高等数学对弧长的曲线积分.pptx

第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第二节第二节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分第三节第三节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分第四节第四节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分第五节第五节 Green公式公式第六节第六节 Gauss公式公式第七节第七节 Stokes公式公式第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积对整体量进行分割、作和、取极限所产生的定积分与重积分已经带来了很大的方便分与重积分已经带来了很大的方便,但是但是,有些实际问有些实际问题与理论问题题与理论问题,这两种积分还解决不了这两种积分还解决不了,于是于是,又引进又引进了曲线积分与曲面积分了曲线积分与曲面积分,它们与前者的基本思想是一它们与前者的基本思想是一致的致的.本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面本章讨论的基本问题是两类曲线积分与两类曲面积分积分,重点是曲线积分与路径无关的问题以及重点是曲线积分与路径无关的问题以及Green(格林格林)公式与公式与Gauss(高斯高斯)公式公式.一、对弧长的曲线积分的定义一、对弧长的曲线积分的定义 二、对弧长的曲线积分的性质二、对弧长的曲线积分的性质三、对弧长的曲线积分的计算三、对弧长的曲线积分的计算四、对弧长的曲线积分的应用四、对弧长的曲线积分的应用线线密密度度为为连连续续函函数数z=f(x,y),利利用用分分割割作作和和、取取极极限限的的方方法法求求该构件的质量该构件的质量.一、一、对弧长的曲线积分的定义对弧长的曲线积分的定义 定义定义1 如果连续曲线如果连续曲线y=f(x)上到处都有切线上到处都有切线,当当切点连续变动时切点连续变动时,切线也连续转动切线也连续转动,就称此曲线为光就称此曲线为光滑曲线滑曲线.设有一曲线形构件设有一曲线形构件,它在它在xOy 平面内是一条光滑曲线弧平面内是一条光滑曲线弧L,见图见图9-1.图图9-1 在在L上取点上取点M1,M2,Mn-1,把把L分成分成n小段小段,在在 上任上任意取一点意取一点(i,i),弧段弧段 的长度为的长度为 si,记记Mi-1MiMi-1Mi =max s1,s2,sn则该构件的质量为则该构件的质量为 图图9-1 定定义义2 设设L为为xOy平平面面内内的的一一条条光光滑滑曲曲线线,z=f(x,y)为为L上上的的连连续续函函数数,用用分分点点M1,M2,Mn-1,把把L分分成成n小段小段,在在存在存在,则将此极限值称为函数则将此极限值称为函数f(x,y)在在L上对弧长的曲上对弧长的曲线积分线积分,记为记为 其中其中,f(x,y)称为被积函数称为被积函数,L称为积分弧段称为积分弧段.上任意取一点上任意取一点(i,i),si表示表示的长度的长度,Mi-1MiMi-1Mi记记 =max s1,s2,sn,如果如果 定定理理1 当当 f(x,y)在在光光滑滑曲曲线线或或分分段段光光滑滑曲曲线线弧弧L上上连续时连续时,对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 存在存在.二、二、对弧长的曲线积分的性质对弧长的曲线积分的性质 由对弧长的曲线积分的定义可知由对弧长的曲线积分的定义可知,定积分的所有定积分的所有性质都可以移植过来性质都可以移植过来.性质性质1 设设k为常数为常数,则则设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在设下面所涉及的对弧长的曲线积分都存在.性质性质2 性质性质3 将将L分成分成L1 与与L2,则则其中其中L0表示表示L的长度的长度性质性质4性质性质5 f(x,y)g(x,y),则则 性质性质6 在在L上若设上若设m f(x)M,则则其中其中L0表示表示L的长度的长度 性质性质7 当当 f(x,y)在光滑曲线弧在光滑曲线弧 L上连续时上连续时,必有必有L上某点上某点(,),使得使得三、三、对弧长的曲线积分的计算对弧长的曲线积分的计算 定理定理2 设设 f(x,y)在曲线在曲线 L上连续上连续,L的参数方程为的参数方程为(t )其中其中 (t),(t)在在,上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数,且且 2(t)+2(t)0,则有公式则有公式(1)成立成立.(1)设下面的函数和曲线都满足定理设下面的函数和曲线都满足定理2的条件的条件,则还有则还有如下公式如下公式.积分上限要大于下限积分上限要大于下限.设设L:y=y(x)(a x b),则有则有设设L:r=r()(),则有则有设设L:x=x(y)(c y d),则有则有设设L:x=(t),y=(t),z=(t)(t t ),则有则有 定理定理3 设设 f(x,y)和和L满足定理满足定理2的条件的条件,若若f(x,y)=f(x,y),L关于轴对称关于轴对称,L1表示表示L的位于的位于 x 轴上方轴上方的部分的部分,则有则有若若 f(x,y)=f(x,y),则则 例例1 L是整条星形线是整条星形线解解 设设 L1:x=cos3t,y=sin3t,(0 t /2),由定理由定理3可知可知,于是于是例例2 求求L为圆为圆 x2+y2=ax (a 0).解解 把把L写成极坐标形式写成极坐标形式r=a cos ,-/2 /2 利用公式利用公式(4),有有例例3 求求 为螺旋线为螺旋线:x=acost,y=asint,z=bt,0 t 2 2.解解 利用公式利用公式(5),有有 为圆周为圆周:解解 直接利用直接利用(5)完成完成,计算量很大计算量很大,注意到注意到 于是于是例例4 求求原式原式 设在设在xOy平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧平面内有一条分布着质量的光滑曲线弧(或或分段光滑曲线弧分段光滑曲线弧)L,在点在点(x,y)处的线密度为连续函数处的线密度为连续函数 f(x,y),利用微元分析法不难推得下面各计算公式利用微元分析法不难推得下面各计算公式.四、四、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分的应用 质量质量 设重心为设重心为则则转动惯量转动惯量如果曲线如果曲线L是空间曲线是空间曲线,也可以得出类似的公式也可以得出类似的公式.式中式中Ix,Iy,Io分别表示质量弧分别表示质量弧L对于对于x轴、轴、y 轴、原点的轴、原点的转动惯量转动惯量.下面给出第一型曲线积分的几何意义下面给出第一型曲线积分的几何意义.当当 f(x,y)0时时,如果如果 f(x,y)在平面曲线在平面曲线L上连续上连续,L光滑或分段光滑光滑或分段光滑,见图见图9-2曲线积分曲线积分表示柱面的面积表示柱面的面积A,即即图图9-2例例5 设有柱面设有柱面被平面被平面z=y所截所截,求所截得有限部分的柱面面积求所截得有限部分的柱面面积.解解 所求柱面面积为所求柱面面积为式中式中L为半椭圆为半椭圆其参数方程为其参数方程为于是于是作业作业P84 1、2、3、5