拉格朗日方程省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第第2章章 拉格朗日方程拉格朗日方程内容内容:基本概念基本概念 理想完整系拉格朗日方程理想完整系拉格朗日方程 对称性和守恒定律对称性和守恒定律重点重点:完整保守系拉格朗日方程完整保守系拉格朗日方程难点难点:拉格朗日方程推导拉格朗日方程推导第1页第2页 牛顿力学理论几乎都以力牛顿力学理论几乎都以力 为为基基础础，所以它，所以它应应用只局限于用只局限于纯纯力学力学问题问题范范围围，运算也比，运算也比较烦琐较烦琐。18世世纪纪伯努利、达朗伯努利、达朗贝贝尔尔、欧拉等人、欧拉等人发发展了展了经经典力学分析形式。典力学分析形式。1788年拉格朗日年拉格朗日发发表了名著表了名著分析力学分析力学，建立了，建立了经经典力学拉格朗日形式，用体系典力学拉格朗日形式，用体系动动能和能和势势能取代了牛能取代了牛顿顿形式加速度和力，将力学研究和形式加速度和力，将力学研究和应应用范用范围围开拓到整个物理学。开拓到整个物理学。2.1 分析力学基本概念分析力学基本概念2.1.1 约束、自由度约束、自由度（1）约束）约束 限制体系各质点自由运动条件称为约束。约束数学表示称为约束方限制体系各质点自由运动条件称为约束。约束数学表示称为约束方程。比如一质点限制在程。比如一质点限制在xy平面上运动，其约束方程为：平面上运动，其约束方程为：Z=0。假如约束只是限制质点几何位置，称为几何约束或完整约束，约束方程为假如约束只是限制质点几何位置，称为几何约束或完整约束，约束方程为 （2.1）第3页 假如假如约约束除了限制束除了限制质质点位置外，点位置外，还还要限制要限制质质点运点运动动速度速度则则称称为为运动运动约束或微分约束约束或微分约束，约约束方程束方程为为 （2.2）微分约束经过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为微分约束经过积分可变为几何约束，不能积分即不能变为几何约束时称为非完整约束。非完整约束。（2）自由度）自由度 能完全描述体系运动所需要可独立改变坐标参量数目，称为体系自由度。能完全描述体系运动所需要可独立改变坐标参量数目，称为体系自由度。比如一质点在空间运动时其位置需要三个独立坐标参量表示，自由度为比如一质点在空间运动时其位置需要三个独立坐标参量表示，自由度为3；约束（限制）在一平面上运动时，自由度为；约束（限制）在一平面上运动时，自由度为2；约束在一直线上运动时；约束在一直线上运动时自由度为自由度为1。一个由一个由n个质点组成力学体系受个质点组成力学体系受k个完整约束时，其约束方程为个完整约束时，其约束方程为；j=1，2，k，（2.3）第4页2.1.2 位移理想约束位移理想约束（1 1）虚位移和实位移）虚位移和实位移自由度为自由度为 S=3n-k （2.4）图图2.12.1P P 想象在某想象在某时时刻刻t t，质质点点发发生一个生一个约约束束所所许许可无限小位移，可无限小位移，这这一位移不是一位移不是质质点点实际实际运运动产动产生，而是想象可能生，而是想象可能发发生生无限小位移称无限小位移称为为虚位移，用虚位移，用表示。表示。运运动时动时，在，在dt时间时间内内实际发实际发生位置生位置变变更称更称为实为实位移用位移用表示。表示。质点按规律质点按规律第5页 （2）理想约束）理想约束 设质设质点点i受到受到约约束力束力为为，力，力在虚位移在虚位移过过程中做虚功程中做虚功为为，若整个体系虚功，若整个体系虚功(2.5)则则体体系系所所受受约约束束称称为为理理想想约约束束。比比如如光光滑滑曲曲面面、光光滑滑曲曲线线、光光滑滑铰铰链链、不不可可伸长杆或绳等都是理想约束。伸长杆或绳等都是理想约束。（3 3）广义坐标）广义坐标 建建立立一一个个力力学学体体系系动动力力学学方方程程所所需需要要独独立立坐坐标标称称为为广广义义坐坐标标，广广义义坐坐标标确定了，体系在空间位形（体系位置状态）就确定了。确定了，体系在空间位形（体系位置状态）就确定了。广广义义坐坐标标能能够够是是坐坐标标变变量量，也也可可能能是是是是角角动动量量或或其其它它独独立立变变量量，凡凡能能用用来表述体系位形、运动和动力学状态独立参量都可作为广义坐标。来表述体系位形、运动和动力学状态独立参量都可作为广义坐标。广广义义坐坐标标条条件件是是：相相互互独独立立；满满足足约约束束方方程程；唯唯一一确确定定体体系系位位形形式式动动力力学学状态。状态。第6页用用广广义义坐坐标标表表出出动动力力学学方方程程称称为为拉拉格格朗朗日日方方程程，能能够够直直接接由由牛牛顿顿第第二二定定律律导导出。出。图图2.22.2O O （1）达朗贝尔方程）达朗贝尔方程 设设受受约约束束质质点点系系中中质质点点i i所所受受主主动动力力和和约约束束力力分分别别为为 和和 ，位位矢矢为为 ，由由牛顿牛顿 第二定律有第二定律有给质点给质点i以虚位移以虚位移 ，得，得对整个质点系对整个质点系 第7页（2.6）上式称为上式称为达朗贝尔（达朗贝尔（dAlembert）方程）方程，是理想约束体系动力学普遍方程。是理想约束体系动力学普遍方程。思索：达朗贝尔方程优点和不足之处是什么？思索：达朗贝尔方程优点和不足之处是什么？（2）拉格朗日方程）拉格朗日方程 消消去去达达朗朗贝贝尔尔方方程程中中虚虚位位移移 ，并并用用广广义义坐坐标标表表出出体体系系动动力力学学方方程程即即是拉格朗日方程。是拉格朗日方程。求虚位移求虚位移 是是位位矢矢 变变分分，运运算算规规则则是是：算算符符作作用用在在空空间间坐坐标标 上上时时与与微微分分算算符符d运算规则一样，作用在时间运算规则一样，作用在时间t上则为零，即上则为零，即t=0t=0。设设体体系系由由n个个质质点点组组成成，受受k个个理理想想完完整整约约束束，其其自自由由度度为为s=3n-k，即即需要需要s个独立坐标即广义坐标，用表示个独立坐标即广义坐标，用表示 K K，则则sqqq,21在理想约束条件下，有在理想约束条件下，有第8页 （2.7）将（将（2.8）式代入（）式代入（2.6）式：）式：因因是独立，所以是独立，所以 （2.9）第9页 第二项第二项（2.10）为广义力为广义力 （2.11）（2.12）体系动能体系动能 （2.13）第10页 （2.14）将（将（2.13）式、（）式、（2.14）式代入（）式代入（2.11）式：）式：（2.15）将（将（2.10）、（）、（2.15）式代入（）式代入（9）式，得）式，得 （2.16）上式为理想完整系拉格朗日方程。其中：上式为理想完整系拉格朗日方程。其中：主主动动力广力广义义力，能力，能够够是力、力是力、力 矩或其矩或其 他力学量（不包含他力学量（不包含约约束反力）束反力）体系相体系相对惯对惯性系性系动动能能 第11页广广义动义动量，可量，可为线动为线动量、角量、角动动量或其它物理量量或其它物理量 （3）保守体系拉格朗日方程）保守体系拉格朗日方程 假如主假如主动动力都是保守力，即力都是保守力，即，则为则为广广义义力力 将上式代入（将上式代入（2.16）式，得）式，得 （2.17）想一想：（想一想：（2.17）式成立、适用条件是什么？）式成立、适用条件是什么？上式为保守体系拉格朗日方程，惯用一个拉格朗日方程。式中：上式为保守体系拉格朗日方程，惯用一个拉格朗日方程。式中：（2.18）为拉格朗日函数，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质特征函数。为拉格朗日函数，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质特征函数。第12页 （4）对拉格朗日方程评价）对拉格朗日方程评价 拉氏方程特点（优点）：拉氏方程特点（优点）：是一个二阶微分方程组，方程个数与体系自由度相同。形式简练、结是一个二阶微分方程组，方程个数与体系自由度相同。形式简练、结构紧凑。而且不论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。构紧凑。而且不论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。方程中不出现约束反力，因而在建立体系方程时，只需分析已知主动方程中不出现约束反力，因而在建立体系方程时，只需分析已知主动力，无须考虑未知约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方力，无须考虑未知约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。程个数也越少，问题也就越简单。拉氏方程是从能量角度来描述动力学规律，能量是整个物理学基本物拉氏方程是从能量角度来描述动力学规律，能量是整个物理学基本物理量而且是标量，所以拉氏方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了理量而且是标量，所以拉氏方程为把力学规律推广到其它物理学领域开辟了可能性，成为力学与其它物理学分支相联络桥梁。可能性，成为力学与其它物理学分支相联络桥梁。拉氏方程价值拉氏方程价值 拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一规律，描述拉氏方程在理论上、方法上、形式上和应用上用高度统一规律，描述了力学系统动力学规律，为处理体系动力学问题提供了统一程序化方法，不了力学系统动力学规律，为处理体系动力学问题提供了统一程序化方法，不但在力学范围有主要理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必但在力学范围有主要理论意义和实用价值，而且为研究近代物理学提供了必要物理思想和数学技巧。要物理思想和数学技巧。第13页 2.3 拉格朗日方程应用拉格朗日方程应用 解：（解：（1）求运动规律）求运动规律 体系自由度为体系自由度为1，以，以r为广义坐标，拉格朗日函数为为广义坐标，拉格朗日函数为 （1 1）代入拉氏方程得代入拉氏方程得 （2）例例1 转动杆上质点运动转动杆上质点运动 如图如图2.3所表示，一光滑杆在竖直平面所表示，一光滑杆在竖直平面OYZ内以角速度内以角速度绕水平轴绕水平轴ox转动转动,一质点约束在杆上运动一质点约束在杆上运动,t=0时时,求质点运动规律和杆约束反求质点运动规律和杆约束反力力。第14页上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设上式为二阶线性常系数非齐次微分方程。设 （3）是（是（2）式一个特解，将（）式一个特解，将（3）式对）式对t求二次导数，得求二次导数，得（4）则（则（2）式解为）式解为 （6）依据初始条件：依据初始条件：t=0时时，可得可得将（将（3）、（）、（4）式代入（）式代入（2）式解得）式解得 （5），所以（，所以（2）式一个）式一个特解为特解为第15页代入（代入（6）式，得质点运动规律）式，得质点运动规律 （7）（2）求约束反力）求约束反力 由牛顿第二定律，有由牛顿第二定律，有 由（由（7）式，有）式，有 （9）（9）式代入（）式代入（8）式得约束反力）式得约束反力 将将代入上式，得代入上式，得 （8）第16页 例例2 平面上约束质点运动平面上约束质点运动 教材教材P.45 例例4 解：（解：（1）求体系质点）求体系质点L函数，运动方程及其解函数，运动方程及其解 质点自由度为质点自由度为1，选取图中，选取图中角为广义坐标，则角为广义坐标，则拉格朗日函数为拉格朗日函数为 （1）将将和和代入拉氏方程得代入拉氏方程得质质点运点运动动微分方微分方 程为程为 第17页 （2）积分得积分得 （3）再积分得质点运动规律为再积分得质点运动规律为 （4）（2）质点碰到柱体位置和时间）质点碰到柱体位置和时间当当时时小球与柱体相碰小球与柱体相碰由（由（3）式有）式有第18页积积分分 得得 （5）（2.18）应用拉格朗日方程不但能够解体系动力学（运动）问题，也能够求解应用拉格朗日方程不但能够解体系动力学（运动）问题，也能够求解体系静力学（平衡）问题。体系静力学（平衡）问题。体系处于平衡时，动能恒为零，此时拉氏方程变为体系处于平衡时，动能恒为零，此时拉氏方程变为若主动力均为保守力，则若主动力均为保守力，则（2.19）（2.18）和（）和（2.19）式即是体系拉格朗日平衡方程。）式即是体系拉格朗日平衡方程。第19页 例例3 求体系平衡位置求体系平衡位置 教材：教材：P.46 例例1 解：解：体系自由度：体系自由度：2，广义坐标：，广义坐标：第20页 所以所以 例例4 求体系平衡时所受力求体系平衡时所受力 教材教材:P.48 例例3 解解:本题要求是体系平衡时杆本题要求是体系平衡时杆AO和和 BO所受约束力所受约束力.因为拉氏方程不出现约束因为拉氏方程不出现约束力，故不能直接应用拉氏方程求约束力。但假如力，故不能直接应用拉氏方程求约束力。但假如去掉约束条件，增加一个自由度，把对应约束去掉约束条件，增加一个自由度，把对应约束力看成主动力，则仍可应用拉氏方程求解约束力。力看成主动力，则仍可应用拉氏方程求解约束力。第21页 如图如图2.6所表示所表示,体系自由度为体系自由度为1,广义坐标为广义坐标为,广义力广义力 例例5 带电粒子在电磁场中拉氏函数带电粒子在电磁场中拉氏函数(教材教材*2.5)和和 均匀磁均匀磁场场 教材教材:P.51 例例.求求质质量量为为m,电电荷荷为为q粒子在均匀粒子在均匀电场电场中运中运动时动时拉格朗日函数拉格朗日函数.解：（解：（1）带电粒子在电磁场中拉氏函数普通式）带电粒子在电磁场中拉氏函数普通式不能表示不能表示为为 假如体系所受力不是普通意假如体系所受力不是普通意义义下保守力，广下保守力，广义义力力形式，而可表形式，而可表为为第22页 （1）形式，式中函数形式，式中函数（2）所以，仍可得到保守系拉氏方程所以，仍可得到保守系拉氏方程（4）依据电磁理论能够导出带电粒子在电磁场中广义势和拉氏函数分别为依据电磁理论能够导出带电粒子在电磁场中广义势和拉氏函数分别为（5）（6）其中其中为电为电磁磁场场矢矢势势，为电为电磁磁场标势场标势。称为广义势，体系拉格朗日函数为称为广义势，体系拉格朗日函数为 L=T-U（3）第23页 （2）本例中对应矢势和标势为）本例中对应矢势和标势为 拉氏函数拉氏函数（7）（8）第24页（7）、（）、（8）、（）、（9）式即为粒子运动微分方程。）式即为粒子运动微分方程。（9）第25页 2.4 对称性和守恒定律对称性和守恒定律 2.4.1 运动积分运动积分 拉格朗日方程是拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组，在一些特殊条件下方程部分个二阶常微分方程组，在一些特殊条件下方程部分第一积分（运动积分）很轻易求得。第一积分（运动积分）很轻易求得。于是得到一个运动积分于是得到一个运动积分（2.20）称为广义动量，上式表明体系广义动量守恒。若为为普通直角坐普通直角坐标标，为为普通普通动动量；量；为为角坐角坐标时标时，为为角角动动量。量。（1）广义动量积分）广义动量积分 假如拉格朗日函数假如拉格朗日函数L中不出中不出现现某一广某一广义义坐坐标标，则则拉格朗日方程拉格朗日方程变为变为 （称为循环坐标或（称为循环坐标或可遗坐标），这时可遗坐标），这时第26页（2）广义能量积分）广义能量积分 假如拉格朗日函数假如拉格朗日函数L中不中不显显含含时间时间t：，这时这时，则则 或或从而得到另一个运动积分从而得到另一个运动积分（2.21）体系动能体系动能第27页 其中其中第28页所以所以 （2.22）H称为广义能量。称为广义能量。对对于于稳稳定定约约束，束，则则H=2T-（T-V）=T-V=常数常数（2.23）上式表明：上式表明：L不显含时间t且约束是稳定（总能量不变能量守恒定律。不显时间时间t）情况下，体系第29页 2.4.2 对称性与守恒量关系对称性与守恒量关系 运动积分有二类，一类含有可加性，另一类不含有可加性。含有可加运动积分有二类，一类含有可加性，另一类不含有可加性。含有可加性运动积分称为守恒量。性运动积分称为守恒量。含有可加性运动积分不变性和时空基本性质含有可加性运动积分不变性和时空基本性质时空对称性（即时空时空对称性（即时空均匀性和各向同性）相联络。均匀性和各向同性）相联络。（2.24）（2.25）反应体系力学性质拉氏函数不改变，即反应体系力学性质拉氏函数不改变，即 （2.26）空间均匀性和各向同性意味着坐标轴原点和方向可任意选取而不会改变体系动力学性质，也就是说，当空间有一任意无限小时：无限小转动或任意第30页（2.27）因为坐标轴原点和方向任意选取不引发时间改变（因为坐标轴原点和方向任意选取不引发时间改变（t=0），所以），所以由由 ，有，有（2.28）（2.28）式代入（）式代入（2.27）式：）式：（2.29）第31页 （1）空间均匀性造成动量守恒）空间均匀性造成动量守恒 空间均匀性，意味着坐标能够任意平移，坐标平移时，体系中全部质点位移相同，相同，所以 （2）空间各向同性造成角动量守恒）空间各向同性造成角动量守恒 空间各向同性，意味着坐标轴方向能够任意转动。如图2.7所表示，因为坐标转动而引发质点位移为则则L函数改变函数改变第32页可见可见 （3）时间均匀性造成能量守恒）时间均匀性造成能量守恒约约束束稳稳定定时时（不不显显含含时间时间t），），H为为体系能量，上式体系能量，上式为为能量守恒定能量守恒定律。律。约约束不束不稳稳定定时时，时间时间平移平移时时，约约束条件改束条件改变变，时间时间均匀性被破坏，均匀性被破坏，H不不守恒。守恒。时间时间均匀意味着均匀意味着时间时间原点（原点（t=0时时刻）能刻）能够够任意任意选选取。取。时间时间平移不引平移不引发发L函数改函数改变变，意味着，意味着L不不显显含含时间时间，即，即 （前面已证实）：（前面已证实）：。这时广义能量守恒。这时广义能量守恒第33页 2.5 解题指导解题指导拉格朗日方程是处理力学体系尤其是约束体系动力学问题主要理论和有效工拉格朗日方程是处理力学体系尤其是约束体系动力学问题主要理论和有效工具之一，通常是应用拉氏方程建立体系动力学方程。具之一，通常是应用拉氏方程建立体系动力学方程。（1）用拉氏方程解题步骤）用拉氏方程解题步骤 分析体系约束类型和主动力性质，判定是否符合分析体系约束类型和主动力性质，判定是否符合L方程条件；方程条件；判定体系自由度，选取适当广义坐标；判定体系自由度，选取适当广义坐标；写出体系写出体系动动能能T T，势势能能V V和拉氏函数和拉氏函数L L，并将，并将L L表成表成和和t t函数：函数：；将将L代入拉氏方程，得出体系运动微分方程；代入拉氏方程，得出体系运动微分方程；解方程并讨论。解方程并讨论。第34页 在半径为在半径为R光滑圆环上穿有一质量为光滑圆环上穿有一质量为m小球，圆环以恒定角速度小球，圆环以恒定角速度绕竖绕竖直直径转动。求小球运动微分方程。直直径转动。求小球运动微分方程。（2）范例）范例 例例1 质点在旋转圆环上运动质点在旋转圆环上运动 解：小球在随圆环转动坐标系中自由度为解：小球在随圆环转动坐标系中自由度为1，以，以为广义坐标，其动为广义坐标，其动能和势能为能和势能为 L函数函数第35页代入代入L方程，得运动微分方程为方程，得运动微分方程为 例例2 移动摆杆移动摆杆 如图如图2.9所表示，均质杆所表示，均质杆AB长为长为b，质量为，质量为m，光滑斜面倾角为，光滑斜面倾角为，滚轮，滚轮A质量忽略不计。试用拉氏方程建立系统运动微分方程。质量忽略不计。试用拉氏方程建立系统运动微分方程。解：自由度解：自由度=？怎样选取广义坐标？怎样选取广义坐标？第36页动能动能势能（势能（O为零势能位置）为零势能位置）L函数函数代入拉氏方程，得代入拉氏方程，得 第37页 例例3 约束单摆运动约束单摆运动 如图如图2.10所表示，摆长为所表示，摆长为l质量为质量为m1单摆可在竖直平面内摆动。另一质单摆可在竖直平面内摆动。另一质量为量为m2小球置于半径为小球置于半径为R半圆形底座上，并套半圆形底座上，并套在单摆在单摆OA杆上，可沿杆上，可沿OA自由滑动。假设自由滑动。假设m1和和m2可视为质点，可视为质点，OA杆质量及一切摩擦忽略不计。杆质量及一切摩擦忽略不计。求单摆运动微分方程及微振动周期。求单摆运动微分方程及微振动周期。解：体系自由度、为广义坐标、约束方程为何？解：体系自由度、为广义坐标、约束方程为何？如图，有如图，有 第38页 代入拉氏方程，得代入拉氏方程，得微振微振动时动时，上式，上式简简化化为为或或第39页上式即所求体系微振动微分方程，式中上式即所求体系微振动微分方程，式中 为圆频率，微振动周期为为圆频率，微振动周期为 第40页