2022年概率论与数理统计期末试卷及答案10套.doc

-装 订 线- 试 卷2021-2022学年第一学期期末考试 概率论与数理统计（48学时）（A卷）（本次考试允许使用计算器）班级 学号 姓名 总分 题 目一二(1-5)二(6-8)得 分阅卷人， ，,，一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1.为随机事件，0.4，则 ， .2.设连续型随机变量的概率密度 .3.设随机变量X在2,5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 .4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 _(须写出分布类型及参数)，=_.5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n，.6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 .二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 2. 设连续型随机变量的概率密度为 求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。3.设二维随机变量的概率密度为.求：(1) 常数A的值； (2) 概率。4设二维随机变量的概率密度为. 求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)6. 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)(1) (2) 未知。-装 订 线- 试 卷2021-2022学年第一学期期末考试 概率论与数理统计（48学时）（A卷）（本次考试允许使用计算器）班级 学号 姓名 总分 题 目一二(1)二(2-5)二(6-8)得 分阅卷人， ，,，一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1.为随机事件，0.4，则 0.3 ， 4/7 .2.设连续型随机变量的概率密度 a .3.设随机变量X在2,5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，至少有两次的观测值大于3的概率为 20/27 .4.随机变量X和Y相互独立且均服从，则 _(须写出分布类型及参数)，=_.5.设是来自正态总体的一个简单随机样本，与分别是样本均值和样本方差, 则n，.6. 设总体，是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）7. 设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，且X和Y的相关系数为，则 -3 .二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.1.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，求:(1)有一辆汽车中途停车修理的概率。(2)若有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。 解：设A表示一辆汽车中途停车修理，B1表示经过的是货车，B2表示经过的是客车，1).5分2) .5分2. 设连续型随机变量的概率密度为 求: (1)随机变量的分布函数； (2) 随机变量的概率密度。解：1） .5分.5分3.设二维随机变量的概率密度为.求：(1) 常数A的值； (2) 概率。解：1） 解得A=6 .5分 .5分4设二维随机变量的概率密度为. 求：(1) 两个边缘概率密度，； (2) 判断随机变量是否相互独立。解： .4分 .4分(2)由于，因此不相互独立。 .2分5.校园里有150辆共享单车，每辆单车出现故障的概率都是0.02，各辆单车的工作是相互独立的，设这些单车出现故障的台数为X,(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；(2)利用中心极限定理求单车出现故障不少于两辆的概率。(结果用表示)解：1) 设单车出现故障的个数为X,则，XB(150,0.02) E(X)=3,D(X)=2.94, .5分2) 由中心极限定理，有 .5分6. 设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的一个简单随机样本.求：(1)的矩估计量； (2)的最大似然估计量。解：1）令，解得矩估计量为 .5分2）似然函数 令，解得极大似然估计量为 .5分7.制造某种产品每件所用时间服从正态分布，现随机记录了9件产品所用工时，测得样本方差，求所用工时的标准差的置信水平为0.9的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)解：枢轴量, n=9 .3分的置信水平为0.9的置信区间为即 .5分的置信水平为0.9的置信区间为 .2分8.某化工厂生产的一种产品的含硫量在正常情况下服从正态分布，为了解设备维修后产品含硫量的质量分数是否改变，测试了5个产品，测得它们的含硫量(质量分数，%)的样本均值为，样本方差，分别在下列两种情形下检验。(显著性水平)(1) (2) 未知。解：1) 检验统计量即认为含硫量发生了变化。 .5分2) 检验统计量即认为含硫量发生了变化。 .5分-装 订 线- 试 卷2021-2022学年第一学期期末考试 概率论与数理统计（48学时）（B卷）（本次考试允许使用计算器）班级 学号 姓名 总分 题 目一二(1-5)二(6-8)得 分阅卷人，,，一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1.设随机事件相互独立,且则 ，= .2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 .3.设离散型随机变量X的分布律为PX=K=,则 .4. 设都服从0,2上的均匀分布，且相互独立，则=，=.5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值 ， .6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 .二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.1.电源电压在不超过200伏，200240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为求:0.1,001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求(1)元件损坏的概率；(2)元件损坏时，电压在200240伏间的概率。 2. 设连续型随机变量的概率密度为 求: (1)的分布函数； (2) 概率。3. 设二维随机变量的概率密度为. 求：(1) 常数的值； (2) 概率。4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。5. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。6. 设总体服从区间1, 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(显著性水平)-装 订 线- 试 卷2021-2022学年第一学期期末考试 概率论与数理统计（48学时）（B卷）（本次考试允许使用计算器）班级 学号 姓名 总分 题 目一二(1)二(2-5)二(6-8)得 分阅卷人，,， 一、填空题（共7题，每空2分，共20分）请将正确答案写在题目后面的横线上。1.设随机事件相互独立,且则 1/2 ，= 1/2 .2. 设连续型随机变量的概率密度为则A的值为 1/2 .3.设离散型随机变量X的分布律为PX=K=,则 3/10 .4. 设都服从0,2上的均匀分布，且相互独立，则=，=.5. 设是来自正态总体的简单随机样本，则样本均值 ， 6. 设总体是来自总体的一组简单随机样本，则.（须写出分布类型及自由度）7.设随机变量(X,Y)的协方差矩阵为，则X和Y的相关系数 -1/2 .二、计算题（共8题，每题10分）请将求解过程和答案写在每题后的空白处.1.电源电压在不超过200伏，200240伏和超过240伏三种情况下，元件损坏的概率分别为:0.1,0.001和0.2，设电源电压处于三种电压情况下的概率分别为0.1,0.85和0.05，求(1)元件损坏的概率；(2)元件损坏时，电压在200240伏间的概率。 解：设A表示元件损坏，表示电压不超过200伏，表示电压在200240伏，表示电压超过240伏 .5分 .5分2. 设连续型随机变量的概率密度为 求: (1)的分布函数； (2) 概率。解：1） .8分2） .2分3. 设二维随机变量的概率密度为. 求：(1) 常数的值； (2) 概率。解：1) 解得 .5分 .5分4.设某种型号的电子元件的寿命近似服从正态分布,随机选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率。解：令X表示电子元件的寿命，则 .5分所求概率为 .5分5. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时每户用电的概率为0.9，记X表示用电高峰时同时用电的户数，(1)写出X的确切分布并求出其期望和方差；(2)利用中心极限定理求同时用电的户数在9030户以上的概率。解：1)XB(10000,0.9) E(X)=9000,D(X)=900 .5分 .5分6. 设总体服从区间1, 上的均匀分布，求的矩估计量，并说明是否为的无偏估计(要有证明过程)。证： 解得 .6分又，因此是的无偏估计 .4分7.某地幼儿的身高服从正态分布，现从该地幼儿园的大班抽查了9名幼儿，测得身高(单位：厘米)的样本均值为115厘米，设大班幼儿身高总体的标准差(厘米)。求总体均值的置信水平为0.95的置信区间。(要求写出枢轴量及其分布)解：枢轴量为 .3分的置信水平为0.95的置信区间为 .7分8.某纺织厂生产的一种细纱支数的标准差为1.2，现从当日生产的一批产品中，抽取了16只进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问：在正态总体的假定下，纱的均匀是否有变化？(提示：对总体方差的双边检验)(显著性水平)解： .2分检验统计量 .2分拒绝域 .3分由于因此拒绝，即认为纱的均匀有变化 .3分-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一二三(1)三(2)三(3)三(4)三(5)三(6)三(7)三(8)得 分阅卷人 一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.1. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是( ) (A) A、B互不相容 (B) 与互不相容 (C) A、B不独立 (D) A、B独立2. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( ) (A) (B) (C) (D) 3. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( )(A) (B) (C) (D) 4. 设总体为的样本，则下面结果正确的是( )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .5. 设是来自正态总体的样本，若统计量服从分布，则常数C=( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每空2分，共10分）1. 设，则 .2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为 .3. 设随机变量且与相互独立, ,则 4.已知,则 , . 三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）1 (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，(1)求这只日光灯是次品的概率。(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。2. (10分)设随机变量X的概率密度为： (1) 确定k的值； (2) 计算数学期望。3. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，(1) 求X,Y的边缘概率密度；(2) 判断X,Y是否独立；(3) 求概率。4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，估计任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。5(10分)设总体的概率密度函数为为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量； (2)最大似然估计量。6(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据，能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？ 即检验假设，.8(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示号码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9合计频数42 36 37 33 54 55 36 43 45 49430试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一二三(1)三(2)三(3)三(4)三(5)三(6)三(7)三(8)得 分阅卷人 一、单项选择题（共5题，每题2分，共10分）.6. 设事件A与B的概率均大于零小于1，且A与B为对立事件，则下列不成立的是(D ) (A) A、B互不相容 (B) 与互不相容 (C) A、B不独立 (D) A、B独立7. 以下哪个函数可以成为某个随机变量的分布函数( B ) (A) (B) (C) (D) 8. 设与相互独立，且有相同的分布律：，则下列正确的是( C )(A) (B) (C) (D) 9. 设总体为的样本，则下面结果正确的是(D )(A) ; (B) ;(C) ; (D) .10. 设是来自正态总体的样本，若统计量服从分布，则常数C=( B ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每空2分，共10分）1. 设，则.2. 向单位圆内随机投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限中的概率为.3. 设随机变量且与相互独立, ,则.4.已知,则, . 三、计算题（共8题，每题各10分，共80分）2 (10分)某工厂某车间有两台机器同时生产日光灯，已知第二台机器的产量是第一台机器的3倍，而第一、二台机器的次品率分别为0.004，0.003。现从两台机器生产的日光灯中任取一只，(1)求这只日光灯是次品的概率。(2)若已知所取的这只日光灯是次品，求它是由第一台机器生产的概率。解：设A表示任取一只日光灯是次品, 表示取到产品是由第i个机器生产的,则所求概率分别为 （1）; -（5分） （2）. -（5分）2. (10分)设随机变量X的分布律如下： X-21230.10.40.30.2 (1) 计算数学期望； (2) 计算方差； (3) 求的分布律.解:(1) . -（3分） (2) . -（3分） (3) 的分布律 -（4分）Z0380.40.40.23. (10分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为，(4) 求未知数k；(5) 求X,Y的边缘概率密度，并判断X,Y是否独立；(6) 求概率。解: (1) 由，解得 -（2分）(2) -（2分） -（2分） 显然故 X,Y不独立。 -（2分）(3) -（2分）4. (10分)设100台车床独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，请使用中心极限定理，求任一时刻有70到90台车床工作的概率 (结果用表示)。解：设X为同时工作的车床台数，则 -（3分）由中心极限定理，近似地有 -（3分）则 -（2分） -（2分）5(10分)设总体的概率密度函数为为总体的一个样本，试求未知参数的(1)矩估计量，(2)最大似然估计量。解：(1) ，-（5分）(2)似然函数 -（2分） 取对数 -（2分）令，解得最大似然估计量 -（1分）6(10分)设某种油漆的干燥时间 (以小时计)服从正态分布，现随机地抽取9个样品进行检测，测得干燥时间的均值(小时), 样本的均方差。未知的情况下，求的取置信水平为95%的双侧置信区间(结果精确到两位小数)。解：的取置信水平为95%的置信区间为 -（5分）把，n=9, 代入计算得 -（3分） (5.54, 6.46 ) -（2分）7. (10分)某产品的一项质量指标，现从一批产品中随机地抽取6件，测得样本的方差，问根据这一数据能否推断该产品的方差较以往有显著的变化？即检验假设，.解：由题意知，需检验假设， 拒绝域为：或 -（4分）而落入拒绝域， -（4分）故拒绝，推断该产品的方差较以往有显著的变化。 -（2分）8(10分)某商场自开办有奖销售以来的23期中奖号码中，各号码出现的频数如下所示号码0 1 2 3 4 5 6 7 8 9合计频数42 36 37 33 54 55 36 43 45 49430试问在出现这样结果的情况下，各号码出现的可能性是否相同？解： -（3分）检验统计量 -（3分） 拒绝域 -（2分）接受，各号码出现的可能性相同。 -（2分） 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一、二三（1）、（2）、（3）、（4）三（5）、（6）、（7）、（8）得 分阅卷人-装 订 线-， ， ，一、单项选择题（共4题，每题2分，共8分）1.设为任意两个事件，且，则下列选项必然成立的是（ ）。A. B. C. D. 2.设随机变量的分布律为-1010.250.50.25 且满足，则（ ）。A.0 B.0.5 C.0.75 D.13.设随机变量和独立同分布，记，则与之间必有（ ）。 A.不独立 B.相关系数不为零 C.独立 D.相关系数为零4.设总体服从，为的样本，则的无偏估计为 （ ）。A. B.C. D.二、填空题（共6题，每题2分，共12分）1.设，,则_。2.设服从，且，则_。3.设随机变量和的相关系数为，且,则_。4.设随机变量独立同分布，且，则_。5.设是总体的样本，是样本均值，则当至少为_时有。6.设随机变量服从，是来自的样本，令，则服从分布_。 三、计算题（共8题，每题10分，共80分）1.一批产品中90%是合格品。检验时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02。求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2)一个产品经检查后被认为是合格品，求该产品确是合格品的概率。2.设随机变量的分布律为-1230.250.50.25求(1)的分布函数；(2) 及。3.设服从，求的概率密度。4.设二维随机变量的联合概率密度为 求(1)常数； (2)判断及是否独立; (3)求概率。5.一个复杂系统由个相互独立的元件组成，每个元件损坏的概率为0.1，已知至少有80%的元件正常工作才能使系统正常运行，求至少为多大时才能保证系统正常运行的概率不低于0.95。6.设总体的概率密度为，其中为未知参数，是来自的样本，试求未知参数的(1)矩估计量；(2)最大似然估计量。7.随机地取某种炮弹9发做实验，测得炮口速度的样本标准差S=11m/s.设炮口速度服从，求方差的置信水平为95%的双侧置信区间。8.设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？-装 订 线- 试 卷2021-2022 学年第一学期期末考试 概率论与数理统计 （A卷）(本次考试允许使用计算器)班级 学号 姓名 总分 题 目一、二三（1）、（2）、（3）、（4）三（5）、（6）、（7）、（8）得 分阅卷人-