基于对偶四元数法的Stewart平台运动学研究.pdf

文章编号：2096-3424（2024）01-0072-05DOI：10.3969/j.issn.2096-3424.2024.01.007荆学东，工学博士，教授。上海应用技术大学电气与电子工程学院院长。2013年获上海市奉贤区“滨海贤人”领军人才称号。2005 年毕业于上海交通大学机械与动力工程学院机械设计及理论专业，获工学博士学位，主要从事智能检测制技术以及机器人技术的研究。2010 年受科技部派遣，经由日本协力机构（JICA）渠道，赴日本研修节能技术；1997 赴日本国立高知大学留学，研究 TIG焊接及机器人控制技术。获得上海市科技进步奖三等奖 1 项、行业协会科技进步奖 4 项；主持国家自然科学基金面上项目 1 项、省部级项目 3 项；承担武器装备科研项目 5 项；承担横向课题 30 多项；撰写专著 2 部；撰写应用型教材 6 部；在国内外期刊发表学术论文 30 多篇；授权发明专利 5 项。应用技术学报编委。基于对偶四元数法的 Stewart 平台运动学研究荆学东，方义圣，崔贤亮（上海应用技术大学电气与电子工程学院,上海 201418）摘要：作为一种多自由度并联机构，Stewart 平台在工业自动化、飞行模拟及医疗设备等领域具有广阔应用前景。研究 Stewart 平台的运动学特性，并提供数学模型和解决方法，可以实现对其运动和位置的准确控制。基于 6-UPS 型 Stewart 并联机器人平台，引入了对偶四元数的概念，探讨了Stewart 平台的运动学特性，提出了一种高效的并联机器人运动学求解算法。研究结果表明，在描述并联机器人的运动学中，对偶四元数法具有更简洁的表示形式和更少的用来表示刚体位姿的未知数个数，具有明显优势。关键词：Stewart 平台；并联机器人；运动学；对偶四元数中图分类号：TP242文献标志码：AKinematic study of Stewart platform based on dual quaternion methodJINGXuedong，FANGYisheng，CUIXianliang（SchoolofElectricalandElectronicEngineering,ShanghaiInstituteofTechnology,Shanghai201418,China）Abstract：TheStewartplatform,asamulti-degree-of-freedomparallelmechanism,ispromisingforawiderangeofapplicationsinindustrialautomation,flightsimulation,andmedicaldevices.StudyingthekinematiccharacteristicsoftheStewartplatformandprovidingmathematicalmodelsandsolutionmethodscanachieveaccuratecontrolofitsmotionandposition.Inthispaper,basedonthe6-UPS-typeStewartparallelrobotplatform,theconceptofdualquaternionisintroduced,thekinematicpropertiesoftheStewartplatformareexplored,andanefficientsolutionalgorithmforparallelrobotkinematicsisproposed.Theresultsshowthat收稿日期：2023-11-16基金项目：上海市科学技术委员会科研计划项目（16090503700）资助作者简介：荆学东（1968-）,男，教授，博士，主要研究研究方向为机器人技术、智能检测技术。E-mail：引文格式：荆学东，方义圣，崔贤亮.基于对偶四元数法的 Stewart 平台运动学研究 J.应用技术学报，2024，24（1）：72-76.Citation：JINGXuedong，FANGYisheng，CUIXianliang.KinematicstudyofStewartplatformbasedondualquaternionmethodJ.JournalofTechnology，2024,24（1）：72-76.第 24 卷第 1 期应用技术学报Vol.24No.12024 年3 月JOURNAL OF TECHNOLOGYMar.2024http:/indescribingthekinematicsofparallelrobots,thedualquaternionmethodhasaclearadvantagewithamoreconciserepresentationandfewernumbersofunknownsusedtorepresenttherigid-bodyposes.Key words：Stewartplatform；parallelrobot；kinematic；dualquaternion六自由度并联机器人是一种可以同时实现固定底座和可移动平台，并具有 6 个独立的运动自由度的机器人，其 6 个自由度是指机器人可以在笛卡尔坐标系中沿着 3 个平移方向和绕 3 个旋转轴进行运动1。Stewart 平台是最著名的六自由度并联机器人之一，也是世界上出现的第 1 种并联机器人。Stewart 平台，也被称为 Stewart-Gough 平台，最初由英国的 Gough 在 1947 年提出，用于检测各种载荷 条 件 下 的 轮 胎 磨 损。1965 年，美 国 学 者Stewart2在论文中提出六自由度平台可用于飞行器模拟，并提及了 Gough 的工作。该研究最早的应用是用于模拟飞行器在飞行过程中的运动状态，以帮助航空航天的研究和实验。随后，Stewart 平台的应用逐渐被扩展到其他领域。例如，在机器人领域，Stewart 平台可以作为多功能的机器人工作台，用于进行精确装配、模拟训练等任务。此外，Stewart 平台还可以用于运动模拟和振动测试，以研究和评估各种机械系统的性能和稳定性3。传统的 Stewart 平台运动学分析通常依赖于欧几里得空间中的三维向量代数。这种方法虽然有效，但在某些情况下却存在着一些不足之处，特别是在处理复杂的运动学问题时。因此，近年来，研究者们开始探索一些新的数学工具，以更好地描述 Stewart 平台的运动学。对偶四元数作为一种新兴的数学工具，被广泛用于描述旋转和运动学问题，并在机器人学和机械工程领域获得了广泛的应用。相比于齐次矩阵法，其形式更为简洁，能够直观地表述刚体的空间运动，并且在求并联机器人的正解时所求的未知数更少4。本文探讨使用对偶四元数表征六自由度并联机器人空间旋转与移动，构建基于对偶四元数的运动学公式。1Stewart 平台结构Stewart 平台由 2 个平行板和 6 根驱动杆组成，通过控制 6 根驱动杆的伸缩长度，就可以实现对上平台的位置和姿态控制。其中，固定的下平台（定平台）的相邻两边内角和为 120，整体呈半对称的六边形。上平台（动平台）可以六自由度旋转移动，通过 6 条运动链与下平台连接。在运动链的构成中，R（revolute）表示空间回转副，S（sphere）表示空间球副，P（prismatic）表示移动副，U（universaljoint）表示虎克铰。运动链命名方法来源于运动链的数量和类型，例如 6-SPS5型 Stewart 平台由 6组空间球副和驱动杆移动副构成。然而，现实中球铰链的加工和装配精度较低，会导致连接间隙和未知误差。因此，可以使用虎克铰和不同转轴的转动副替代球铰链。在 S-P-S 运动链中，由于存在 2 个同轴旋转轴，因此可以减少一个重复的转动副，改为 U-P-U-R 运动链，其中 P是承担主要负载和运动的关节。Stewart 平台的 6-UPS 构型是基于 6-SPS 构型演变而来，其结构如图 1 所示。P5P4P3P2P1P6B4B3B5B6B1B2XYZXYZBP图 1 6-UPS 型 Stewart 平台Fig.1 6-UPS Stewart platform2对偶四元数在机器人运动学分析领域，目前主要使用以下几种数学方法：Denavit-Hartenberg（D-H）参数法，D-H 参数法通过引入 4 个参数来描述连杆的旋转和移动，将复杂的运动学问题简化为一个关于关节角度的线性组合，从而方便求解。D-H 参数法适用于分析具有多个自由度的关节臂机器人。旋量法6，旋量法将机器人各关节的旋转和移动关系表示为旋量的形式，降低了运动学方程的复杂度。旋量法适用于分析具有较少自由度的机器人，例如第 1 期荆学东，等：基于对偶四元数法的 Stewart 平台运动学研究73http:/平面三轴机器人。单位四元数，其可用于表示刚体在三维空间内的旋转作用，而单位对偶四元数是对四元数的一种扩展形式，其实部可以用来表示三维旋转，其虚部可以用来表示三维平移。相比使用增广矩阵来表示平移和旋转需要大量的三角函数计算，导致计算量增加，对偶四元数更加简洁地表示了移动和旋转。p并联机器人的齐次矩阵表示方法常用平移向量和基于欧拉角的旋转矩阵 R 构成一个 4 阶增广矩阵。然而，这种方法仅涉及 6 个实际变量，却依赖大量三角函数通过 3 个欧拉角进行计算，导致计算复杂度增大。相比之下，对偶四元数可以简洁地表示旋转和移动，虽然理解难度较高，但能有效简化计算。v=(v1,v2,v3)sw,i,j,k一个四元数由三维向量和标量两部分组成，可以使用一个四维向量来代数表示。四元数的运算为：q1+q2=s1+s2,v1+v2=w1+w2,i1+i2,j1+j2,k1+k2（1）q=s,v（2）q1 q2=s1s2 v1 v2,s1 v2+s2 v1+v1 v2=w1w2 i1i2 j1j2 k1k1,i1w2+w1i2+j1k2+k1j2,j1w2+w1j2+k1i2+i1k3,k1w2+w1k2+i1j2+j1i1（3）|q|=q qq=s,v qq n四 元 数 的 范 数 为，其 中是四元数 的共轭。根据 Euler 定理，单位四元数 可以用来描述一个绕定轴转动 角度的旋转运动，见式（4）。q=cos(/2),sin(/2)n =cos(/2),nx sin(/2),ny sin(/2),nz sin(/2)（4）mm转动后的向量表示为，则转动变换的四元数表示为m=q m q（5）m0,mx,my,mz计算时，可以将向量视为标量为 0 的四元数即，遵循四元数的计算法则7。2 q=q（6）式中：为转动的角速度。与四元数类似，对偶数亦是一种 Clifford代数。对偶数也叫二元数，其定义为b z=a+b（7）称为对偶单位，2=0=0 ab式中：且；称为实部；称为对偶部8。对偶数的运算为：b z1+b z2=a1+a2+(b1+b2)（8）b z=a+b（9）b z1b z1=a1a2+(a1b2+a2b1)（10）对偶单位由对偶数定义式可知，高于 1 次的幂等于 0，由此得其 Taylor 展开式：f(a+b)=f(a)+f(a)b（11）对偶四元数是元素为四元数的对偶数，同理，也可以认为对偶四元数是元素为四元数的对偶数，其数学表达如下：b q=b+e（12）对偶四元数的计算与对偶数类似，元素相乘遵循四元数乘法：q1+q2=b1+b2+(e1+e2)=b1w+b2w,b1i+b2i,b1j+b2j,b1k+b2ke1w+e2w,e1i+e2i,e1j+e2j,e1k+e2k（13）b q=b s,b v（14）b q1 b q2=b s1b s2 b v1 b v2,b s1b v2+b s2b v1+b v1 b v2=b1 b2+(b1 e2+b2 e1)（15）对偶四元数的共轭为四元数共轭:b q=b+e（16）|b q|=b q b q对偶四元数的范数为，当使用对偶四元数来表示刚体运动时，其范数要等于 19，基于此约束：|b q|2=(b+e)(b+e)=bb+(be+eb)=|b|2+2Re(be)=1（17）Re(be)beRe(be)=Re(be)式中：表示四元数的实部，即标量部分，此处.由此可得约束：|b|=1Re(be)=0（18）b q=b+ebR e=p b2，b p p使用单位对偶四元数表示一个一般刚体运动，代表用单位对偶四元数表示的刚体转动矩阵；代表 与位移向量的函数，74应用技术学报第 24 卷http:/ p=2eb也可以表示为。则由式（12）可得：q=b+12 p b（19）q=cos(/2),sin(/2)n nt=x,y,ztq=0,x,y,z使用公式，且 为单位向量构造的即为表示旋转的单位四元数，位移扩展为四元数形式则为，则该旋转与位移合成的刚体运动可表示为单位对偶四元数：Q=q+1/2qtq（20）q=cos(/2),nx sin(/2),ny sin(/2),nz sin(/2),（21）e=p b2表示位移的对偶四元数可以由公式得到，则绕单位向量刚体变换的作用计算类似四元数为：b e=b q b e b q（22）3Stewart 平台运动学分析3.1 逆向运动学xx六自由度 Stewart 平台的上下平台之间通过6 根运动驱动杆相连，通过控制驱动杆的伸缩运动可以使动平台可以在三维空间内进行 6 个自由度的平移和旋转。将上平台的位姿参数用广义坐标表示，以此表示每个驱动连杆的运动状态；将Stewart 平台的关节变量用 表示，用来描述 6 根驱动杆的几何关系。基于关节变量、广义坐标 建立运动学闭环方程10：E(x)=0（23）x=(x,y,z,)b x=b+e=(b0,b,e0,e)机器人运动学逆解是指在给定末端位姿的条件下，求解各关节变量的过程11。将广义坐标用对偶四元数表示，得。四元数与欧拉角转换公式：b=b0,b1,b2,b3T=cos(/2)cos(/2)cos(/2)+sin(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)cos(/2)cos(/2)cos(/2)sin(/2)sin(/2)cos(/2)sin(/2)cos(/2)+sin(/2)cos(/2)sin(/2)cos(/2)cos(/2)sin(/2)sin(/2)sin(/2)cos(/2)（24）由e=p b2=12 0,p b0,b=(xb1 yb2 zb3)/2(xb0+yb3 zb2)/2(xb3+yb0+zb1)/2(xb2 yb1+zb0)/2（25）计算得到广义坐标的对偶四元数表达式。根据夹角与外接圆半径求得上平台的虎克铰点的坐标为P=(p1,p2,p3,p4,p5,p6)（26）与下平台的虎克铰点的坐标B=(b1,b2,b3,b4,b5,b6)（27）p=x,y,zpq=1,0,0,0,0,x,y,z，笛卡尔坐标系中点的对偶四元数拓展形式为：则求解方程为：E(x)=（28）b xPb x B=l（29）|l|关节变量 即为，对偶四元数在并联机器人逆解求解过程中的形式类似于齐次变换矩阵。然x而，对偶四元数省去了 9 个构造旋转矩阵的参数，转而使用 4 个参数与平移向量构造动平台位姿的对偶四元数表示。在运动学逆解中，关节变量可以直接求解，因此未能体现出对偶四元数的优势。而对于并联机器人的正解，需要根据 6 个关节变量来求解动平台的位姿。广义矩阵 的表示需要 6 个参数，但齐次矩阵表示位置需要 3 个参数，姿态则需要 9 个参数，总共 12 个参数。相比之下，对偶四元数表示的位姿仅需 8 个参数，更为简洁。3.2 正向运动学xx pb机器人运动学正解是指在已知关节变量 的条件下，求解末端位姿 的过程12。当广义坐标 使用位移矢量和用单位四元数表示的动平台旋转 进行参数化时，方程为：E1()=p+bPb（30）e=12 p b p=2eb因为表示刚体运动的单位对偶四元数中的虚部可以表示为位移向量与实部的函数，则在此构造其虚部，式（30）变形为：E2()b=2e+bP（31）求其内积第 1 期荆学东，等：基于对偶四元数法的 Stewart 平台运动学研究75http:/(E2()b)(E2()b)=(2e+bP)(2e+bP)（32）对上式进行化简得|E2()|2=4|e|2+|P|2+2ebP+2be（33）e b|b|2=1|P|2|E()|2x由于式（33）中仅含有，的二次项（）与常数项（，），则可以改写为 的二次型形式。fi(x)=12xTMix Ci=0(i=1,2,6)（34）MiCi式中：为机器人构造参数确定的常数矩阵；是关节变量与机器人构造参数计算出的常数。该式加上对偶四元数在表示刚体运动时的约束可改写为：f7(x)=12xTM7x 1=0f8(x)=12xTM8x=0,M7=2I4400044,M8=044II044（35）MiCi较复杂的部分是从关节变量与构造参数确定与的值。4结语本文运用对偶四元数法来分析 Stewart 平台的正逆运动学。对偶四元数提供了一种简洁而有效的数学工具，可以描述 Stewart 平台的运动，并计算其位置、姿态。介绍了 Stewart 平台的基本结构和工作原理，对对偶四元数进行了详细的数学分析，包括其定义、运算法则和性质。引入对偶四元数分析 Stewart 并联平台运动学，并对对偶四元数与欧拉角和齐次矩阵之间的转换关系进行了推导。结果表明，与传统的方法相比，对偶四元数方法能够更好地描述 Stewart 平台的运动学，并且具有更高的计算效率和数值稳定性。参考文献：杜平.Stewart平台运动学分析与仿真研究J.机械研究与应用，2012，120（4）:19-22.1STEWARTD.AplatformwithsixdegreesoffreedomJ.ProceedingsoftheInstitutionofMechanic-alEngineers，1965，180（1）:371-386.2DASGUPTA B，MRUTHYUNJAYA T S.The Stewartplatformmanipulator：areviewJ.MechanismandMa-chineTheory，2000，35（1）:15-40.3方义圣.六自由度并联脊柱手术机器人的设计与优化D.上海：上海应用技术大学，2021.4钱承，鄂加强，刘明，等.Stewart六自由度并联平台动力学模型振动分析J.湖南大学学报（自然科学版），2016，43（2）:36-42.5CHENQC，ZHUSQ，ZHANGXQ.Improvedinversekinematicsalgorithmusingscrewtheoryforasix-DOFro-bot manipulatorJ.International Journal of AdvancedRoboticSystems，2015，12（10）:1-9.6潘菲，朱宏玉.航天器非奇异自适应终端滑模姿轨联合控制J.北京航空航天大学学报，2020，46（7）:1354-1362.7BRODSKYV，SHOHAMM.Dualnumbersrepresenta-tionofrigidbodydynamicsJ.Mechanism&MachineTheory，1999，34（5）:693-718.8李荣成.基于对偶数的分布式多体系统动力学建模方法研究D.哈尔滨：哈尔滨工程大学，2021.9MERLETJP.Jacobian，manipulability，conditionnum-berandaccuracyofparallelrobotsJ.JournalofMech-anicalDesign，2006，128（1）:199-206.10葛为民，宇旭东，王肖锋，等.基于对偶四元数的机械臂运动学建模及分析J.机械传动，2018，42（7）:112-117.11杨小龙.六自由度并联机器人运动学、动力学与主动振动控制研究D.南京：南京航空航天大学，2018.12（编辑张永博）76应用技术学报第 24 卷http:/