1、作业作业 P227 习题习题 8.1 1(2)(4)(6)(8).4.P236 习题习题 8.2 1(2)(4)(6).10/10/1第1页 第二十一讲第二十一讲 简单常微分方程简单常微分方程(一一)一、微分方程基本概念一、微分方程基本概念二、一阶常微分方程二、一阶常微分方程10/10/2第2页 十七世纪末，力学、天文学、物理十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量学及工程技术提出大量需要寻求函数需要寻求函数关系关系问题。在这些问题中，函数关问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要依据详细问系不能直接写出来，而要依据详细问题条件和一些物理定律，首先得到题条件和一些物理定律，首
2、先得到一个或几个含有未知函数导数关一个或几个含有未知函数导数关系式，即系式，即微分方程微分方程，然后由微分方程，然后由微分方程和一些已知条件把未知函数求出来。和一些已知条件把未知函数求出来。一、微分方程基本概念一、微分方程基本概念10/10/3第3页重力重力切向分力切向分力解解10/10/4第4页依据牛顿第二定律依据牛顿第二定律,得得到到注意到注意到从而有从而有微分方程微分方程初始条件初始条件定解条件定解条件定解问题定解问题10/10/5第5页 定义定义1:含有未知函数导数含有未知函数导数方程方程 称为称为微分方程微分方程.未知函数是未知函数是一元函数一元函数,含有未知函数含有未知函数导数导数
3、微分方程称为微分方程称为常微分方程常微分方程.未知函数是未知函数是多元函数多元函数,含有未知函数含有未知函数偏偏导数导数微分方程称为微分方程称为偏微分方程偏微分方程.比如比如10/10/6第6页比如比如二阶二阶 未知函数导数最高阶数称为未知函数导数最高阶数称为微分方程阶微分方程阶.定义定义2:(微分方程阶微分方程阶)10/10/7第7页 未知函数及其各阶导数都是一次整式微分方未知函数及其各阶导数都是一次整式微分方程称为程称为线性微分方程线性微分方程.定义定义3:(线性与非线性线性与非线性)10/10/8第8页定义定义4:(微分方程微分方程解解)称为微分方程称为微分方程通解通解.微分方程微分方程
4、通解：通解：10/10/9第9页10/10/10第10页微分方程微分方程特解：特解：一个常微分方程一个常微分方程满足定解条件满足定解条件解解称为微分方程称为微分方程特解特解通解有时也写成通解有时也写成隐式形式隐式形式称为微分方程称为微分方程通积分通积分10/10/11第11页10/10/12第12页有有n n个个定解条件定解条件10/10/13第13页 定义定义5:(积分曲线积分曲线 与积分曲线族与积分曲线族)积分曲线族积分曲线族10/10/14第14页二、二、一阶常微分方程一阶常微分方程 初等积分法初等积分法所谓初等解法所谓初等解法,就是用不定积分方法求解常就是用不定积分方法求解常微分方程微
5、分方程.初等解法只适合用于若干非常简单一阶常初等解法只适合用于若干非常简单一阶常微分方程微分方程,以及一些特殊类型二阶常微分方以及一些特殊类型二阶常微分方程程.10/10/15第15页(一一)变量可分离型变量可分离型(三三)一阶线性方程一阶线性方程(二二)可化为可化为可分离变量可分离变量(五五)全微分方程全微分方程(四四)伯努利伯努利(Bernoulli)方方程程(六六)积分因子积分因子10/10/16第16页两边积分两边积分通解通解分离变量分离变量这两个方程共同特点这两个方程共同特点是变量可分离型是变量可分离型(一一)分离变量法分离变量法10/10/17第17页(1)(1)解解 两边积分两边
6、积分分离变量分离变量即即10/10/18第18页(分离变量时分离变量时,这个解被丢掉了这个解被丢掉了!)!)于是得到方程于是得到方程通解通解10/10/19第19页(2)解解分离变量分离变量两端积分两端积分,得得通解通解奇异解奇异解10/10/20第20页(二二)可化为可化为可分离变量可分离变量这两个方程共同特点是这两个方程共同特点是什麽什麽?可化为可化为齐次型方程齐次型方程10/10/21第21页求解方法求解方法这是什麽这是什麽方程？方程？可分离变可分离变量方程！量方程！10/10/22第22页分离变量分离变量两端积分两端积分10/10/23第23页取指数而且脱去绝对值取指数而且脱去绝对值由
7、此又得到由此又得到通解通解10/10/24第24页10/10/25第25页两端积分两端积分得得通解通解10/10/26第26页10/10/27第27页(三三)一阶线性微分方程一阶线性微分方程10/10/28第28页性质性质1：性质性质2：性质性质3：10/10/29第29页性质性质4：性质性质5：10/10/30第30页(1)怎样解齐次方程？怎样解齐次方程？非齐次非齐次齐次齐次可分离型！可分离型！标准形式：标准形式：什麽类型？什麽类型？一阶线性微分方程一阶线性微分方程10/10/31第31页分离变量分离变量是是p(x)一个原函数不一个原函数不是不定积分！是不定积分！齐次通解齐次通解解得解得注意
8、：注意：齐次通解结构：齐次通解结构：10/10/32第32页(2)(2)用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假定假定(1)解含有形式解含有形式将这个解代入将这个解代入(1),经计算得到经计算得到10/10/33第33页化简得到化简得到即即10/10/34第34页积分积分从而得到非齐次方程从而得到非齐次方程(1)通解通解非齐次通解非齐次通解或或10/10/35第35页非齐次通解结构：非齐次通解结构：特解特解非齐次特解非齐次特解10/10/36第36页10/10/37第37页这是线性方程吗？这是线性方程吗？是关于函数是关于函数 x=x(y)x=x(y)一阶线性方程！一阶线性方程！解解 变形为：变形为：第一步第一步:先求解齐次方程先求解齐次方程齐次方程通解是齐次方程通解是10/10/38第38页第二步第二步:用常数变异法解非齐次方程用常数变异法解非齐次方程假设非齐次方程解为假设非齐次方程解为代入方程并计算化简代入方程并计算化简积分得积分得通解通解10/10/39第39页
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