固体物理4省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

固体物理 4材料科学与工程学院第1页第四章第四章能带理论能带理论 研究固体中电子运动主要理论基础研究固体中电子运动主要理论基础定性地说明了晶体中电子运动普遍性特点定性地说明了晶体中电子运动普遍性特点晶体中电子平均自由程为何远大于原子间距晶体中电子平均自由程为何远大于原子间距能带论提供了分析半导体理论问题基础，推进了半导体能带论提供了分析半导体理论问题基础，推进了半导体技术发展技术发展伴随计算机技术发展，能带理论研究从定性普遍性规律伴随计算机技术发展，能带理论研究从定性普遍性规律发展到对详细材料复杂能带结构计算发展到对详细材料复杂能带结构计算 说明了导体、非导体区分说明了导体、非导体区分第2页能能带带理理论论是是单单电电子子近近似似理理论论把把每每个个电电子子运运动动看看成成是是独独立在一个等效势场中运动立在一个等效势场中运动单电子近似单电子近似最早用于研究多电子原子最早用于研究多电子原子_哈特里福克哈特里福克自洽场方法自洽场方法能能带带理理论论出出发发点点固固体体中中电电子子不不再再束束缚缚于于个个别别原原子子，而而是在整个固体内运动是在整个固体内运动_共有化电子共有化电子共共有有化化电电子子运运动动状状态态假假定定原原子子实实处处于于其其平平衡衡位位置置，把把原子实偏离平衡位置影响看成微扰原子实偏离平衡位置影响看成微扰理想晶体理想晶体晶格含有周期性，等效势场晶格含有周期性，等效势场V(r)含有周期性含有周期性第3页晶体中电子在晶格周期性等效势场中运动晶体中电子在晶格周期性等效势场中运动波动方程波动方程晶格周期性势场晶格周期性势场第4页4.1布洛赫定理布洛赫定理方程解含有以下性质方程解含有以下性质布洛赫定理布洛赫定理为一矢量为一矢量当平移晶格矢量当平移晶格矢量波函数只增加了位相因子波函数只增加了位相因子布布洛洛赫赫定定理理势势场场含含有有晶晶格格周周期期性性时时，电电子子波波函函数满足薛定谔方程数满足薛定谔方程第7页晶格周期性函数晶格周期性函数依据布洛赫定理依据布洛赫定理电子波函数电子波函数布洛赫函数布洛赫函数布洛赫定理证实布洛赫定理证实引入平移算符，证实平移算符与哈密顿算符对易，二者引入平移算符，证实平移算符与哈密顿算符对易，二者含有相同本征函数含有相同本征函数利用周期性边界条件确定平移算符本征值，最终给出利用周期性边界条件确定平移算符本征值，最终给出电子波函数形式电子波函数形式 第8页势场周期性反应了晶格平移对称性势场周期性反应了晶格平移对称性晶格平移任意矢量晶格平移任意矢量势场不变势场不变在晶体中引入描述这些在晶体中引入描述这些平移对称操作算符平移对称操作算符平移任意晶格矢量平移任意晶格矢量对应平移算符对应平移算符第9页作用于任意函数作用于任意函数平移算符作用于周期性势场平移算符作用于周期性势场平移算符平移算符性质（定义）性质（定义）各平移算符之间对易各平移算符之间对易对于任意函数对于任意函数第10页平移算符和哈密顿量对易平移算符和哈密顿量对易对于任意函数对于任意函数和和微分结果一样微分结果一样第11页平移算符平移算符本征值本征值三个方向三个方向上原胞数目上原胞数目引入周期性边界条件引入周期性边界条件总原胞数总原胞数T和和H存在对易关系，选取存在对易关系，选取H本征函数，使它同时本征函数，使它同时成为各平移算符本征函数成为各平移算符本征函数第12页对于对于对于对于对于对于整数整数第13页引入矢量引入矢量倒格子基矢倒格子基矢满足满足平移算符本征值平移算符本征值将将作用于电子波函数作用于电子波函数第14页布洛赫定理布洛赫定理电子波函数电子波函数满足布洛赫定理满足布洛赫定理晶格周期性函数晶格周期性函数布洛赫函数布洛赫函数第15页平移算符本征值物理意义平移算符本征值物理意义 1）原胞之间电子波原胞之间电子波函数位相改变函数位相改变2）平移算符本征值量子数）平移算符本征值量子数简约波矢，不一样简约波矢，原胞之间位相差不一样简约波矢，不一样简约波矢，原胞之间位相差不一样3）简约波矢改变一个倒格子矢量）简约波矢改变一个倒格子矢量平移算符本征值平移算符本征值第16页为为了了使使简简约约波波矢矢取取值值和和平平移移算算符符本本征征值值一一一一对对应应，将将简简约波矢取值限制第一布里渊区约波矢取值限制第一布里渊区简约波矢简约波矢简约波矢取值简约波矢取值第一布里渊区体积第一布里渊区体积第17页简约波矢简约波矢在在空间中第一布里渊区均匀分布点空间中第一布里渊区均匀分布点每个代表点体积每个代表点体积状态密度状态密度简约布里渊区波矢数目简约布里渊区波矢数目第18页4.2一维周期场中电子运动近自由电子近似一维周期场中电子运动近自由电子近似 1.模型和微扰计算模型和微扰计算 近自由电子近似模型近自由电子近似模型金属中电子受到原子金属中电子受到原子实周期性势场作用实周期性势场作用假定势场起伏较小假定势场起伏较小零级近似零级近似用势场平均用势场平均值代替原子实产生势场值代替原子实产生势场周期性势场起伏量作为微扰来处理周期性势场起伏量作为微扰来处理第19页1）零级近似下电子能量和波函数）零级近似下电子能量和波函数 空格子中电子能量和波函数空格子中电子能量和波函数一维一维N个原子组成金属，金属线度个原子组成金属，金属线度零级近似下零级近似下薛定谔方程薛定谔方程波函数和能量本征值波函数和能量本征值第20页波函数满足波函数满足正交归一化正交归一化l 为整数为整数2）微扰下电子能量本征值）微扰下电子能量本征值 哈密顿量哈密顿量满足周期满足周期边界条件边界条件第21页依据微扰理论，电子能量本征值依据微扰理论，电子能量本征值一级能量修正一级能量修正第22页二级能量修正二级能量修正按原胞划分写成按原胞划分写成引入积分变量引入积分变量 第23页利用势场函数周期性利用势场函数周期性i)ii)第24页将将和和代入代入 周周期期场场V(x)第第n个傅里叶系数个傅里叶系数第25页二级能量修正式二级能量修正式第26页计入微扰后电子能量计入微扰后电子能量 第27页3）微扰下电子波函数）微扰下电子波函数电子波函数电子波函数波函数一级修正波函数一级修正第28页计入微扰电子波函数计入微扰电子波函数第29页令令能够证实能够证实电子波函数电子波函数含有布洛赫函数形式含有布洛赫函数形式第30页 电子波函数意义电子波函数意义i)电子波函数和散射波电子波函数和散射波波矢为波矢为k前前进平面波进平面波平面波受到周期性势平面波受到周期性势场作用产生散射波场作用产生散射波散射波波矢散射波波矢相关散射波成份振幅相关散射波成份振幅第31页波函数一级修正项波函数一级修正项散射波成份振幅散射波成份振幅微扰法不再适用了微扰法不再适用了入射波波矢入射波波矢第33页ii)电子波函数和不一样态之间相互作用电子波函数和不一样态之间相互作用掺入与它有微扰矩阵元其它零级波函数掺入与它有微扰矩阵元其它零级波函数在原来零级波函数在原来零级波函数中中它们能量差越小它们能量差越小掺入部分就越大掺入部分就越大第34页当当时时两个状态含有相同能量两个状态含有相同能量造成了造成了波函数发散波函数发散第35页电子能量意义电子能量意义二级能量修正二级能量修正当当电子能量是发散电子能量是发散k和和k两个状态含有相同能量，两个状态含有相同能量，k和和k态是简并态是简并第36页4）电子波矢在）电子波矢在附近能量和波函数附近能量和波函数简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合组成简并微扰问题中，波函数由简并波函数线性组合组成状态状态 是一个小量是一个小量周期性势场中，对其有主要影响状态周期性势场中，对其有主要影响状态只考虑影响最大状态，忽略其它状态影响只考虑影响最大状态，忽略其它状态影响第37页状态状态对状态对状态影响影响第38页简并波函数简并波函数薛定谔方程薛定谔方程考虑到考虑到得到得到第39页分别以分别以或或从左边乘方程，对从左边乘方程，对x 积分积分利用利用线性代数方程线性代数方程a,b有非零解有非零解能量本征值能量本征值第40页i)波矢波矢k离离较远，较远，k状态能量和状态状态能量和状态k差异较大差异较大将将按按泰勒级数展开泰勒级数展开第41页第42页k和和k能级相互作用结果是原来能级相互作用结果是原来能级较高能级较高k提升提升原来能级较低原来能级较低k下压下压量子力学中微扰作用下，两个相互影响能级，总是量子力学中微扰作用下，两个相互影响能级，总是原来较高能量提升了原来较高能量提升了，原来较低能量降低了原来较低能量降低了能级间能级间“排斥作用排斥作用”第43页ii)波矢波矢k非常靠近非常靠近，k状态能量和状态能量和k能量差异很小能量差异很小将将按按泰勒级数展开泰勒级数展开第44页第45页结果分析结果分析i)两两个个相相互互影影响响状状态态k和和k微微扰扰后后，能能量量变变为为E+和和E-，原原来来能量高状态能量高状态，能量提升能量提升；原来能量低状态原来能量低状态能量降低能量降低第46页两个相互影响状态两个相互影响状态k和和k微扰后，能量变为微扰后，能量变为E+和和E-第47页ii)当当 0时时 0,0,0两两个个方方向向当当0共共同同极限极限第48页2.能带和带隙（禁带）能带和带隙（禁带）零级近似下，将电子看作是自零级近似下，将电子看作是自由粒子，能量本征值曲线为抛物线由粒子，能量本征值曲线为抛物线微微扰扰情情形形下下：电电子子k不不在在 n/a附附近近时时，与与k状状态态相相互互作作用其它态能量与用其它态能量与k状态零级能量相差大状态零级能量相差大即满足即满足k状态不计二级能量修正状态不计二级能量修正抛物线抛物线第49页当电子当电子和和两种情形时两种情形时微扰计算中，只考虑以上两种状态之间相互作用微扰计算中，只考虑以上两种状态之间相互作用在在存在一个态存在一个态，和，和状态能量相近状态能量相近存在一个态存在一个态，和，和状态能量相同状态能量相同因为周期性势场微扰，能量本征值在因为周期性势场微扰，能量本征值在处断开处断开能量突变能量突变第50页能量本征值在能量本征值在断开断开两个态能量间隔两个态能量间隔禁带宽度禁带宽度第51页电子波矢取值电子波矢取值对于一个对于一个l，有一个量子态，有一个量子态k能量本征值能量本征值当当N很大时，很大时，Ek视为准连续视为准连续因为晶格周期性势场影响，晶体中电子准连续能级分因为晶格周期性势场影响，晶体中电子准连续能级分裂为一系列裂为一系列能带能带能量本征值在能量本征值在处断开处断开第52页 结果分析讨论结果分析讨论1)能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲能带底部，能量向上弯曲；能带顶部，能量向下弯曲第53页2)禁带出现在波矢空间倒格矢中点处禁带出现在波矢空间倒格矢中点处第54页3)禁带宽度禁带宽度 取取 决决于于金金属属中中势势场形式场形式第55页 能带及普通性质能带及普通性质自由电子能谱是抛物线型自由电子能谱是抛物线型晶体弱周期性势场微扰，电子能谱在布里渊边界晶体弱周期性势场微扰，电子能谱在布里渊边界产生了宽度产生了宽度禁带禁带发生能量跃变发生能量跃变在在远远离离布布里里渊渊区区边边界界，近近自自由由电电子子能能谱谱和和自自由由电电子子能能谱谱相近相近第56页每每个个波波矢矢k有有一一个个量量子子态态，当当晶晶体体中中原原胞胞数数目目趋趋于于无无限限大大时时，波波矢矢k变变得得非非常常密密集集，这这时时能能级级准准连连续续分分布布形形成成了了一一系系列列能带能带各能带之间是禁带各能带之间是禁带,在完整晶体中，禁带内没有允许能级在完整晶体中，禁带内没有允许能级第57页能带序号能带序号k范围范围k长度长度布里渊区布里渊区第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区第三布里渊区第三布里渊区一一维维布布喇喇菲菲格格子子，能能带带序序号号、能能带带所所包包括括波波矢矢k范范围围和和布布里渊区对应关系里渊区对应关系第58页一维布喇菲格子，能带序号、波矢一维布喇菲格子，能带序号、波矢k和布里渊区对应关系和布里渊区对应关系第59页每个能带中包含每个能带中包含量子态数目量子态数目波矢波矢k取值取值k数目数目每个能带对应每个能带对应k取值范围取值范围各个能带各个能带k取值数目取值数目原胞数目原胞数目计入自旋，计入自旋，每个能带中包含每个能带中包含2N个量子态个量子态第60页 电子波矢和量子数简约波矢关系电子波矢和量子数简约波矢关系第一布里渊区第一布里渊区近自由电子中电子波矢近自由电子中电子波矢在一维情形中在一维情形中m为整数为整数简约波矢简约波矢取值范围取值范围平移算符本征值量子数平移算符本征值量子数k（简约波矢，计为（简约波矢，计为）和电子波矢）和电子波矢k之之间关系间关系l 为整数为整数第61页电子波函数电子波函数能够表示为能够表示为晶格周期性函数晶格周期性函数第62页将将代入代入第63页晶格周期性函数晶格周期性函数晶体中电子波函数晶体中电子波函数利利用用电电子子波波矢矢和和简简约约波波矢矢关关系系，电电子子在在周周期期性性势势场场中中波波函数为布洛赫函数函数为布洛赫函数第64页 用简约波矢来表示能级用简约波矢来表示能级电子能级电子能级m为整数，对应于不一样能带为整数，对应于不一样能带第65页第一能带位于简约布里渊区，其它能带能够经过倒格矢第一能带位于简约布里渊区，其它能带能够经过倒格矢移到简约布里渊区移到简约布里渊区每每一一个个能能带带在在简简约约布布里里渊渊区区都都有有各各自自图图像像，得得到到全全部部能能带在简约布里渊区图像带在简约布里渊区图像简简约约波波矢矢取取值值被被限限制制在在简简约约布布里里渊渊区区，要要标标志志一一个个状状态态需要表明：需要表明：1)它属于它属于哪一个能带（能带标号）哪一个能带（能带标号）2)它它简约波矢简约波矢是什么是什么？第66页电子波矢电子波矢k和简约波矢和简约波矢关系关系第67页周周期期性性势势场场起起伏伏只只使使得不一样能带相同简约波矢得不一样能带相同简约波矢状态之间相互影响状态之间相互影响对对于于普普通通（远远离离布布里里渊渊边边界界）这这些些状状态态间间能能量量相相差差较较大大，在在近近自自由由电电子子近近似似微微扰扰计计算算中中，采采取取非非简简并并微微扰扰第68页简约波矢简约波矢及及其其附附近近，存存在在两两个个能能量量相相同同或或能能量量相相近近态态，需需要要简简并并微微扰扰理理论论来计算来计算结果表明在结果表明在和和不不一一样样能能带带之之间出现带隙间出现带隙禁带禁带第69页 用简约波矢来表示零级波函数用简约波矢来表示零级波函数零级波函数零级波函数将将代入得到代入得到与与用用简简约约波波矢矢表表示示能能带带一一样样，必必须须指指明明波波函函数数属属于于哪哪一个能带一个能带第70页4.3三维周期场中电子运动近自由电子近似三维周期场中电子运动近自由电子近似 1.模型和微扰计算模型和微扰计算 电电子子受受到到粒粒子子周周期期性性势势场场作作用用，势势场场起起伏伏较较小小,零零级级近近似，用势场平均值代替离子产生势场似，用势场平均值代替离子产生势场周期性势场起伏量周期性势场起伏量微扰来处理微扰来处理电子波动方程电子波动方程晶格周期性势场函数晶格周期性势场函数势场平均值势场平均值第71页零级近似下电子能量和波函数零级近似下电子能量和波函数空格子中电子能量和波函数空格子中电子能量和波函数零级哈密顿量零级哈密顿量薛定谔方程薛定谔方程电子波函数电子波函数能量本征值能量本征值金属金属个原胞组成，体积个原胞组成，体积第72页周期性边界条件周期性边界条件满足正交归一化条件满足正交归一化条件电子波矢电子波矢电子零级本征波函数电子零级本征波函数第73页微扰时电子能量和波函数微扰时电子能量和波函数近自由电子近似模型近自由电子近似模型微扰情形微扰情形微扰后电子能量微扰后电子能量电子波函数电子波函数第74页一级能量修正一级能量修正电子能量电子能量二级能量修正二级能量修正第75页一级修正一级修正电子波函数电子波函数矩阵元矩阵元计算计算引入积分变量引入积分变量第76页应用应用第77页当上式中当上式中为整数为整数则有则有任意一项不满足任意一项不满足则有则有第78页第79页波函数一级修正波函数一级修正电子波函数电子波函数第80页因为因为波函数波函数不变不变波函数波函数波函数能够写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积波函数能够写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积第81页微扰后电子能量微扰后电子能量第82页一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大当当和和零级能量相等零级能量相等第83页三三维维晶晶格格，波波矢矢在在倒倒格格矢矢垂垂直直平平分分面面上上以以及及附附近近值值，非非简简并并微微扰不再适用扰不再适用第84页简单立方晶格中倒格子空间简单立方晶格中倒格子空间A和和A两点相差倒格矢两点相差倒格矢两点零级能量相同两点零级能量相同四四点点相相差差一一个个倒倒格格矢矢，零级能量相同零级能量相同三三维维情情形形中中，简简并并态数目可能多于两个态数目可能多于两个第85页2.布里渊区和能带布里渊区和能带 在在k空空间间把把原原点点和和全全部部倒倒格格矢矢中中点点垂垂直直平平分分面面画画出出，k空空间间分割为许多区域分割为许多区域简单立方晶格简单立方晶格k空间二维示意图空间二维示意图每每个个区区域域内内Ek是是连连续续改改变变，而而在在这这些些区区域域 边边 界界上上能能量量E(k)发发生生突突变变，这这些些区域称为区域称为布里渊区布里渊区第86页属于同一个布里渊区能级组成一个能带属于同一个布里渊区能级组成一个能带每一个布里渊区体积相同，为倒格子原胞体积每一个布里渊区体积相同，为倒格子原胞体积每个能带量子态数目：每个能带量子态数目：2N（计入自旋）（计入自旋）三三维维晶晶格格中中，不不一一样样方方向向上上能能量量断断开开取取值值不不一一样样，使使得不一样能带发生重合得不一样能带发生重合不一样布里渊区对应不一样能带不一样布里渊区对应不一样能带第87页第第一一布布里里渊渊区区在在k方方向向上上能能量量最最高高点点A，k方方向向上上能能量量最高点最高点C二维正方格子二维正方格子C点能量比第二布里渊区点能量比第二布里渊区B点高点高第88页第一布里渊区和第二布里渊区第一布里渊区和第二布里渊区能带重合能带重合第89页用简约波矢用简约波矢表示能量和波函数表示能量和波函数能量和波函数能量和波函数必须同时指明它们属于哪一个能带必须同时指明它们属于哪一个能带第90页3.几个晶格布里渊区几个晶格布里渊区 1)简单立方格子简单立方格子 第第一一布布里里渊渊区区为为原原点点和和6个个近近邻邻格格点点垂垂直直平平分分面面围围成成立立方体方体倒格子基矢倒格子基矢正格子基矢正格子基矢简单立方格子简单立方格子第91页第一布里渊区第一布里渊区第92页2)体心立方格子体心立方格子 正格子基矢正格子基矢倒格子基矢倒格子基矢边长边长面心立方格子面心立方格子第第一一布布里里渊渊区区为为原原点点和和12个个近近邻邻格格点点连连线线垂垂直直平平分分面面围成正十二面体围成正十二面体第93页第一布里渊区第一布里渊区原点和原点和12个近邻格点连线垂直平分面围成菱形十二面体个近邻格点连线垂直平分面围成菱形十二面体第94页体心立方格子第一布里渊区各点标识体心立方格子第一布里渊区各点标识第95页3)面心立方格子面心立方格子正格子基矢正格子基矢倒格子基矢倒格子基矢边长边长体心立方格子体心立方格子第第一一布布里里渊渊区区为为原原点点和和8个个近近邻邻格格点点连连线线垂垂直直平平分分面面围围成成正正八八面面体体，和和沿沿立立方方轴轴6个个次次近近邻邻格格点点连连线线垂垂直直平平分分面面割割去去八八面面体体六六个个角角，形成形成14面体面体第96页第一布里渊区第一布里渊区八个面是正六边形八个面是正六边形六个面是正四边形六个面是正四边形第97页第第一一布布里里渊渊区区为为十十四面体四面体布布里里渊渊区区中中一一些些对对称称点点和和若若干干对对称称轴轴上上点点能能量量较较为为轻轻易易计计算算，这这些些点点标标识符号识符号布里渊区原点布里渊区原点六方面中心六方面中心四方面中心四方面中心计为计为轴轴方向方向计为计为轴轴方向方向第98页将将零零级级近近似似下下波波矢矢k移移入入简简约约布布里里渊渊区区，能能量量改改变变图图像像，图图中中定定性性画画出出了沿了沿 轴结果轴结果第99页4.4赝势方法赝势方法 近自由电子模型中假定周期性势场起伏很小，能够将近自由电子模型中假定周期性势场起伏很小，能够将其看作是微扰，对一些金属计算得到其看作是微扰，对一些金属计算得到能带结果和试验结果能带结果和试验结果是相符是相符在实际固体中，在原子核附近，库仑吸引作用使周期在实际固体中，在原子核附近，库仑吸引作用使周期性势场偏离平均值很远，在离子实内部势场对电子波函数性势场偏离平均值很远，在离子实内部势场对电子波函数影响很大，其影响很大，其波函数改变猛烈波函数改变猛烈显然势场不能被看作是起伏很小微扰势场。这么矛盾显然势场不能被看作是起伏很小微扰势场。这么矛盾必须用赝势来处理必须用赝势来处理第100页在在离离子子实实内内部部用用假假想想势势能能取取代代真真实实势势能能，在在求求解解薛薛定定谔谔方方程程时时，若若不不改改变变能能量量本本征征值值和和离离子子实实之之间区域波函数间区域波函数这这个个假假想想势势能能就就叫叫做做赝势赝势由由赝赝势势求求出出波波函函数数叫叫赝赝波波函函数数，在在离离子子实实之之间间区区域域真真实实势势和和赝赝势势给给出出一一样波函数样波函数第101页4.5紧束缚方法紧束缚方法 1.模型与微扰计算模型与微扰计算 紧束缚近似方法思想紧束缚近似方法思想电子在一个原子电子在一个原子(格点格点)附近时，主要受到该原子势场附近时，主要受到该原子势场作用，而将其它原子势场作用看作是微扰作用，而将其它原子势场作用看作是微扰将晶体中电子波函数近似看成原子轨道波函数线将晶体中电子波函数近似看成原子轨道波函数线性组合，得到性组合，得到原子能级原子能级和晶体中和晶体中电子能带电子能带之间关系之间关系LCAO理论理论_LinearCombinationofAtomicOrbitals 原子轨道线性组正当原子轨道线性组正当第102页简单晶格原胞只有一个原子简单晶格原胞只有一个原子电子束缚态波函数电子束缚态波函数电子在格矢电子在格矢处原子附近运动处原子附近运动电子在第电子在第m个原子附近运动，其它原子作用是微扰个原子附近运动，其它原子作用是微扰第103页电子束缚态波函数电子束缚态波函数格点原子在格点原子在处势场处势场电子第电子第i 个束缚态波函数个束缚态波函数电子第电子第i 个束缚态能级个束缚态能级第104页晶体中电子波函数晶体中电子波函数满足薛定谔方程满足薛定谔方程晶体周期性势场晶体周期性势场_全部原子势场之和全部原子势场之和对方程进行变换对方程进行变换微扰作用微扰作用第105页微扰以后电子运动状态微扰以后电子运动状态 原子轨道线性组合原子轨道线性组合(LCAO)晶晶体体中中有有N个个原原子子，有有N个个格格点点，围围绕绕不不一一样样格格点点，有有N个类似波函数，它们含有相同能量本征值个类似波函数，它们含有相同能量本征值 i微扰以后晶体中电子波函数用微扰以后晶体中电子波函数用N个原子轨道简并波个原子轨道简并波函数线性组合组成函数线性组合组成晶体中电子波函数晶体中电子波函数电子薛定谔方程电子薛定谔方程第106页当原子间距比原子半径大时，不一样格点当原子间距比原子半径大时，不一样格点重合很小重合很小近似有近似有正交关系正交关系电子波函数电子波函数第107页以以左乘上面方程左乘上面方程积分得到积分得到化简后得到化简后得到 N种可能选取，方程是种可能选取，方程是N个联立方程中一个方程个联立方程中一个方程第108页变量替换变量替换势场含有周期性势场含有周期性积分只取决与相对位置积分只取决与相对位置引入函数引入函数表示方程中积分项表示方程中积分项第109页周期性势场减去原子势场，仍为负值周期性势场减去原子势场，仍为负值第110页关于关于am为未知数为未知数N个齐次线性方程组个齐次线性方程组am只由只由来决定来决定方程解方程解任意常数矢量任意常数矢量第111页对于确定对于确定波函数波函数晶体中电子波函数晶体中电子波函数能量本征值能量本征值第112页晶体中电子波函数含有布洛赫函数形式晶体中电子波函数含有布洛赫函数形式改写为改写为晶格周期性函数晶格周期性函数简约波矢，取值限制在简约布里渊区简约波矢，取值限制在简约布里渊区第113页周期性边界条件周期性边界条件取值有取值有N个，每一个个，每一个值对应波函数值对应波函数晶体中电子波函数晶体中电子波函数原子束缚态波函数原子束缚态波函数二者存在么正变换二者存在么正变换第114页 N个波函数表示为个波函数表示为能量本征值能量本征值对于原子一个束缚态能级，对于原子一个束缚态能级，k有有N个取值个取值原子结合成固体后，电子含有能量形成一系列能带原子结合成固体后，电子含有能量形成一系列能带第115页简化处理简化处理 表示相距为表示相距为两个格点波函数两个格点波函数当两个函数有一定重合时，积分不为零当两个函数有一定重合时，积分不为零能量本征值能量本征值第116页最完全重合最完全重合其次考虑近邻格点格矢其次考虑近邻格点格矢能量本征值能量本征值第117页例题例题计算简单立方晶格中由原子计算简单立方晶格中由原子s态形成能带态形成能带 s态波函数是球对称，在各个方向重合积分相同态波函数是球对称，在各个方向重合积分相同含有相同值含有相同值表示为表示为s态波函数为偶宇称态波函数为偶宇称能量本征值能量本征值第118页简立方六个近邻格点简立方六个近邻格点代入代入第119页第一布里渊区几个点能量第一布里渊区几个点能量第120页点和点和点分别对应能带底和能带顶点分别对应能带底和能带顶带带宽宽取取决决于于J1，大大小小取取决决于于近近邻邻原原子子波波函函数数之之间间相相互互重重合合，重重合合越越多多，形形成成能能带越宽带越宽第121页在能带底部在能带底部在在附近按泰勒级数展开附近按泰勒级数展开将将能带底部电子有效质量能带底部电子有效质量第122页在能带顶部在能带顶部在在附近按泰勒级数展开附近按泰勒级数展开将将第123页能带顶部电子有效质量能带顶部电子有效质量第124页2.原子能级与能带对应原子能级与能带对应一一个个原原子子能能级级 i对对应应一一个个能能带带，不不一一样样原原子子能能级级对对应应不不一一样样能能带带。当当原原子子形形成成固体后，形成了一系列能带固体后，形成了一系列能带能能量量较较低低能能级级对对应应能能带带较窄较窄能能量量较较高高能能级级对对应应能能带带较宽较宽第125页简简单单情情况况下下，原原子子能能级级和和能能带带之之间间有有简简单单对对应应关关系系，如如ns带带、np带带、nd带等等带等等因因为为p态态是是三三重重简简并并，对对应应能能带带发发生生相相互互交交叠叠，d态态等等一一些些态态也也有有类类似似能能带交叠带交叠第126页紧束缚讨论中紧束缚讨论中只考虑只考虑不一样格点不一样格点、相同原子态相同原子态之间之间相互作用相互作用对于内层电子能级和能带有一一对应关系对于内层电子能级和能带有一一对应关系对于外层电子，能级和能带对应关系较为复杂对于外层电子，能级和能带对应关系较为复杂普通处理方法普通处理方法1)主要由几个能量相近原子态相互组合形成能带主要由几个能量相近原子态相互组合形成能带2)略去其它较多原子态影响略去其它较多原子态影响不考虑不一样原子态之间作用不考虑不一样原子态之间作用第127页讨论分析同一主量子数中讨论分析同一主量子数中s态和态和p态之间相互作用态之间相互作用处理思绪和方法处理思绪和方法1)将将各原子态组成布洛赫和各原子态组成布洛赫和2)再将能带中再将能带中电子态写成布洛赫和线性组合电子态写成布洛赫和线性组合3)最终代入最终代入薛定谔方程求解薛定谔方程求解组合系数和能量本征值组合系数和能量本征值略去其它主量子数原子态影响略去其它主量子数原子态影响第128页各原子态组成布洛赫和各原子态组成布洛赫和同同一一主主量量子子数数中中s态和态和p态之间相互作用态之间相互作用能带中电子态能带中电子态布洛赫和线性组合布洛赫和线性组合第129页代入薛定谔方程代入薛定谔方程求解组合系数求解组合系数能量本征值能量本征值能带中电子态能带中电子态第130页复式格子复式格子一个原胞中有一个原胞中有l个原子，原子位置个原子，原子位置原胞中不一样原子相对位移原胞中不一样原子相对位移布洛赫和布洛赫和 表示不一样分格子，表示不一样分格子，i表示不一样原子轨道表示不一样原子轨道第131页含有金刚石结构含有金刚石结构Si，原胞中有，原胞中有4个个A位和位和1个个B位原子位原子A位原子格子与位原子格子与B位原子格子相对位移位原子格子相对位移坐标原点选取在坐标原点选取在A位格子格点上位格子格点上第132页Si晶体中晶体中3s和和3p轨道相互杂化最少需要八个布洛赫和轨道相互杂化最少需要八个布洛赫和Si价带和导带是上面八个布洛赫和线性组合价带和导带是上面八个布洛赫和线性组合第133页也也能能够够看看作作是是Si原原子子进进行行轨轨道道杂杂化化，形成四个杂化轨道形成四个杂化轨道近邻原子杂化轨道之间近邻原子杂化轨道之间形成成键态和反键态形成成键态和反键态第134页以成键态和反键态波函数以成键态和反键态波函数成成键键态态对对应应四四个个能能带带交交叠在一起，形成叠在一起，形成Si价带价带反反键键态态对对应应四四个个能能带带交交叠在一起形成叠在一起形成Si导带导带为基础形成布洛赫和为基础形成布洛赫和,形成能带形成能带第135页Wannier函数函数紧束缚近似中，能带中电子波函数能够写成布洛赫和紧束缚近似中，能带中电子波函数能够写成布洛赫和对于任何能带对于任何能带Wannier函数函数一个能带一个能带Wannier函数是由同一个能带布洛赫函数所定函数是由同一个能带布洛赫函数所定义义第136页旺尼尔函数满足正交关系旺尼尔函数满足正交关系紧束缚作用紧束缚作用假假如如晶晶体体中中原原子子之之间间间间距距增增大大，当当电电子子距距离离某某一一原原子子较近时，电子行为类似于孤立原子时情形较近时，电子行为类似于孤立原子时情形电子波函数电子波函数这种情况下，旺尼尔函数也应靠近孤立原子波函数这种情况下，旺尼尔函数也应靠近孤立原子波函数第137页代入薛定谔方程代入薛定谔方程满足满足电子波函数电子波函数第138页对于没有简并对于没有简并s态态用用左乘上式，然后积分左乘上式，然后积分利用利用第139页在原子之间间距较大情况下在原子之间间距较大情况下只考虑只考虑中最近邻项中最近邻项在方程在方程计计第140页当当仅取最近邻原子时仅取最近邻原子时计计第141页4.6 晶体能带对称性晶体能带对称性 1.能带关于能带关于k周期性周期性 电子波矢电子波矢 布洛赫函数布洛赫函数第142页 三维情况中表示三维情况中表示 在在k状态中观察到物理量与在状态中观察到物理量与在k状态中是相同状态中是相同2.能带时间反演对称性能带时间反演对称性能够证实能够证实第143页3.能带能带3种表示图式种表示图式 1)扩展能区图式扩展能区图式 第一能带第一能带第二能带第二能带第144页2)简约能区图式简约能区图式 对于同一个能带来说能量在对于同一个能带来说能量在k空间含有周期性空间含有周期性 每一个能带在简约布里渊每一个能带在简约布里渊 区都有各自图像区都有各自图像i)它属于哪一个能带它属于哪一个能带ii)它简约波矢它简约波矢 是什么是什么 简约布里渊区标志一个状态简约布里渊区标志一个状态第145页3)周期能区图式周期能区图式 对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数对于同一个能带而言能量是波矢周期性函数 将将任任意意一一条条能能量量曲曲线线经经过过倒倒格格子子矢矢量量从从一一个个布布里里渊渊区区移移到到其其它它布布里里渊渊区区，在在每每一一个个布布里里渊渊区区画画出出全全部部能能带带，组组成成k空空间间中中能能量量分分布完整图像布完整图像第146页4.7 能态密度和费密面能态密度和费密面 1.能态密度函数能态密度函数 固体中电子能量由一固体中电子能量由一 些准连续能级形成些准连续能级形成 能带能带 能量在能量在EE+E之间之间 能态数目能态数目 Z能态密度函数能态密度函数第147页在在k空间，依据空间，依据E(k)=Constant组成面为等能面组成面为等能面由由E和和E+E围成体积为围成体积为 V，状态在，状态在k空间是均匀分布空间是均匀分布EE+E之间能态数目之间能态数目两个等能面间垂直距离两个等能面间垂直距离状态密度状态密度第148页能态密度能态密度考虑到电子自旋，能态密度考虑到电子自旋，能态密度第149页1)自由电子能态密度自由电子能态密度电子能量电子能量在球面上在球面上k空间空间,等能面是半径等能面是半径 球面球面能态密度能态密度第150页2)近自由电子能态密度近自由电子能态密度 晶体周期性势场对能量影响表现在布里渊区附近晶体周期性势场对能量影响表现在布里渊区附近等能面改变等能面改变二维正方格子二维正方格子第一布里渊区等能面第一布里渊区等能面 波矢靠近布里渊区波矢靠近布里渊区A点，点，能量受到周期性微扰而能量受到周期性微扰而 下降，等能面向边界凸现下降，等能面向边界凸现 在在A点到点到C点之间，等能面不再是完整闭合面，点之间，等能面不再是完整闭合面，而是分割在各个顶点附近曲面而是分割在各个顶点附近曲面 第151页能态密度改变能态密度改变 伴随伴随k靠近布里渊区，等能面不停向边界凸现，两个等靠近布里渊区，等能面不停向边界凸现，两个等 能面之间体积不停增大，能态密度将显著增大能面之间体积不停增大，能态密度将显著增大在在A点点到到C点点之之间间，等等能能面面发发生生残残缺缺，到到达达C点点时时，等等能能面面缩缩成一个点成一个点 能态密度不停减小直到为零能态密度不停减小直到为零第152页第二布里渊区能态密度第二布里渊区能态密度 能量能量E越过第一布里渊区越过第一布里渊区A点，从点，从B点开始能态密度由点开始能态密度由零快速增大零快速增大能带重合能带重合能带不重合能带不重合第153页2.费米面费米面 固体中有固体中有N个自由电子，按照泡利原理它们基态是由个自由电子，按照泡利原理它们基态是由N 个电子由低到高填充个电子由低到高填充N个量子态个量子态电子能级电子能级N个电子在个电子在k空间填充一个半径为空间填充一个半径为kF球，球内包含球，球内包含N个状态数个状态数球半径球半径第158页 费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度费米波矢、费米动量、费米速度和费米温度 费米能量费米能量费米球半径费米球半径费米动量费米动量费米速度费米速度费米温度费米温度第159页自由电子球半径自由电子球半径rs第160页 晶体中电子晶体中电子 满带满带 电子占据了一个能带中全部状态电子占据了一个能带中全部状态空带空带 没有任何电子占据（填充）能带没有任何电子占据（填充）能带导带导带 一个能带中全部状态没有被电子占满一个能带中全部状态没有被电子占满 即不满带，或说最下面一个空带即不满带，或说最下面一个空带价带价带 导带以下第一个满带，或最上面一个满带导带以下第一个满带，或最上面一个满带禁带禁带 两个能带之间，不允许存在能级宽度，或带隙两个能带之间，不允许存在能级宽度，或带隙 第161页 单单电电子子能能级级因因为为周周期期性性势势场场影影响响而而形形成成一一系系列列准准连连续续能带，能带，N个电子填充这些能带中最低个电子填充这些能带中最低N个状态个状态半导体和绝缘体半导体和绝缘体 电子刚好填满最低一系列能带，形成满带，导带中没电子刚好填满最低一系列能带，形成满带，导带中没 有电子有电子 半导体带隙宽度较小半导体带隙宽度较小 1 eV 绝缘体带隙宽度较宽绝缘体带隙宽度较宽 10 eV第162页金属金属 电子除了填满一系列能带形成满带，还部分填充电子除了填满一系列能带形成满带，还部分填充 了其它能带形成导带了其它能带形成导带 电子填充最高能级为费密能级，位于一个或几个能电子填充最高能