2022年概率论与数理统计期末试卷及答案10套.doc

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试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（A卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，， ，，，,，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.为随机事件，0.4，，则 ， .
2.设连续型随机变量的概率密度 .
3.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 .
4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 ________(须写出分布类型及参数)，=___________.
5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n~，.
6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:
(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。
(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。

3.设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数A的值； (2) 概率。

4．设二维随机变量的概率密度为.
求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。

5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)

6. 设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.
求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。

7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)

8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)
(1) (2) 未知。

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试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（A卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1)
二(2-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，， ，，，,，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.为随机事件，0.4，，则 0.3 ， 4/7 .
2.设连续型随机变量的概率密度 a .
3.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 20/27 .
4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 _______(须写出分布类型及参数)，=________.
5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n~，.
6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 -3 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:
(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。
(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。
解：设A表示一辆汽车中途停车修理，B1表示经过的是货车，B2表示经过的是客车，
1)……………….5分
2) ……………….5分

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。
解：1） ……………….5分
……………….5分
3.设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数A的值； (2) 概率。
解：1） 解得A=6 ……………….5分
……………….5分
4．设二维随机变量的概率密度为.
求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。
解：
……………….4分
……………….4分
(2)由于，因此不相互独立。 ……………….2分
5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)
解：1) 设单车出现故障的个数为X,则，X~B(150,0.02)
E(X)=3,D(X)=2.94, ……………….5分
2) 由中心极限定理，有
……….5分
6. 设总体的概率密度为

其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.
求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。
解：1）
令，解得矩估计量为 ……………….5分
2）似然函数

令，解得极大似然估计量为 ……………….5分

7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)
解：枢轴量, n=9 ……………….3分
的置信水平为0.9的置信区间为
即 ……………….5分
的置信水平为0.9的置信区间为 ……………….2分

8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)
(1) (2) 未知。
解：1) 检验统计量

即认为含硫量发生了变化。 ……………….5分

2) 检验统计量

即认为含硫量发生了变化。 ……………….5分

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2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（B卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，，，，,，，，，，，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.设随机事件相互独立,且则 ，= .
2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 .
3.设离散型随机变量X的分布律为P{X=K}=,则 .
4. 设都服从[0,2]上的均匀分布，且相互独立，则=，=.
5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值~ ，
.
6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.电源电压在不超过200伏，200~240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为求:0.1,001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求
(1)元件损坏的概率；
(2)元件损坏时，电压在200~240伏间的概率。

2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)的分布函数； (2) 概率。

3. 设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数的值； (2) 概率。

4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。

5. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。

6. 设总体服从区间[1, ] 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。

7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)

8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(显著性水平)

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试 卷
2021-2022学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计（48学时）》（B卷）
（本次考试允许使用计算器）
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二(1)
二(2-5)
二(6-8)
得 分

阅卷人

，，，，，，，,，，，，，，，
一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。
1.设随机事件相互独立,且则 1/2 ，
= 1/2 .
2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 1/2 .
3.设离散型随机变量X的分布律为P{X=K}=,则 3/10 .
4. 设都服从[0,2]上的均匀分布，且相互独立，则=，=.
5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值
~ ，
6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）
7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 -1/2 .
二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.
1.电源电压在不超过200伏，200~240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为:0.1,0.001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求
(1)元件损坏的概率；
(2)元件损坏时，电压在200~240伏间的概率。
解：设A表示元件损坏，表示电压不超过200伏，表示电压在200~240伏，表示电压超过240伏
……………….5分
……………….5分
2. 设连续型随机变量的概率密度为

求: (1)的分布函数； (2) 概率。
解：1） ……………….8分
2） ……………….2分

3. 设二维随机变量的概率密度为
.
求：(1) 常数的值； (2) 概率。
解：1) 解得 ……………….5分

……………….5分
4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。
解：令X表示电子元件的寿命，则
……………….5分
所求概率为 ……………….5分

5. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，
(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；
(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。
解：1)X~B(10000,0.9) E(X)=9000,D(X)=900 ……………….5分
……………….5分

6. 设总体服从区间[1, ] 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。

证：
解得 ……………….6分
又，因此是的无偏估计 …………….…4分

7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)
解：枢轴量为 ……………….3分
的置信水平为0.95的置信区间为
……………….7分

8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(提示：对总体方差的双边检验)(显著性水平)
解： ……………….2分
检验统计量 ……………….2分

拒绝域 ……………….3分

由于
因此拒绝，即认为纱的均匀有变化 ……………….3分

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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）

(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分

题 目
一
二
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
三(5)
三(6)
三(7)
三(8)
得 分

阅卷人

一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.
1. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是( )
(A) A、B互不相容 (B) 与互不相容
(C) A、B不独立 (D) A、B独立

2. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( )
(A) (B)
(C) (D)
3. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
4. 设总体为的样本，则下面结果正确的是( )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
5. 设是来自正态总体的样本，若统计量
服从分布，则常数C=( )
(A) (B) (C) (D)

二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设，则 .
2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率
为 .
3. 设随机变量且与相互独立, ,则
4.已知,则 , .
三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）
1． (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，
(1)求这只日光灯是次品的概率。
(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。

2. (10分)设随机变量X的概率密度为：
(1) 确定k的值； (2) 计算数学期望。

3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，

(1) 求X,Y的边缘概率密度；
(2) 判断X,Y是否独立；
(3) 求概率。

4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，估计任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。

5．(10分)设总体的概率密度函数为

为总体的一个样本，试求未知参数的
(1)矩估计量； (2)最大似然估计量。

6．(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。

7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据，能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？ 即检验假设，.

8．(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示
号码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
合计
频数
42 36 37 33 54 55 36 43 45 49
430

试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？

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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一
二
三(1)
三(2)
三(3)
三(4)
三(5)
三(6)
三(7)
三(8)
得 分

阅卷人

一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.
6. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是(D )
(A) A、B互不相容 (B) 与互不相容
(C) A、B不独立 (D) A、B独立

7. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( B )
(A) (B)
(C) (D)
8. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( C )
(A) (B)
(C) (D)
9. 设总体为的样本，则下面结果正确的是(D )
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
10. 设是来自正态总体的样本，若统计量
服从分布，则常数C=( B )
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 设，则.
2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为.
3. 设随机变量且与相互独立, ,则.
4.已知,则, .
三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）
2． (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，
(1)求这只日光灯是次品的概率。
(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。
解：设A表示任取一只日光灯是次品, 表示取到产品是由第i个机器生产的,则所求概率分别为
（1）; ------------（5分）
（2）. ------------（5分）

2. (10分)设随机变量X的分布律如下：
X
-2
1
2
3

0.1
0.4
0.3
0.2

(1) 计算数学期望；
(2) 计算方差；
(3) 求的分布律.
解:(1) . ------------（3分）
(2) . ------------（3分）
(3) 的分布律 ------------（4分）
Z
0
3
8

0.4
0.4
0.2
3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，

(4) 求未知数k；
(5) 求X,Y的边缘概率密度，并判断X,Y是否独立；
(6) 求概率。
解: (1) 由，解得 ------------（2分）
(2) ------------（2分）
------------（2分） 显然故 X,Y不独立。 ------------（2分）
(3) ------------（2分）

4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，求任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。
解：设X为同时工作的车床台数，则 ------------（3分）
由中心极限定理，近似地有
------------（3分）
则 ------------（2分）
------------（2分）

5．(10分)设总体的概率密度函数为

为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。
解：(1) ，--------（5分）
(2)似然函数 --------（2分）
取对数 --------（2分）
令，解得最大似然估计量 --------（1分）

6．(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。
解：的取置信水平为95%的置信区间为 --------（5分）
把，，n=9, 代入计算得 --------（3分）
(5.54, 6.46 ) --------（2分）

7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？
即检验假设，.
解：由题意知，需检验假设，
拒绝域为：或 --------（4分）
而落入拒绝域， --------（4分）
故拒绝，推断该产品的方差较以往有显著的变化。 --------（2分）

8．(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示
号码
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
合计
频数
42 36 37 33 54 55 36 43 45 49
430

试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？
解： --------（3分）
检验统计量 --------（3分）
拒绝域 --------（2分）
接受，各号码出现的可能性相同。 --------（2分）

试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一、二
三（1）、（2）、（3）、（4）
三（5）、（6）、（7）、（8）
得 分

阅卷人

--------------------------------------------------------------------------------------装 订 线------------------------------------------------------------------------------------
，
，，，
，，，
一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）
1.设为任意两个事件，且，，则下列选项必然成立的是（ ）。
A. B.
C. D.
2.设随机变量的分布律为

-1
0
1

0.25
0.5
0.25
且满足，则（ ）。
A.0 B.0.5 C.0.75 D.1

3.设随机变量和独立同分布，记，，则与之间必有（ ）。
A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零
4.设总体服从，为的样本，则的无偏估计为 （ ）。
A. B.
C. D.
二、填空题（共6题，每题2分，共12分）
1.设，,,则________。
2.设服从，且，，则_______。
3.设随机变量和的相关系数为，且,,,则________。
4.设随机变量独立同分布，且，则_________。
5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为_____时有。
6.设随机变量服从，是来自的样本，令，则服从分布______________。
三、计算题（共8题，每题10分，共80分）
1.一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。

2.设随机变量的分布律为

-1
2
3

0.25
0.5
0.25
求(1)的分布函数；(2) 及。

3.设服从，求的概率密度。

4.设二维随机变量的联合概率密度为

求(1)常数；
(2)判断及是否独立;
(3)求概率。

5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。

6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自的样本，试求未知参数的(1)矩估计量；(2)最大似然估计量。

7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。

8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？
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试 卷
2021-2022 学年第一学期期末考试
《 概率论与数理统计 》（A卷）
(本次考试允许使用计算器)
班级 学号 姓名 总分
题 目
一、二
三（1）、（2）、（3）、（4）
三（5）、（6）、（7）、（8）
得 分

阅卷人

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