名师讲义圆的基本性质省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

圆基本性质10/10/1第1页圆基本性质圆基本性质(1)(1)了解圆及其相关概念了解圆及其相关概念 b b (2)(2)了解弧了解弧 、弦、圆心角关系、弦、圆心角关系 a a(3)(3)探索并了解点与圆位置关系探索并了解点与圆位置关系 c c探索圆性质探索圆性质 c c了解圆周角与圆心角关系、直径所对圆周角了解圆周角与圆心角关系、直径所对圆周角特征特征 a a了解三角形外心了解三角形外心 a a10/10/2第2页知识体系知识体系圆圆基本性质基本性质直线与圆位直线与圆位置关系置关系圆与圆位圆与圆位置关系置关系概概念念对对称称性性垂垂径径定定理理圆心角、圆心角、弧、弦之弧、弦之间关系定间关系定理理圆周角与圆周角与圆心角关圆心角关系系切切线线性性质质切切线线判判定定弧长、扇形面积和圆锥弧长、扇形面积和圆锥侧面积相关计算侧面积相关计算位位置置分分类类性性质质10/10/3第3页圆定义辨析圆定义辨析w篮球是圆吗？篮球是圆吗？a圆必须在一个平面内圆必须在一个平面内w以以3cm为半径画圆，能画多少个？为半径画圆，能画多少个？w以点以点O为圆心画圆，能画多少个？为圆心画圆，能画多少个？w由此，你发觉半径和圆心分别有什么作用？由此，你发觉半径和圆心分别有什么作用？a半径确定圆大小；圆心确定圆位置半径确定圆大小；圆心确定圆位置w圆是圆是“圆周圆周”还是还是“圆面圆面”？a圆是一条封闭曲线圆是一条封闭曲线w圆周上点与圆心有什么关系？圆周上点与圆心有什么关系？10/10/4第4页点与圆位置关系点与圆位置关系w你发觉你发觉点与圆位置关系点与圆位置关系是由什么来决定呢？是由什么来决定呢？假如圆半径为假如圆半径为r，点到圆心距离为点到圆心距离为d，则：，则：点在圆上点在圆上 d=r 点在圆内点在圆内 dr10/10/5第5页经过三角形三个顶点圆叫做三角形经过三角形三个顶点圆叫做三角形外接圆外接圆，外接圆圆心叫做三角形外接圆圆心叫做三角形外心外心，三角形叫做圆三角形叫做圆内接三角形内接三角形。问题问题1：怎样作三角形外接圆？怎：怎样作三角形外接圆？怎样找三角形外心？样找三角形外心？问题问题2：三角形外心一定：三角形外心一定 在三角在三角形内吗？形内吗？C90ABC是锐角三角形是锐角三角形ABC是钝角三角形是钝角三角形10/10/6第6页垂直于弦直径垂直于弦直径及其推及其推及其推及其推论论论论10/10/7第7页想一想想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？侧半圆会有什么关系？性质：性质：圆是圆是轴对称图形轴对称图形，任何一条，任何一条直径直径所在所在直线都是它直线都是它对称轴对称轴。10/10/8第8页垂径定理垂径定理垂直于弦直径平分这条弦，而且平分弦所正确两条弧。10/10/9第9页判断以下图形，能否使用垂径定理？判断以下图形，能否使用垂径定理？注意：定理中两个条件注意：定理中两个条件（直径，垂直于弦）缺一不（直径，垂直于弦）缺一不可！可！10/10/10第10页OABE若圆心到弦距离用若圆心到弦距离用d表示，半表示，半径用径用r表示，弦长用表示，弦长用a表示，这表示，这三者之间有怎样关系？三者之间有怎样关系？10/10/11第11页变式变式1 1：AC、BD有什么关系？有什么关系？变式变式2 2：ACBD依然成依然成立吗立吗？变式变式3 3：EA_,EC=_。FDFB变式变式4 4：_ AC=BD.OA=OB变式变式5 5：_ AC=BD.OC=OD10/10/12第12页w如图，如图，P为为O弦弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求O半径。半径。MAPBO关于弦问题，经常需关于弦问题，经常需要要过圆心作弦垂线段过圆心作弦垂线段，这是一条非常主要这是一条非常主要辅助辅助线线。圆心到弦距离、半径、圆心到弦距离、半径、弦长弦长组成组成直角三角形直角三角形，便将问题转化为直角三便将问题转化为直角三角形问题。角形问题。10/10/13第13页（1）平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）直径直径垂直于垂直于弦弦，而且，而且平分弦所正确两条弧平分弦所正确两条弧；（2 2）弦垂直平分线弦垂直平分线经过圆心经过圆心，而且，而且平平分弦所正确两条弧分弦所正确两条弧；（3 3）平分弦所正确一条弧直径平分弦所正确一条弧直径，垂直垂直平分弦平分弦而且而且平分弦所正确另一条弧平分弦所正确另一条弧。10/10/14第14页如图如图，CD为为O直径直径，ABCD，EFCD，你能你能得到什么结论？得到什么结论？弧弧AE弧弧BF圆两条圆两条平行弦平行弦所夹弧相等所夹弧相等。FOBAECD10/10/15第15页圆心角、弧、弦、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系弦心距之间关系10/10/16第16页圆性质圆性质w圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是对称轴。是对称轴。w圆是以圆心为对称中心圆是以圆心为对称中心中心对称图形中心对称图形。w圆还含有圆还含有旋转不变性旋转不变性，即圆绕圆心旋转任，即圆绕圆心旋转任意一个角度意一个角度，都能与原来图形重合。，都能与原来图形重合。10/10/17第17页如图如图，AOBAOB，OCAB，OCAB。猜测：猜测：弧弧AB与弧与弧AB，AB与与AB，OC与OC之间关系，并证实你猜测。之间关系，并证实你猜测。定理定理相等圆心角相等圆心角所正确所正确弧弧相等，相等，所正确所正确弦弦相等，所正确弦相等，所正确弦弦弦心距心距相等。相等。在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，OABCABC10/10/18第18页圆心角所正确弧相等，圆心角所正确弧相等，圆心角圆心角所正确弦相等，所正确弦相等，圆心角圆心角所对弦弦心距相等。所对弦弦心距相等。推论推论在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中有两条弦或两条弦弦心距中有一组量相等，那么它们所对应一组量相等，那么它们所对应其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等。题设题设结论结论在同圆或等圆中在同圆或等圆中(前提前提)圆心角相等圆心角相等（条件）（条件）10/10/19第19页1圆心角圆心角1弧弧CDn圆心角圆心角n弧弧把顶点在圆心周角等分成把顶点在圆心周角等分成把顶点在圆心周角等分成把顶点在圆心周角等分成360360360360份时，每一份圆心份时，每一份圆心份时，每一份圆心份时，每一份圆心角是角是角是角是1111角。角。角。角。1111圆心角所正确弧叫做圆心角所正确弧叫做圆心角所正确弧叫做圆心角所正确弧叫做1111弧。弧。弧。弧。圆心角度数和它所正确弧度数相等。普通地，普通地，普通地，普通地，nnnn圆心角对圆心角对圆心角对圆心角对着着着着nnnn弧。弧。弧。弧。10/10/20第20页圆周角圆周角10/10/21第21页圆周角：圆周角：顶点在圆上顶点在圆上，而且，而且两边都和圆相两边都和圆相交交角。角。圆心角圆心角:顶点在圆心顶点在圆心角角.10/10/22第22页一条弧所正确圆周角等于它所正一条弧所正确圆周角等于它所正确圆心角二分之一确圆心角二分之一化化归归化化归归圆周角定理分类讨论分类讨论完全归纳法完全归纳法10/10/23第23页1、已知已知 AOB75，求求：ACB2、已知已知 AOB120，求求：ACB3、已知已知 ACD30，求求：AOB4、已知已知 AOB110，求求：ACB10/10/24第24页推论推论w w定理：一条弧所正确圆周角等于它所正定理：一条弧所正确圆周角等于它所正定理：一条弧所正确圆周角等于它所正定理：一条弧所正确圆周角等于它所正确圆心角二分之一。确圆心角二分之一。确圆心角二分之一。确圆心角二分之一。w w也能够了解为：一条弧所正确圆心角是也能够了解为：一条弧所正确圆心角是也能够了解为：一条弧所正确圆心角是也能够了解为：一条弧所正确圆心角是它所正确圆周角二倍；它所正确圆周角二倍；它所正确圆周角二倍；它所正确圆周角二倍；圆周角度数等于圆周角度数等于圆周角度数等于圆周角度数等于它所正确弧度数二分之一它所正确弧度数二分之一它所正确弧度数二分之一它所正确弧度数二分之一。w w弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？w w什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？什么时候圆周角是直角？反过来呢？w w直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？来呢？来呢？来呢？10/10/25第25页OBADEC如图，比较如图，比较ACBACB、ADBADB、AEBAEB大小大小同弧所对圆周角相等如图，假如弧如图，假如弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE和和FF是什么关系？反过来呢？是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所正确圆周角相等；在同圆中，相等圆周角所正确弧也相等DCEO1BFAO2如图，如图，OO1 1和和OO2 2是等圆，是等圆，假如弧假如弧ABAB弧弧CDCD，那么，那么EE和和FF是什么关系？反过来是什么关系？反过来呢？呢？等圆也成立10/10/26第26页推论推论1 1同弧或等弧所正确圆周角相等；同弧或等弧所正确圆周角相等；同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧相等。同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧相等。思索：思索：1 1、“同圆或等圆同圆或等圆”条件能否去掉？条件能否去掉？2 2、判断正误：在同圆或等圆中，假如两个、判断正误：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应圆周角中有一组量相等，那么它们所对应其余各组量也相等。其余各组量也相等。FED10/10/27第27页推论推论2 2半圆（或直径）所正确圆周角是半圆（或直径）所正确圆周角是9090；9090圆周角所正确弦是直径。圆周角所正确弦是直径。推论推论3 3假如三角形一边上中线等于这条边二假如三角形一边上中线等于这条边二分之一，那么这个三角形是直角三角形。分之一，那么这个三角形是直角三角形。w w什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？什么时候圆周角是直角？反过来呢？反过来呢？反过来呢？反过来呢？w w直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？么性质？反过来呢？10/10/28第28页关于等积式证实关于等积式证实w如图，已知如图，已知ABAB是是OO弦，半径弦，半径OPABOPAB，弦，弦PDPD交交ABAB于于C C，求证：，求证：PAPA2 2PCPDPCPDCDPBAO经验：经验：证实等积式，通常利证实等积式，通常利用相同；用相同；找角相等，要有找同找角相等，要有找同弧或等弧所正确圆周角弧或等弧所正确圆周角意识；意识；10/10/29第29页 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB平分线平分线问题（问题（1）：你能找出图中相等）：你能找出图中相等圆周角和相等线段吗圆周角和相等线段吗?问题（问题（2）：图中有哪些相同三角形？）：图中有哪些相同三角形？问题（问题（3）：若点）：若点C在圆上上运动（不和在圆上上运动（不和A，B重合），重合），在此运动过程中，哪些线段是不变，哪些线段发生在此运动过程中，哪些线段是不变，哪些线段发生了改变？了改变？10/10/30第30页 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB平分线平分线问题（问题（4）：若弦）：若弦AB=,BAD=30,在点在点C运运动过程中动过程中,四边形四边形ADBC最大面积为多少最大面积为多少?此时此时CAD等于多少度等于多少度?10/10/31第31页 如图，弦如图，弦AB和和CD交于点交于点P,且且CD是是ACB平分线平分线问题（问题（5）：若弦）：若弦AB=,BAD=30,在点在点C运运动过程中动过程中,当当CAD等于多少度时等于多少度时,四边形四边形ADBC是梯形是梯形?证实你理由证实你理由10/10/32第32页2 2、如图，在、如图，在ABCABC中，中，AA4040 O是是ABCABC外心，则外心，则 BOC BOC .8080假如假如O为内心，为内心，BOCBOC110110C CA AB BO O1、判断：三点确定一个圆（）、判断：三点确定一个圆（）练习练习10/10/33第33页3.3.如图所表示，矩形如图所表示，矩形ABCDABCD与与OO交于点交于点A A、B B、F F、E E，DEDE1cm,EF=3cm,1cm,EF=3cm,则则ABAB cmcm。4.若AB分圆为15两部分，则劣孤AB所对圆周角为 ()A.30 B.150 C.60 D.120 5A10/10/34第34页6.6.以下以下说说法中，正确是法中，正确是 ()A.A.到到圆圆心距离大于半径点在心距离大于半径点在圆圆内内B.B.圆圆周角等于周角等于圆圆心角二分之一心角二分之一C.C.等弧所正确等弧所正确圆圆心角相等心角相等D.D.三点确定一个三点确定一个圆圆C5 5、如如图图所所表表示示，是是中中国国共共产产主主义义青青年年团团团团旗旗上上图图案案，点点A A、B B、C C、D D、E E五五等等分分圆圆，则则A+B+C+D+EA+B+C+D+E度数是度数是 ()A.180 B.150 A.180 B.150 C.135135 D.120120 A10/10/35第35页7 7、已知、已知O面积为面积为16.16.（1 1）若）若PO2.82.8，则点，则点P P在在O_.（2 2）若）若PO4 4，则点则点P P在在O_.（3 3）若）若PO5.85.8，则点，则点P P在在O_.（1 1）时时，与相切与相切（2 2）时时，与相交与相交（3）时，时，与相离与相离8 8、如图，、如图，RtRtABCABC斜斜边边ABAB，ABAB，B B，以，以为圆为圆心作心作圆圆，半径，半径为为10/10/36第36页例例1 1；(1)(1)如图如图,已知已知ABAB、CDCD是是OO两条弦两条弦,OE,OE、OFOF分别为分别为ABAB、CDCD弦心距弦心距,假如假如AB=CD,AB=CD,则可得出则可得出(最少最少填写两个填写两个)AOB=COD,OE=OFOAEBCFD图1ABCO图2(2)(2)如图如图2,2,在在OO中中,弦弦AB=1.8cm,ACB=30,AB=1.8cm,ACB=30,则则OO直径直径等于等于(3)(3)如图如图3,AB3,AB是半圆是半圆O O直径直径,E,E是是 弧弧CBCB中点中点,OE,OE交弦交弦BCBC于于点点D,D,已知已知BC=8cm,DE=2cm.BC=8cm,DE=2cm.则则ADAD长为长为 cm cmAOBECD图33.6cm10/10/37第37页例题讲解w例例2 2、如如图图，已已知知在在OO中中，弦弦ABAB长长为为8 8厘厘米米，圆圆心心O O到到ABAB距距离离为为3 3厘厘米米，求求OO半径。半径。C10/10/38第38页例题讲解w例例3 3、如图，在、如图，在OO中，中，AC=BDAC=BD，w(1)(1)图中有哪些相等关系？图中有哪些相等关系？w(2)(2)假如假如1=451=45，求，求22度数度数。w(3)(3)假如假如ADAD是是OO直径，直径，1=451=45求求BDABDA度数度数10/10/39第39页例例4:4:如图如图,AC,AC是是OO直径直径,弦弦BDBD交交ACAC于点于点E.E.ABDCEO(1)(1)ADEADEBCEBCE吗？吗？(2)(2)说明理由说明理由;(2)(2)若若CD=OC,CD=OC,求求sinBsinB值值.解解:ADEADEBCEBCE A=B,D=C A=B,D=C ADE ADEBCEBCE(1)(1)(2(2)若若CD=OC,CD=OC,则则AC=2DC,AC=2DC,又又 AC AC是是OO直径直径ADC=90ADC=9010/10/40第40页【例【例5 5】如图，】如图，A A是半径为是半径为5O5O内一点，且内一点，且OA=3OA=3，过点，过点A A且长小于且长小于8 8弦有弦有 ()()A.0 A.0条条 B.1 B.1条条 C.2 C.2条条 D.4 D.4条条 A【解析】这题是考查垂径定理几何题，先求出垂直于【解析】这题是考查垂径定理几何题，先求出垂直于OAOA弦长弦长BC=2 =8BC=2 =8即过即过A A点最短弦长为点最短弦长为8 8，故没有弦，故没有弦长长小于小于8 8弦，弦，选选(A)(A)经典例题解析经典例题解析10/10/41第41页经典例题解析经典例题解析【例例6 6】在在直直径径为为400mm400mm圆圆柱柱形形油油槽槽内内，装装入入一一部部分分油油，油面宽油面宽320mm320mm，求油深度，求油深度.【解析】本题是以垂径定理为考查点几何应用题，没【解析】本题是以垂径定理为考查点几何应用题，没有给出图形，直径长是已知，油面宽可了解为截面圆有给出图形，直径长是已知，油面宽可了解为截面圆弦长，也是已知，但因为圆对称性，弦位置有弦长，也是已知，但因为圆对称性，弦位置有两种不一样情况，如图两种不一样情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)10/10/42第42页【例例7 7】如如图图，O O是是CAECAE平平分分线线上上一一点点，以以点点O O为为圆圆心心圆圆和和CAECAE两两边边分分别别交交于于点点B B、C C和和D D、E E，连连结结BDBD、CE.CE.求证：求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.经典例题解析经典例题解析10/10/43第43页【解析】【解析】(1)(1)要要证证弧相等，即要弧相等，即要证证弦相等或弦心距离相等，弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE平分平分线线，联联想到角平分想到角平分线线性性质质，故故过过O O分分别别作作OGACOGAC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理知：由垂径定理知：BC=DEBC=DE，G G、H H分分别别是是BCBC、DEDE中点中点.再由再由AOGAOHAOGAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再依据，再依据圆圆内接四内接四边边形形性性质质定理知定理知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.10/10/44第44页课时训练课时训练1.1.如图，设如图，设OO半径为半径为r r，弦，弦ABAB长为长为a a，弦心距，弦心距OD=dOD=d且且OCABOCAB于于D D，弓形高，弓形高CDCD为为h h，下面说法或等式：，下面说法或等式：r=d+hr=d+h4r4r2 2=4d=4d2 2+a+a2 2已知：已知：r r、a a、d d、h h中任两个可求其它两个，中任两个可求其它两个，其中正确结论序号是其中正确结论序号是()()A.B.A.B.C.D.C.D.C10/10/45第45页2.2.以下命题中，正确是（多项选择题）以下命题中，正确是（多项选择题）()A.A.一个点到圆心距离大于这个圆半径，这个点在一个点到圆心距离大于这个圆半径，这个点在 圆外圆外 B.B.一条直线垂直于圆半径，这条直线一定是圆切线一条直线垂直于圆半径，这条直线一定是圆切线C.C.两圆圆心距等于它们半径之和，这两个圆有三条两圆圆心距等于它们半径之和，这两个圆有三条 公切线公切线 D.D.圆心到一条直线距离小于这个圆半径，这条直线圆心到一条直线距离小于这个圆半径，这条直线 与圆有两个交点与圆有两个交点A、C、D10/10/46第46页3.3.如图所表示，已知如图所表示，已知RtRtABCABC中，中，C=90,AC=C=90,AC=,BC=1,BC=1,若以若以C C为圆心，为圆心，CBCB为半径圆交为半径圆交ABAB于于P P，则，则APAP 。10/10/47第47页4.4.如图所表示，弦如图所表示，弦ABAB长等于长等于OO半径，点半径，点C C在在AmBAmB上上,则则C=C=。3010/10/48第48页5.5.半半径径为为1 1圆圆中中有有一一条条弦弦，假假如如它它长长为为 ，那那么么这这条条弦所正确弦所正确圆圆周角周角为为 ()A.60 B.120 A.60 B.120 C.45 D.60 C.45 D.60或或120120D6.(江苏苏州市)如图，四边形ABCD内接于O，若它一个外角DCE=70，则BOD=()A35 B.70 C110 D.140 D10/10/49第49页 例例1(1)O半径为半径为2,点点P是是 O外一点外一点,OP长为长为3,那么以那么以P为圆心为圆心,且与且与 O相切圆半径一定是相切圆半径一定是()A.1或或5B.1C.5D.1或或4(2)若半径分别为若半径分别为2与与6两个圆有公共点两个圆有公共点,则圆心距则圆心距d取值范围是取值范围是()A.d8B.d8C.4d8D.4d8A D10/10/50第50页例例2:(1)已知已知,如图如图,矩形矩形ABCD长长AB=4,宽宽AD=3,按如图放置在直线上按如图放置在直线上,然后不滑动地转动然后不滑动地转动,当它转动当它转动一周时一周时(AA),顶点顶点A经过路线长等于经过路线长等于(2)若若 O直径直径AB=2,弦弦AC=,弦弦AD=,则有则有为为ABCDD10/10/51第51页例例3:如图如图1,在正方形铁皮上剪下一块圆形和扇形，在正方形铁皮上剪下一块圆形和扇形，使之恰好围成如图使之恰好围成如图2所表示一个圆锥模型。设圆所表示一个圆锥模型。设圆半径为半径为r，扇形半径为，扇形半径为R，则圆半径与扇形半径，则圆半径与扇形半径之间关系为（之间关系为（）图1图2A.R=2rB.CR=3rDR=4rD10/10/52第52页BAOCD123BODA例例4:如图如图,AB是是 O直径直径,AC是弦，直线是弦，直线CD切切 O于点于点C，ADCD，垂足为，垂足为D。（1）说明：）说明：理由。理由。（2）把直线）把直线CD向上平移，使向上平移，使弦与直径弦与直径AB相交（交点不与相交（交点不与AB重合），其它条件不变。重合），其它条件不变。请你试着写出与（请你试着写出与（1）对应结论，）对应结论，判断你结论是否成立？请说明判断你结论是否成立？请说明理由。理由。10/10/53第53页5.(5.(多多项项选选择择题题)如如图图，以以O O为为圆圆心心两两个个同同心心圆圆半半径径分分别别为为11cm11cm和和9cm9cm，若若PP与与这这两两个个圆圆都都相相切切，则则以以下下说说法法中中正确是正确是()A.A.PP半径能够是半径能够是2cm2cm B.B.P半径能够是半径能够是10cm C.C.符合条件符合条件PP有没有数个且有没有数个且P P点运动路线是曲线点运动路线是曲线 D.D.符合条件符合条件PP有没有数个且有没有数个且P P点运点运动动路路线线是直是直线线 B、C10/10/54第54页