9拓扑优化方法.pptx

结构优化与材料优化结构优化与材料优化 第一节第一节 概述概述 第二节第二节 结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 第三节第三节 结构的拓扑优化方法结构的拓扑优化方法 第五节第五节 柔性机构优化设计柔性机构优化设计 第四节第四节 功能材料优化设计功能材料优化设计 第六节第六节 结构多学科设计优化结构多学科设计优化 第一节第一节 概述概述结结构构轻轻量量化化，提提高高有有效效载载荷荷是是飞飞行行器器设设计计者者追追求求的的永永恒恒主主题题。随随着着计计算算技技术术、材材料料科科学学、制制造造技技术术的的飞飞速速发发展展，传传统统的的设设计计、制制造造方方法法及及结结构构形形式式已已无无法法满满足足先先进进结结构构性性能能与与功功能能的的要要求求，独独特特的的服服役役力力学学环环境境对对结结构构设设计计提提出出了了前前所所未未有有的的基基础础科科学学问问题题。事事实实表表明明，火火箭箭或或人人造造卫卫星星的的结结构构重重量量每每减减少少一一公公斤斤，将将获获得得整整体体重重量量减减少少一一百百公公斤斤的的增增量量系系数数；近近年年来来，复复合合材材料料，蜂蜂窝窝层层板板及及泡泡沫沫材材料料等等轻轻质质结结构构由由于于其其抗抗冲冲击击、减减震震、吸吸能能、隔隔音音、散散热热等等优优越越性性能能而而受受到到普普遍遍的的关关注注，在在先先进进飞飞行行器器设设计计中中应应用用日日益益广广泛泛,而而这这些些优优异异特特性性的的根根本本在在于进行结构优化设计和材料优化设计。于进行结构优化设计和材料优化设计。结构优化设计结构优化设计 结构尺寸优化设计结构尺寸优化设计 结构构型优化设计结构构型优化设计 结构形状优化设计结构形状优化设计 在结构构型和结构形状不变的条件下，对在结构构型和结构形状不变的条件下，对各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采用准则法或规划法。用准则法或规划法。在材料性质和设计区域给定的条件下，在材料性质和设计区域给定的条件下，对用量和分布情况进行优化设计，采用对用量和分布情况进行优化设计，采用拓扑优化方法。拓扑优化方法。在结构构型和材料性质不变的条件在结构构型和材料性质不变的条件下，对各结构形状进行优化设计，下，对各结构形状进行优化设计，采用采用 结构优化设计分类结构优化设计分类 结构尺寸优化设计结构尺寸优化设计 结构构型优化设计结构构型优化设计 结构形状优化设计结构形状优化设计 结构优化设计的数学描述结构优化设计的数学描述 具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为 结构优化的约束条件结构优化的约束条件 结构优化的目标函数结构优化的目标函数 静力平衡条件静力平衡条件 固有频率条件固有频率条件 应力约束条件应力约束条件 位移约束条件位移约束条件 几何边界条件几何边界条件 屈服约束条件屈服约束条件 第二节第二节 结构优化设计的准则法结构优化设计的准则法 1.1.基于满应力的准则法基于满应力的准则法 对于由对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为 不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发，不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发，认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小，要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小，而应力向许用应力靠近。而应力向许用应力靠近。由此可构造如下的迭代公式由此可构造如下的迭代公式对于结构优化设计问题：对于结构优化设计问题：极值点极值点X*应满足的应满足的KuhnKuhnTuckerTucker条件条件 由此可构造如下的迭代公式由此可构造如下的迭代公式 2.2.基于基于K KT T条件的准则法条件的准则法对于结构优化设计问题：对于结构优化设计问题：极值点极值点X*应满足的应满足的KuhnKuhnTuckerTucker条件条件 3.3.基于能量的准则法基于能量的准则法结构频率关于设计变量的敏度分析结构频率关于设计变量的敏度分析 对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则 目标函数关于设计变量的敏度分析目标函数关于设计变量的敏度分析上式左端分子第一项为单元上式左端分子第一项为单元I I的应变能，第二项为单元的应变能，第二项为单元I I的动能，分母为单元的动能，分母为单元I I的质量，上式说明，具有频率约束的质量，上式说明，具有频率约束的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差为同一常数应变能）与动能密度之差为同一常数 e ei i单元单元i i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差 则有则有 ，两边乘以，两边乘以 ，则有，则有拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方法。第三节第三节 结构的拓扑优化方法结构的拓扑优化方法一、拓扑优化的历史一、拓扑优化的历史拓拓扑扑优优化化的的研研究究是是从从最最具具代代表表性性的的桁桁架架开开始始的的，拓拓扑扑优优化化理理论论的的解解析析方方法法可可追追溯溯到到由由MichelMichel提提出出的的MichelMichel桁桁架架理理论论。直直到到19641964年年DornDorn、GomoryGomory、GreenbergGreenberg等等人人提提出出了了基基结结构构法法，将将拓拓扑扑优优化化引引入入到到数数值值计计算算领领域域，使使其其克克服服了了MichelMichel桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。连连续续体体结结构构拓拓扑扑优优化化方方法法由由于于其其优优化化模模型型描描述述方方法法的的困困难难以以及及数数值值优优化化算算法法的的巨巨大大计计算算量量而而发发展展缓缓慢慢,其其蓬蓬勃勃发发展展的的起起点点以以1988年年 kikuchi和和 bendsoe等等 人人 提提 出出 的的 均均 匀匀 化化 算算 法法(TheHomogenizationMethod)为标志。为标志。正正是是由由于于kikuchi和和bendsoe的的介介绍绍后后,拓拓扑扑优优化化方方法法在在学学术术界界得得到到了了广广泛泛地地普普及及,并并应应用用到到材材料料设设计计、机机构构设设计计、器器件件设设计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。二、拓扑优化方法求解问题二、拓扑优化方法求解问题拓拓扑扑优优化化方方法法既既能能够够求求解解静静态态结结构构优优化化问问题题,也也能能够够求求解结构的动力学问题解结构的动力学问题;既既能能够够求求解解单单目目标标优优化化问问题题,也也能能够够求求解解多多目目标标优优化化问问题题;既能够求解单约束问题既能够求解单约束问题,也能够求解多约束问题也能够求解多约束问题;既既可可以以求求解解单单一一物物理理场场的的结结构构设设计计问问题题,也也可可以以求求解解多多物理场的结构设计问题物理场的结构设计问题;既既可可以以求求解解单单一一材材料料的的结结构构设设计计问问题题,也也可可以以求求解解多多种种材料复合的结构设计问题。材料复合的结构设计问题。三、拓扑优化一般过程三、拓扑优化一般过程在在给给定定的的荷荷载载和和边边界界条条件件下下，定定义义设设计计区区域域，称称为为初初始设计域；始设计域；采采用用某某种种物物理理模模型型，将将设设计计区区域域离离散散成成足足够够多多的的子子设设计区域，确定设计变量；计区域，确定设计变量；对对这这若若干干个个子子设设计计区区域域进进行行结结构构分分析析和和灵灵敏敏度度分分析析，建建立立设设计计变变量量与与结结构构位位移移、应应力力、频频率率等等关关系系，从从而而形成目标函数和约束条件；形成目标函数和约束条件；按按某某种种优优化化策策略略和和准准则则从从这这若若干干个个子子设设计计区区域域中中删删除除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。四、拓扑优化方法分类四、拓扑优化方法分类从其物理模型的描述方法上一般分为从其物理模型的描述方法上一般分为基结构法基结构法(The Ground Structural Method)均匀化方法均匀化方法(The Homogenization Method)渐渐 进进 结结 构构 优优 化化 方方 法法(The Evolutionary Structural Optimization)相对密度法相对密度法(The Artificial Materials Method)从其优化问题的求解方法上一般分为从其优化问题的求解方法上一般分为优化准则法优化准则法 Optimality Criteria(OC)methods序列线性规划法序列线性规划法 Sequential Linear Programming(SLP)methods序列二次规划法序列二次规划法 Sequential Quadratic Programming移动渐进法移动渐进法 Method of Moving Asymptotes(MMA)五、基结构法五、基结构法基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单元直径作为设计变量。元直径作为设计变量。六、均匀化方法六、均匀化方法均均匀匀化化方方法法的的基基本本思思想想是是在在组组成成拓拓扑扑结结构构的的材材料料中中引引入入微微结结构构，优优化化过过程程中中以以微微结结构构的的几几何何尺尺寸寸作作为为设设计计变变量量，以以微微结结构构的的消消长长实实现现其其增增删删，并并产产生生介介于于由由中中间间尺尺寸寸微微结结构构组组成成的的复复合合材材料料，从从而而实实现现了了结结构构拓拓扑扑优优化化模模型型与尺寸优化模型的统一。与尺寸优化模型的统一。图图1 1所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为:=(1-ab)，0a1,0b1 其中其中 是设计区域，是设计区域，是实体区域。是实体区域。每每个个微微结结构构体体有有各各自自的的坐坐标标轴轴,所所以以必必须须考考虑虑其其旋旋转转角角，如如果一个设计区域被分成果一个设计区域被分成个有限单元个有限单元,则将有则将有3 3个设计变量。个设计变量。qab11材料用量。材料用量。基于均匀化方法的拓扑优化模型基于均匀化方法的拓扑优化模型设计变量设计变量以以微微结结构构的的几几何何尺尺寸寸a,ba,b作作为为设设计计变变量量，每每个个微微结结构构体体有有各各自自的的坐坐标标轴轴,所所以以须须考考虑虑其其旋旋转转角角,如如果果一一个个设设计计区区域域被被分分成成个个有有限单元限单元,则将有则将有3 3个设计变量。个设计变量。如如果果某某个个微微结结构构的的尺尺寸寸大大到到整整个个单单胞胞边边界界，表表示示该该单单胞胞处处无无材材料料，如如果果某某个个微微结结构构的的尺尺寸寸小小到到一一个个点点，表表示示该该单单胞胞处有材料处有材料 。约束条件约束条件对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形目标函数目标函数对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率静态优化设计模型静态优化设计模型动态优化设计模型动态优化设计模型均匀化理论均匀化理论其基本思想是其基本思想是:将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周期重复构造而成的期重复构造而成的，并且在宏观和细观两种尺度上描述总体结并且在宏观和细观两种尺度上描述总体结构的位移和应力。构的位移和应力。总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比(0 1)(0 1)的渐近展开式。的渐近展开式。建立两种尺度坐标建立两种尺度坐标x和和y,其中其中 y=x/，这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。(x)=(x,y)=(x,y+Y)式中式中:上标上标表示考虑了细观结构的影响表示考虑了细观结构的影响，由于细观结构的周期由于细观结构的周期性特征，性特征，是关于是关于y的周期函数的周期函数,且周期函数的周期为且周期函数的周期为Y Y。ij,j+f i=0ij=Dijklekleij=(ui,j+uj,i)/2i,j=1,2,3;k,l=1,2,3结构物理量的描述结构物理量的描述平衡方程平衡方程本构关系本构关系几何方程几何方程物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有这样弹性问题的基本方程可表示为这样弹性问题的基本方程可表示为注：注：下标下标“,j,j”表示对坐标表示对坐标j j求导求导将位移将位移u(x)按渐近展开为小参数按渐近展开为小参数的渐近级数的渐近级数u(x)=0u0(x,y)+1u1(x,y)+2u2(x,y)+(3)代入式代入式(2)(2)，经过推导可得到结构的有效弹性常数的计算公式为，经过推导可得到结构的有效弹性常数的计算公式为式中式中:2表示单胞的求解区域表示单胞的求解区域；p pkl是细观均匀化问题的周是细观均匀化问题的周期解期解，即有即有当对均匀化理论问题的方程采用有限元求解时当对均匀化理论问题的方程采用有限元求解时,式式(4)(4)可以写可以写成成相应地相应地,式式(5)可以写成可以写成式中式中:B B 为几何矩阵为几何矩阵;D;D 为弹性矩阵只与材料的性质相关。为弹性矩阵只与材料的性质相关。对初始设计域划分网格，加上周期性边界条件，利用式对初始设计域划分网格，加上周期性边界条件，利用式(7)(7)即即可求出可求出，将求出的将求出的 代入到式代入到式(6)(6)中中，即可求出材料的弹性矩即可求出材料的弹性矩阵阵D DH H,这样就可以算出结构的有效弹性常数这样就可以算出结构的有效弹性常数，即有效弹性模量即有效弹性模量E*E*和有效泊松比和有效泊松比*。基于均匀化方法的拓扑优化存在问题基于均匀化方法的拓扑优化存在问题虽虽说说连连续续体体结结构构拓拓扑扑优优化化问问题题已已经经达达到到了了一一个个相相对对成成熟熟的的程程度度，但但不不管管其其成成熟熟程程度度如如何何，仍仍存存在在着着一一些些数数值计算上的不稳定问题，如值计算上的不稳定问题，如 棋盘格式问题棋盘格式问题(Checker boards)中间密度材料中间密度材料 网格依赖性问题网格依赖性问题(Mesh dependencies)局部极值问题局部极值问题(Local minima)针针对对这这些些问问题题，虽虽然然提提出出了了一一些些解解决决方方法法，如如松松弛弛法法、控控制制法法、滤滤波波器器法法等等，但但探探寻寻可可靠靠、有有效效的的拓拓扑扑优优化化求求解解方方法法仍仍将将是是今今后后拓扑优化领域中亟待解决的问题。拓扑优化领域中亟待解决的问题。七、相对密度法七、相对密度法相相对对密密度度法法是是结结构构拓拓扑扑优优化化中中另另一一较较为为有有效效的的物物理理描描述述方方法法,它它是是受受均均匀匀化化方方法法的的启启发发而而产产生生的的。其其基基本本思思想想是是不不引引入入微微结结构构,而而是是引引入入一一种种假假想想的的相相对对密密度度在在0 01 1之之间间可可变变的的材材料料。它它吸吸取取了了均均匀匀化化方方法法中中的的经经验验和和成成果果,直直接接假假定定设设计计材材料料的的宏宏观观弹性常量与其密度的非线性关系。弹性常量与其密度的非线性关系。0 0和和0 0分别是均质实体的密度和弹性矩阵。分别是均质实体的密度和弹性矩阵。设计变量为设计变量为密度和弹性矩阵为密度和弹性矩阵为r此此方方法法虽虽然然解解决决了了离离散散函函数数的的求求解解困困难难问问题题，但但是是在在优优化过程中却产生了许多介于化过程中却产生了许多介于0 0和和1 1之间的单元。之间的单元。这这种种结结构构制制造造困困难难,并并且且在在现现实实中中也也找找不不到到这这样样的的材材料料。通常采用惩罚因子的办法通常采用惩罚因子的办法,来抑制这种结构的产生。来抑制这种结构的产生。在实际问题中，这属于在实际问题中，这属于0 01 1规划，很难求解。规划，很难求解。为了解决这一问题，通常采用松弛法，即用一连续函数为了解决这一问题，通常采用松弛法，即用一连续函数()(0()(0()1)1)来代替离散函数来代替离散函数X(x)。设计变量的改造设计变量的改造可可以以看看出出,密密度度法法比比均均匀匀化化方方法法的的设设计计变变量量少少,因因此此在在实实际际工工程程中中大大多多采采用用密密度度法法来来解解决决问问题题,优优化化过过程程中中以以单单元的设计变量的大小来决定单元的取舍。元的设计变量的大小来决定单元的取舍。以结构的柔度为目标函数，体积为约束的优化问题的数学模型以结构的柔度为目标函数，体积为约束的优化问题的数学模型式中式中 X=x1,x2,x,x为为设设计计向向量量,可可以以为为相相对对密密度度、相相对对厚厚度度或相对弹性模量等，为防止奇异，其最小值略大于或相对弹性模量等，为防止奇异，其最小值略大于0;0;为总单元数为总单元数;F、U和和K分别为整体荷载矩阵、位移矩阵和整体刚度阵分别为整体荷载矩阵、位移矩阵和整体刚度阵;ue和和ke分别为单元位移阵和单元刚度阵分别为单元位移阵和单元刚度阵;f 为体积系数为体积系数;V(X)和和0分别为优化后的材料体积和初始材料体积分别为优化后的材料体积和初始材料体积;为惩罚因子，一般取为惩罚因子，一般取p=3=3。Bendsoe(1995)提出的启发式优化准则迭代模式为：提出的启发式优化准则迭代模式为：式中式中m 为正的可动界限；为正的可动界限；为数值阻尼系数为数值阻尼系数；Be 为由为由KT求得的系数求得的系数优化问题的求解优化问题的求解该问题可用优化准则法，序列线性规划法该问题可用优化准则法，序列线性规划法 或或移动渐进法等方法求解，移动渐进法等方法求解，下面用下面用Bendsoe(1995)提出的启发式优化准则法求解。提出的启发式优化准则法求解。为为 Lagrangian乘子乘子，可用二分法求得。，可用二分法求得。目标函数的灵敏度计算目标函数的灵敏度计算滤波技术滤波技术（filtering technique）为为了了确确保保拓拓扑扑优优化化设设计计解解的的存存在在，对对求求解解过过程程应应补补充充一一定定的的限制条件，其中滤波技术即为常用限制条件。限制条件，其中滤波技术即为常用限制条件。与与网网格格无无关关的的滤滤波波技技术术的的原原理理是是对对目目标标函函数数的的灵灵敏敏度度计计算算公式进行如下修正公式进行如下修正式中式中式中式中dist(e,f)为单元为单元e 中心点到单元中心点到单元f 中心点的距离，中心点的距离，rmin为滤波尺寸。为滤波尺寸。该问题也可用固体各向同性惩罚微结构该问题也可用固体各向同性惩罚微结构SIMPSIMP或材料性能或材料性能合理近似合理近似RAMP(RAMP(Rational Approximation of Material Properties)方法求解方法求解SIMPSIMP或或RAMP RAMP 的区别在于材料的弹性模量插值函数的表达式的区别在于材料的弹性模量插值函数的表达式不同：不同：SIMPSIMP或或RAMP RAMP 的刚度矩阵、柔度矩阵以及柔度矩阵的敏度表的刚度矩阵、柔度矩阵以及柔度矩阵的敏度表达式也不同：达式也不同：该问题也可用该问题也可用MMA MMA 方法求解方法求解七、渐进结构优化法七、渐进结构优化法渐渐进进结结构构优优化化法法是是近近年年来来兴兴起起的的一一种种解解决决各各类类结结构构优优化化问问题题的的数值方法。它是基于下面简单概念数值方法。它是基于下面简单概念:通通过过将将无无效效或或低低效效的的材材料料一一步步步步去去掉掉，剩剩下下的的结结构构将将逐逐渐渐趋趋于于优优化化。该该方方法法采采用用已已有有的的有有限限元元分分析析软软件件，通通过过迭迭代代过过程程在在计计算机上实现，该法的通用性很好。算机上实现，该法的通用性很好。渐渐进进结结构构优优化化法法不不仅仅可可解解决决各各类类结结构构的的尺尺寸寸优优化化，还还可可同同时时实实现现形形状状和和拓拓扑扑优优化化，无无论论应应力力、位位移移、刚刚度度优优化化，或或振振动动频频率率、响响应应、临临界界应应力力优优化化，都都可可遵遵循循渐渐进进结结构构优优化化法法的的统统一一原原则则和和简单步骤进行。简单步骤进行。在在微微机机上上的的实实施施也也很很简简便便，有有限限元元分分析析和和结结构构修修改改(删删除除或或增增补补单单元元)的的功功能能相相互互独独立立，且且优优化化中中避避免免了了网网格格重重新新生生成成的的问问题题。实实际际上上，在在整整个个优优化化过过程程中中只只采采用用一一种种有有限限元元网网格格(初初始始设设计计网网格格)，单单元元的的存存在在状状态态用用0 0或或非非0 0记记录录，删删除除的的单单元元被被赋赋0 0值值,这这样样在在组组装装刚刚度度或或质质量量矩矩阵阵时时不不予予考考虑虑。适适用用于于实实际际工工程程结结构构优优化的软件也正在发展之中。化的软件也正在发展之中。式中式中u为结构位移，可由为结构位移，可由有限元分析获得。有限元分析获得。Ku=F目目标标函函数数为为柔柔度度，设设计计变变量量为为单单元元厚厚度度，约约束束条条件件为为m个个点点的的位移量，其数学模型为位移量，其数学模型为式中，式中，K为整体刚度矩阵，为整体刚度矩阵，u和和F分别为位移和荷载列矩阵。分别为位移和荷载列矩阵。渐进结构优化设计数学模型渐进结构优化设计数学模型有限元分析中有限元分析中,结构的平衡方程为结构的平衡方程为二维简支梁结构最小柔度问题，梁的左下端固支约束，右下端二维简支梁结构最小柔度问题，梁的左下端固支约束，右下端简支约束，下边受垂直向下单位力简支约束，下边受垂直向下单位力1 1、2 2、3 3作用，分别作用，分别属于工况属于工况1 1、2 2、3 3。计算模型示意图计算模型示意图结构优化设计示例结构优化设计示例模型离散为模型离散为60306030四节点四边形单元，四节点四边形单元，50%50%体积约束，体积约束，近似为平面应力问题求解。近似为平面应力问题求解。移动渐进算法优化结果移动渐进算法优化结果混合算法优化结果混合算法优化结果右图中移动渐进算法得到的最终结构拓扑结果包含一些中右图中移动渐进算法得到的最终结构拓扑结果包含一些中间密度单元。间密度单元。左图中在全局过滤算法的作用下，混合算法计算结果完全左图中在全局过滤算法的作用下，混合算法计算结果完全消除了中间密度单元，得到的拓扑密度分布比移动渐进算消除了中间密度单元，得到的拓扑密度分布比移动渐进算法的结果更合理。法的结果更合理。优化结果优化结果该图表明该图表明:移动渐进算法收敛曲线的下降速度很慢移动渐进算法收敛曲线的下降速度很慢,最终结果的最终结果的柔度值较高柔度值较高,中间存在较大的数值波动中间存在较大的数值波动,计算不稳定计算不稳定.混合算法的混合算法的最终柔度值较低最终柔度值较低,计算过程中几乎没有数值波动计算过程中几乎没有数值波动,说明由于小波说明由于小波的全局过滤控制作用的全局过滤控制作用,混合算法的计算收敛性和稳定性较好。混合算法的计算收敛性和稳定性较好。不同算法下的目标函数的收敛曲线图不同算法下的目标函数的收敛曲线图复合材料的宏观性质取决于复合材料的细观结构形式。材料复合材料的宏观性质取决于复合材料的细观结构形式。材料细观结构形式的描述参数包括单胞的形状参数和单胞域上的细观结构形式的描述参数包括单胞的形状参数和单胞域上的材料分布参数。材料设计的目的就是通过调整这些参数材料分布参数。材料设计的目的就是通过调整这些参数,以以使复合材料具有要求的性能。使复合材料具有要求的性能。第四节第四节 功能材料优化设计功能材料优化设计1 1问题提法问题提法利用形状优化方法利用形状优化方法,在给定细观结构的拓扑形式的条件下在给定细观结构的拓扑形式的条件下,确确定材料在单胞上的分布规律定材料在单胞上的分布规律,获得特定性能材料的细观结构获得特定性能材料的细观结构形式。形式。目标函数目标函数 弹性常数张量的各个元素及其任意组合均可选作目标函数。弹性常数张量的各个元素及其任意组合均可选作目标函数。2 2数学模型数学模型作为一个例子，考虑右图所示作为一个例子，考虑右图所示的由实体材料和空心构成的两的由实体材料和空心构成的两相复合材料。设实体材料在单相复合材料。设实体材料在单胞域上的拓扑形式给定，例如胞域上的拓扑形式给定，例如图中所示的蜂窝型骨架结构。图中所示的蜂窝型骨架结构。设计材料的细观结构，使其在设计材料的细观结构，使其在某方向具有特定的泊松比。某方向具有特定的泊松比。此时此时,目标函数是材料泊松比与给定值之差的平方目标函数是材料泊松比与给定值之差的平方f(X)=(H12-012)2 这里这里,f(X)表示目标函数表示目标函数,H12H12和和 012012分别表示泊松比和给定值。分别表示泊松比和给定值。设计变量设计变量图中所示的实体材料在单胞域上的拓扑形式给定，而单胞的大小图中所示的实体材料在单胞域上的拓扑形式给定，而单胞的大小就是需要确定的量，故单胞的形状描述参数和实体材料的分布参就是需要确定的量，故单胞的形状描述参数和实体材料的分布参数应选为设计变量。数应选为设计变量。单胞的形状由矩形的长宽比表示。实单胞的形状由矩形的长宽比表示。实体材料的形状可由特征点的坐标表示。体材料的形状可由特征点的坐标表示。对于右图所示的材料，设计变量可选对于右图所示的材料，设计变量可选为骨架各部分的宽度为骨架各部分的宽度t ti i和和s si i长度长度,即即 X=(t1,t2,tn,s1,s2,sn)T如果蜂窝型骨架结构是等边长的如果蜂窝型骨架结构是等边长的多边形，细观结构可完全由边长多边形，细观结构可完全由边长s s、宽度、宽度t t和和 夹角这三个参数完夹角这三个参数完全确定。此时的设计变量为全确定。此时的设计变量为 X=(t,s,)X=(t,s,)T T约束条件约束条件为了克服这些困难，可以将这类约束作为罚函数加为了克服这些困难，可以将这类约束作为罚函数加在目标函数中。为了保证材料具有正交性，细观结在目标函数中。为了保证材料具有正交性，细观结构限定为关于两个轴是对称的。构限定为关于两个轴是对称的。如果所要求的材料具有某种对成性，例如正交性或各向如果所要求的材料具有某种对成性，例如正交性或各向同性等，这些性质应该包含在约束中。这类约束往往是同性等，这些性质应该包含在约束中。这类约束往往是等式约束等式约束,在优化过程中实现是困难的。因为初始设计通在优化过程中实现是困难的。因为初始设计通常是不可行的。常是不可行的。另一类约束是尺寸约束另一类约束是尺寸约束,如骨架宽度要求大于零；夹如骨架宽度要求大于零；夹角应限定在角应限定在0 900 90之间。之间。具有零泊松比空心铝的细观结构设计结果，此时夹角为具有零泊松比空心铝的细观结构设计结果，此时夹角为0.99770.9977宽度宽度t=20t=20时（铝的杨氏模量和泊松比分别为时（铝的杨氏模量和泊松比分别为6.958106.958104 4MPaMPa和和0.31480.3148）。）。3 3零泊松比空心铝的细观结构设计结果零泊松比空心铝的细观结构设计结果4.4.阻尼材料优化配置阻尼材料优化配置传传统统的的阻阻尼尼材材料料减减振振设设计计中中阻阻尼尼材材料料通通常常完完全全覆覆盖盖于待控结构表面。于待控结构表面。从从结结构构优优化化角角度度看看,阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化与与结结构构拓拓扑扑优优化化本本质质是是相相同同的的,都都是是确确定定在在满满足足预预定定性性能能约约束束下下使使目目标标最最佳佳的的结结构构或或材材料料拓拓扑扑的的分分布布,因因此此将将结结构构拓拓扑扑优优化化理理论论和和方方法法应应用用于于阻阻尼尼材材料配置优化中是可行的。料配置优化中是可行的。优优化化配配置置就就是是确确定定使使结结构构损损耗耗因因子子取取最最大大值值时时的的阻阻尼尼材材料料类类型型、层数和厚度等。层数和厚度等。1 1阻尼胞单元和阻尼拓扑敏度阻尼胞单元和阻尼拓扑敏度阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化拓拓扑扑基基结结构构定定义义如如下下:设设待待控控制制结结构构为为弹弹性性结结构构,其其表表面面完完全全涂涂敷敷待待优优化化配配置置的的阻阻尼尼材材料料;对对该该结结构构采采用用有有限限元元方方法法进进行行离离散散,得得到到具具有有一一定定质质量量、刚刚度度和和阻阻尼尼分分布布的的有有限限自自由度系统由度系统,这一有限元系统称为阻尼材料配置拓扑基结构。这一有限元系统称为阻尼材料配置拓扑基结构。其其中中离离散散出出的的由由阻阻尼尼材材料料层层和和基基体体材材料料层层构构成成的的复复合合有有限限单单元元,定定义义为为阻阻尼尼胞胞单单元元.阻阻尼尼胞胞单单元元是是配配置置优优化化中中的的基基本本设设计计单单元元,当当该该单单元元位位置置处处布布置置阻阻尼尼材材料料时时,其其拓拓扑扑值值为为1;1;当当该该单单元元位位置置处处无无阻阻尼尼材材料料时时,其其拓拓扑扑值值为为0,0,阻阻尼尼胞胞单单元元退退化化为为由由基基体体材材料料构构成成的非复合有限单元。的非复合有限单元。4.4.阻尼材料优化配置阻尼材料优化配置图图1 1给给出出自自由由阻阻尼尼层层结结构构阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化拓拓扑扑基基结结构构,图图中中黑黑色色部部分分为为阻阻尼尼材材料料,显显示示了了单单面面或或双双面面粘粘贴贴阻阻尼尼材材料料的的情情况况.当当拓拓扑扑基基结结构构有有限限元元网网格格离离散散得得足足够够密密时时(接接近近于于结结构构拓拓扑扑优优化化均均匀匀化化方方法法中中的的微微结结构构),),优优化化后后得得到到的的阻阻尼尼胞胞单单元元集集合合就就构构成成阻阻尼尼材材料料最优配置。最优配置。图图2 2给给出出了了板板壳壳、杆杆、梁梁等等结结构构阻阻尼尼配配置置优优化化中中阻阻尼胞单元截面形式。尼胞单元截面形式。图图1 1图图2 2阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化拓拓扑扑基基结结构构模模型型中中,某某一一阻阻尼尼胞胞单单元元存存在在或或被被删删除除时时,对对结结构构系系统统相相应应动动力力特特性性参参数数的的影影响响,称称为为该该阻阻尼尼胞胞单单元元的的某某动动力力特特性性参参数数阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度.如如动动应应力力阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度、动动位位移移阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度和和加加速速度度阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度等等.其数学表达式为其数学表达式为式中式中:T=t1,t2,tnT为结构阻尼胞单元拓扑设计变量向量，为结构阻尼胞单元拓扑设计变量向量，ti=1或或0;gj(T)为结构动力特性参数；为结构动力特性参数；dgj(T)/dti为阻尼胞单元为阻尼胞单元i对应于对应于gj(T)的拓扑敏度值。的拓扑敏度值。对对于于频频响响约约束束下下阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化问问题题,阻阻尼尼胞胞单单元元的的阻阻尼尼拓扑敏度定义为拓扑敏度定义为式中：式中：gk+1j(T)与与g(k)j(T)、tk+1i与与tki分分别别为为阻阻尼尼胞胞单单元元i在在第第k+1次次与与第第k次优化迭代中对应的结构动力特性参数值和拓扑值。次优化迭代中对应的结构动力特性参数值和拓扑值。从从定定义义可可看看出出,由由于于阻阻尼尼拓拓扑扑设设计计变变量量T T的的离离散散性性,导导致致阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度的的非非连连续续性性.因因此此,阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度是是一一个个广广义义梯梯度度,常常规规的关于梯度的性质在这里不具有继承性。的关于梯度的性质在这里不具有继承性。2 2自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化模型自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化模型式中式中:mi为阻尼胞单元为阻尼胞单元i的重量的重量;sj(T)为结构频响动力特性约束函数为结构频响动力特性约束函数;J为动力特性约束总数为动力特性约束总数;L及及U分分别别为为第第i i阶阶固固有有频频率率约约束束的的上上下下限限值值;n为固有频率约束总数。为固有频率约束总数。采采用用拓拓扑扑优优化化方方法法研研究究阻阻尼尼材材料料配配置置问问题题后后,考考虑虑重重量量目目标标及及结结构构频频响响峰峰值值和和频频率率约约束束的的阻阻尼尼材材料料配配置置优优化化数数学学表表达式为达式为优优化化中中要要求求结结构构响响应应量量xp控控制制在在给给定定值值x*p(p=1,2,P)附附近近，P为响应约束点总数。若对应各响应点的权系数为为响应约束点总数。若对应各响应点的权系数为wp,则则模模型型中中对对于于频频响响峰峰值值约约束束,应应考考虑虑所所选选约约束束峰峰值值上上限限小小于于结结构构表表面面完完全全覆覆盖盖指指定定厚厚度度阻阻尼尼材材料料时时的的频频响响峰峰值值.否否则则,可可能能无无法法采采用用指定厚度阻尼材料将结构频响峰值降低到所需范围。指定厚度阻尼材料将结构频响峰值降低到所需范围。3 3自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化感性准则算法自由阻尼层结构阻尼材料配置拓扑优化感性准则算法由由于于阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度是是广广义义梯梯度度,常常规规的的基基于于连连续续导导数数的的优优化化算算法法难难以以应应用用.因因此此,建建立立基基于于阻阻尼尼胞胞单单元元拓拓扑扑敏敏度度综综合合评评价价的的感性拓扑优化准则。感性拓扑优化准则。阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度数数值值反反映映了了某某一一位位置置一一定定尺尺寸寸的的阻阻尼尼材材料料存存在在或或被被删删除除时时,对对结结构构系系统统相相应应动动力力特特性性的的影影响响大大小小.当当各各阻阻尼尼胞胞单单元元尺尺寸寸都都取取相相同同值值时时,阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度数数值值也也反反映映结结构构系系统统动动力力特特性性对对阻阻尼尼材材料料位位置置的的敏敏感感性性.由由于于阻阻尼尼材材料料在在某某一一位位置置的的配配置置状状态态只只能能有有两两种种:有有或或无无,故故求求得得该该位位置置处处阻阻尼尼拓拓扑扑敏敏度度,即即可可确确定定出出阻阻尼尼材材料料配配置置概概率率.一一般般来来说说,拓拓扑扑敏敏度度绝绝对对值值越越大大的的位位置置,阻阻尼尼胞胞单单元元越越应应保保留留或或关关注注.综综合合考考虑虑重重量量目目标标要要求求,将将阻阻尼尼胞胞单单元元按按敏敏度度绝绝对对值值由由大大到到小小排排列列,逐逐步步配配置置上上去去,直直至至满满足足动动力力特特性性约约束束条条件件,即即可可得得最最优优拓拓扑扑配配置置.在在对对阻阻尼尼胞胞单单元元按按敏敏度度值值排排序序时时,还还应对阻尼拓扑敏度进行综合评价。应对阻尼拓扑敏度进行综合评价。则单元则单元i的归一化阻尼拓扑敏度为的归一化阻尼拓扑敏度为令令引引入入过过滤滤函函数数f(t),（取取f(t)=tn,n=3）定定义义阻阻尼尼胞胞单单元元i的的拓拓扑扑敏敏度评价值为度评价值为当考虑频响峰值约束和频率约束时当考虑频响峰值约束和频率约束时,将上式修正为将上式修正为式式中中,exp(-|i-0|)为为惩惩罚罚因因子子项项,i与与 0分分别别为为配配置置阻阻尼尼胞胞单单元元i时结构指定阶次固有频率和结构该阶频率约束平均限值。时结构指定阶次固有频率和结构该阶频率约束平均限值。同理同理,某个拓扑分布下结构拓扑敏度评价值的计算式为某个拓扑分布下结构拓扑敏度评价值的计算式为建立了阻尼拓扑敏度