能同步取等. 否则,
,此时函数不满足持续可导条件.
于是 故不存在满足所给条件函数.