湖南省邵阳市隆回第二中学2019年高三数学文下学期期末试题含解析.docx

湖南省邵阳市隆回第二中学2019年高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（　　）
A．114 B．10 C．150 D．50
参考答案：
A
【考点】几何概型；简单线性规划．
【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．
【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==．
区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，
则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．
∴芝麻落入区域Γ的概率为=．
∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．
故选A．

2. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（     ）

A．    B．     C．   D．

参考答案：
B
由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.
3. 函数y=sinx（cosx﹣sinx），x∈R的值域是（　　）
A．[﹣，] B．[，]
C．[﹣，] D．[，]
参考答案：
D
【考点】三角函数的最值．
【分析】利用二倍角公式将函数化简成同名同角函数，利用三角函数的有界限求解值域即可．
【解答】解：函数y=sinx（cosx﹣sinx）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x+）．
∵﹣1≤sin（2x+）≤1
∴≤y≤．
故选D．
4. 下列判断正确的是（    ）
A．函数是奇函数；     B．函数是偶函数
C．函数是非奇非偶函数                 D．函数既是奇函数又是偶函数
参考答案：
C
5. 双曲线=1的渐近线方程是（　　）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用双曲线方程求渐近线方程即可．
【解答】解：双曲线=1可得，所以双曲线的渐近线方程为：y=±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，基本知识的考查．
6. 设为数列的前项的和，且，则（    ）
A．       B．       C．       D．
参考答案：
C
，，
经代入选项检验，只有C符合．
7.                       （     ）

参考答案：
C
略
8. 函数的图象如图，则的解析式和的值分别为（    ）
A．
B．
C．
D．

参考答案：
A
略
9. 对于函数下列命题中正确的个数有
①过该函数图象上一点的切线的斜率为；
②函数的最小值为；③该函数图象与轴有4个交点；   
④函数在上为减函数，在上也为减函数.
.1个            .2个            .3个              .4个
参考答案：
C
略
10. 已知是第二象限角，且sin(，则tan2的值为
A.            B.           C.            D.
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为　_________　．

参考答案：

12. 角的终边过P,则角的最小正值是    ．
参考答案：

试题分析：由任意角的三角函数定义，，所以，时，角的最小正值是．
考点：1．任意角的三角函数；2．三角函数诱导公式．
13. 已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为       ．
参考答案：
2
考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．
专题：计算题．
分析：先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值．
解答： 解：圆C：x2+y2﹣2y=0的圆心（0，1），半径是r=1，
由圆的性质知：S四边形PACB=2S△PBC，四边形PACB的最小面积是2，
∴S△PBC的最小值S=1=rd（d是切线长）
∴d最小值=2
圆心到直线的距离就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k=2
故 答案为：2

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题．
14. 设函数,观察:

根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时，                  .
参考答案：

15. 长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O 的球面上，其中AA1=2，则四棱锥O﹣ABCD 的体积的最大值为　  　．
参考答案：
2
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用体积求出R，利用长方体的对角线d=2R=4，得出a2+b2=12， ，即可得出结论．
【解答】解：设球的半径为R，则=，∴R=2，
从而长方体的对角线d=2R=4，设AB=a，BC=b，因为AA1=2
则a2+b2+22=16，∴a2+b2=12
故=2，当且仅当时，四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值为2．
故答案为：2
16. 的展开式中的系数为_______（用数字填写答案）.
参考答案：
40
【分析】
,根据的通项公式分r=3和r=2两种情况求解即可.
【详解】，
由展开式的通项公式可得：
当r=3时，展开式中的系数为；
当r=2时，展开式中的系数为，
则的系数为80-40=40.
故答案为：40．
【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
17. 若函数的定义域是，则函数的定义域为________．
参考答案：

由题意，得，解得，即函数函数的定义域为．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知函数
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最小值为-4，求a的值。
参考答案：
（1）定义域 （-3，1）；（2）零点有俩个；(3) a=.
19. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=2，Sn﹣4Sn﹣1﹣2=0（n≥2，n∈Z）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=log2an，Tn为{bn}的前n项和，求证＜2．
参考答案：
【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．
【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．
【分析】（I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）当n≥3时，可得Sn﹣4Sn﹣1﹣2﹣（Sn﹣1﹣4Sn﹣2﹣2）=0（n≥2，n∈Z）．∴an=4an﹣1，
又因为a1=2，代入表达式可得a2=8，满足上式．
所以数列{an}是首项为a1=2，公比为4的等比数列，故：an=2×4n﹣1=22n﹣1．
（Ⅱ）证明：bn=log2an=2n﹣1．
Tn==n2．
n≥2时，=＜=．
≤1++…+=2﹣＜2．
20. 如图，已知长方形中，,为的中点. 将沿折起，使得平面平面.
（I）求证： ； 
（II）若点是线段的中点，求二面角的余弦值.

参考答案：

21. 已知为椭圆的左、右焦点，点为其上一点，且有．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值．
参考答案：
（I）设椭圆的标准方程为
由已知得，
又点在椭圆上，
椭圆的标准方程为…………4分
（II）由题可知，四边形为平行四边形  =4
设直线的方程为，且
由得
…………6分

=+==
     ==…………8分
令，则
==，…………10分
又在上单调递增
  的最大值为
的最大值为6. …………12分
22. 在中,设内角的对边分别为,向量,向量,若
(1)求角的大小  ；                                  
(2)若,且，求的面积.
参考答案：

略