1、第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答一、填空题（每题3分，共30分）1. = 1/6 .2设持续，在处可导，且满足 则曲线在处切线方程为 y=2x2 .3. 设，则 2 . 4设函数可导且，二元函数满足，则 .5. 设是由曲线 和直线，所围成区域，是持续函数，则 2 . 6. .7. 数项级数和 1+cos1+ln2. 8. 计算积分= 1/2 .9. 已知入射光线途径为，则此光线通过平面反射后反射线方程为 . 10. 设曲线长度为L，则 . 二、(10分) (10分) 设在上二阶可导，且而当时，证明在内，方程有且仅有一种实根证明 由于当时，因而单调减，从而，于是又有严格单调减再由
2、知，最多只有一种实根下面证明必有一实根当时，即，上式右端当时，趋于，因而当充足大时，于是存在，使得，由介值定理存在，使得综上所述，知在有并且只有一种实根三、(10分) 设有二阶持续偏导数，且，证明 在获得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值.解 由题设 其中 设 则 故 A= ，且，故是极大值. 四、（10分）设f (x)在 0,1 上持续，f (0)= f (1) ，求证:对于任意正整数n，必存在，使证明令于是有因此故存在使即五、 六、(10分) 设函数(x0)具有持续导数,在围绕原点任意光滑简朴闭曲面上,积分值恒为同一常数.(1)证明：对空间区域内任意光滑简朴闭曲面,有;(2)
3、 求函数满足体现式.(1)证明：如图,将分解为,另做曲面围绕原点且与相接，则=0.(2) 由(1)可知，,其通解为，由，得,故y七、(10分) 如图，一平面均匀薄片是由抛物线 及轴所围成，现规定当此薄片觉得支点向右方倾斜时，只要角不超过，则该薄片便不会向右翻倒,问参数最大不能超过多少?解 倾斜前薄片质心在，点与点距离为，薄片不翻倒临界位置质心在点，此时薄片底边中心在点处，有 ， 解得，故最大不能超过.八、(10分) 讨论与否存在 0,2 上满足下列条件函数，并论述理由: f (x) 在 0,2 上有持续导数， f (0) = f (2)=1，解 不存在这样函数.当时，由题设知,且.下面证明上面不等式不能同步取等. 否则, ,此时函数不满足持续可导条件. 于是 故不存在满足所给条件函数.
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