2021考研管综联考数学重点难点考点归纳总结.doc

中业考研 联考数学

——强化阶段

主编：中业考研教研中心

(内部资料，翻印必究)

目 录

关于条件充分性判断题目说明 1

条件充分性判断 2

题型分析 2

应试技巧 11

第一章 实数 15

数的整除 16

奇、偶数 16

质数 17

合数 18

公约数 18

公倍数 19

第二章 绝对值 20

绝对值定义 21

绝对值方程与不等式 22

非负性 24

三角不等式 25

绝对值图像 25

第三章 应用题 27

比例问题 28

纯比例问题 30

三个量的比与比例 31

双属性的比例 34

盈亏问题 35

利息模型 36

股票、税收问题 38

行程问题~路程 39

行程问题~速度 41

行程问题~时间 43

工程总量已知的工程问题 45

工程总量未知的工程问题 46

浓度问题~交叉法(1) 48

浓度问题~交叉法(2) 49

浓度问题~变化 51

方程、方程组问题 52

不等式问题 55

第四章 整式分式 56

平方差公式 57

完全平方公式 58

立方公式 59

其它公式 60

因式分解 61

余式定理 63

分式 64

分式方程、不等式 65

第五章 集合、函数 67

集合 68

指数运算 69

对数运算 69

第六章 方程 71

一次方程 72

一元二次方程 73

根的判别式 74

根的判别式的应用 75

韦达定理 76

韦达定理的应用 77

根的分布 79

第七章 不等式 83

标准形式 84

边界为根 84

一元二次不等式 85

恒成立 86

高次、分式、无理不等式 88

第八章 二次函数 89

二次函数的几何性质 90

二次函数的最值 91

第九章 数列 94

数列的基本概念 95

等差数列的通项公式 an 95

等差数列通项公式 an 的应用 96

等差数列的求和公式 Sn 98

等差数列的求和公式 Sn 的最值 100

等比数列的通项公式 an 101

等比数列的求和公式 Sn 103

等差数列与等比数列的综合 104

既非等差数列也非等比数列 107

第十章 平面几何 110

三角形的边角关系 111

直角三角形 112

等腰三角形与等边三角形 114

相似与全等 116

非规则三角形 118

四边形 119

圆的概念 122

阴影部分面积 124

第十一章 立体几何 127

柱体 128

体 130

球 132

第十二章 解析几何 134

基本概念 135

直线的定性分析 138

直线的位置关系 141

直线的应用 144

线性规划 146

圆的标准方程 148

圆与圆的位置关系 154

第十三章 排列组合概率 157

加法原理与乘法原理 157

排列、组合的计算 158

排列、组合的应用 159

二项式展开定理 160

概率的基本概念 162

选 163

选的应用 1 166

选的应用 2 168

分——一一对应、不受限制的一多对应 171

分——分堆 172

分——分堆的应用 173

排 174

独立重复事件的概率 177

独立重复事件的概率的应用 178

独立重复事件的概率的应用 2 180

概率的运算 181

第十四章 均值、方差 184

算术平均值、几何平均值 185

均值不等式 187

方差、标准差 189

关于条件充分性判断题目说明

定义

对两个命题 A 和 B 而言，若由命题 A 成立，肯定可以推出 B 也成立，则称命题 A 是

命题 B 成立的充分条件，或称命题 B 是命题 A 成立的必要条件。

2. 解题说明和各选项含义

本类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不必考虑条件是否必要.阅读条件(1)和(2)后选择：
条件(1)充分，但条件(2)不充分

条件(2)充分，但条件(1)不充分

条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分

条件(1)充分，条件(2)也充分

条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分

【注意】以上规定全书适用，以后不再重复说明

第 1 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

条件充分性判断

题型分析

07-10
A
B
C
B
B
B
A
A
D
C
C
E
A
C
B

08-01
A
B
B
D
A
D
B
C
A
A
D
E
E
B
C

08-10
C
B
A
B
C
B
C
A
E
D
D
D
B
A
D

09-01
B
E
D
B
D
A
B
E
D
C

09-10
B
E
C
C
D
B
A
E
B
E

10-01
A
A
C
D
D
E
D
A
C
B

10-10
A
B
C
D
B
A
B
D
E
A

11-01
A
E
D
B
C
B
A
D
D
C

11-10
B
C
C
C
A
E
A
D
D
D

12-01
D
C
A
B
D
E
D
D
C
A

12-10
A
A
E
A
D
C
C
C
D
A

13-01
A
E
B
A
D
C
C
B
D
D

13-10
C
A
D
D
E
E
C
B
C
A

14-01
A
B
C
A
A
D
C
C
C
A

14-10
D
B
B
C
E
D
D
A
C
A

15-01
B
B
D
A
B
D
E
C
C
C

16-01
B
C
A
C
E
A
C
B
A
D

17-01
D
C
A
C
B
B
A
C
C
A

第 2 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

合计
A
B
C
D
E

07-10
4
5
4
1
1

08-01
4
4
2
3
2

08-10
3
4
3
4
1

09-01
1
3
1
3
2

09-10
1
3
2
1
3

10-01
3
1
2
3
1

10-10
3
3
1
2
1

11-01
2
2
2
3
1

11-10
2
1
3
3
1

12-01
4
0
3
2
1

12-10
2
2
2
3
1

13-01
2
1
3
2
1

13-10
4
1
4
1
2

14-01
4
1
4
1
0

14-10
2
2
2
3
1

15-01
1
3
3
2
1

16-01
3
2
3
1
1

17-01
3
2
4
1
0

07-10~17-01
A
B
C
D
E

出现次数
46
40
46
42
21

出现频率
0.236
0.205
0.236
0.215
0.108

第 3 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

解题说明

本类题要求判断所给出的条件能否充分支持题干中陈述的结论，即只要分析条件是否充分即可，而不必考虑条件是否必要.
充分

x ® y ， x 为 y 的充分条件， y 为 x 的必要条件 y ® x ， y 为 x 的充分条件， x 为 y 的必要条件

若 x ® y ， x 为 y 的充分条件，且 y ® x ， x 为 y 的必要条件即 x 为 y 的充分必要条件，即 x = y

对称思维(单选题) x ® y ， x 为 y 的充分条件，只需考虑充分，而不必考虑必要

非对称思维

x2 = 4

x = 2

x = -2

条件

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有 60% . (1)10%的人两种考试都没有通过

(2)20%的人仅通过

题干

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有 60% . (1)10%的人两种考试都没有通过(2)20%的人仅通过了路考

结论

1.申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有 70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有 60% . (1)10%的人两种考试都没有通过

2.申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有 70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，则最后领到驾驶执照的人有 60% . (1)10%的人两种考试都没有通过
三段论

第 4 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

凡人都有死(大前提).

苏格拉底是人(小前提).

所以：苏格拉底有死(结论).

条件(1)充分？

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，

+

(1)10%的人两种考试都没有通过

↓

则最后领到驾驶执照的人有 60% .

条件(2)充分？

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，

+

(2)20%的人仅通过了路考

↓

则最后领到驾驶执照的人有 60%

联合充分？

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考，

+

(1)10%的人两种考试都没有通过不充分

+

(2)20%的人仅通过了路考 不充分

↓

则最后领到驾驶执照的人有 60% .

做题逻辑

第 5 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

大前提：

申请驾驶执照时，必须参加理论考试和路考，且两种考试均通过.若在同一批学员中有

70%的人通过了理论考试，80%的人通过了路考

小前提：

(1)10%的人两种考试都没有通过

结论：

则最后领到驾驶执照的人有 60% .

各选项含义

条件(1)充分，但条件(2)不充分

条件(2)充分，但条件(1)不充分

条件(1)和(2)单独都不充分，但条件(1)和条件(2)联合起来充分

条件(1)充分，条件(2)也充分

条件(1)和(2)单独都不充分，条件(1)和条件(2)联合起来也不充分

解题步骤

(1)当条件(1)充分，备选 A,D

(2)当条件(1)不充分，备选 B,C,E

(3)当条件(1)错误，备选 B,E

(1)充分 A?D?

x = 2

(1) x = 2 (2)XX……XX

A

x = 2

第 6 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

x = 2

x = 3

D

x = 2

x = 2

x = -2

(1)不充分 B?C?E?

x = 2

(1) x = 2

(2)XX……XX

B

x = 2

x = 2

x = 2

C

x = 2

x = 2

x > 0

E

x = 2

x = 2

x < 0

(1)错误 B? E?

x = 2

(1) x = 3 (2)XX……XX

B

x = 2

第 7 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

x = 3

x = 2

E

x = 2

Ȁ̀⠀Ā⤀Āᜀ x = 3

Ȁ̀⠀Ā⤀Āᜀ x = -3

解题步骤

(4)当条件(2)充分，备选 B，D.

(5)当条件(2)不充分，备选 A，C，E.

(6)当条件(2)错误，备选 A，E.

(2)充分 B?D?

x = 2

(1)XX……XX

(2) x = 2

B

x = 2

x = 3

x = 2

D

x = 2

(1) x = -2

第 8 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

(2) x = 2

(2)不充分 A?C?E?

x = 2

(1)XX……XX

(2) x = 2

A

x = 2

x = 2

x = 2

C

x = 2

x > 0

x = 2

E

x = 2

x < 0

x = 2

(2)错误 A? E?

x = 2

(1)XX……XX

(2) x = 3

A

x = 2

x = 2

x = 3

E

x = 2

第 9 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

x = -3

x = 3

解题步骤

(7)只有在条件(1)和(2)皆不成立时才考虑联合，备选 C，E.

D

x = 2

x = 2

x = -2

E

x = 3

x = 2

x = -2

C

x = 3

x ³ 3

x £ 3

两个条件都不充分，才联合，联合取交集，逻辑为“且” .

第 10 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

应试技巧

只可从条件推结论

x +1)(x - 3) > 0

x = 4

x = -1

结论只可等价变换

(x +1)(x - 3) > 0

x = 4

x = -1

答案：A

ᜀĀᜀĀ 子集充分

-3 < x < 3

-5 < x < 5

-1 < x <1

ᜀĀᜀĀ 一票否决

-3 < x < 3

-5 < x < 5

-1 < x <1

举正例无效

-3 < x < 3

-5 < x < 5

-1 < x <1

答案：B

联合是“且”

-3 < x < 3

-3 £ x £ 0

0 £ x £ 3

答案：C

第 11 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

考题原型

x = 2, y = 3

x : y = 2 : 3

x = 2, y = 3

x : y = 2 : 3

x = 2, y = 3

3x - 2 y = 0

x =1

x 为方程 x2 + 2x - 3 = 0 的正实根

x2 = 1

x2 =1

x =1

x2 = 1

x3 =1

x =1

x2 =1

x =1

x > 0

x2 =1

x =1

x ³ 1

x £ 1

x + y = 10

x = 5

y = 5

已知 x + y = 6 ，则 xy = 8

x = 2

y = 4

已知 x + y + z = 10 ，则 y + z = 5

x + y = 7

12 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

z = 3

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ 已知 x + y + z = 5 ，则 z 最大

ĀȀ⸀Āᜀ x = 2

ĀȀ⸀Āᜀ y <1

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ x = ±1

ĀȀ⸀Āᜀ x = +1

ĀȀ⸀Āᜀ x = -1

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ x ¹ ±1

ĀȀ⸀Āᜀ x ¹ +1

ĀȀ⸀Āᜀ x ¹ -1

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ 1 < x < 4

ĀȀ⸀Āᜀ x > 2

ĀȀ⸀Āᜀ x < 3

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ -3 £ x £ 3

ĀȀ⸀Āᜀ -3 £ x £ 3

ĀȀ⸀Āᜀ -1 < x <1

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ x ³ 3

ĀȀ⸀Āᜀ x > 3

ĀȀ⸀Āᜀ x = 3

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ x >1 或 x < -1

ĀȀ⸀Āᜀ x >1

ĀȀ⸀Āᜀ x < -1

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ 2 < x < 6

ĀȀ⸀Āᜀ 0 < x < 3

ĀȀ⸀Āᜀ 1 < x < 5

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ 5 < x < 6 或 x >14

ĀȀ⸀Āᜀ x > 5

ĀȀ⸀Āᜀ x < 6

Ȁ⸀ĀᜀĀᜀ 0 < x <1

ĀȀ⸀Āᜀ x < -1 或 0 < x <1

ĀȀ⸀Āᜀ 0 < x < 2

第 13 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

(x -1)( y - 2) > 0

x >1

y > 2

x + y £ 9

x £ 3

y £ 4

x2 y ³ 0

y ³ 0

x ³ 0

-1 < x <1

x ³ 0

x £ 0

-1 < x <1

x ³ 2

x £ 2

【答案】BAADA CCCDE CDCCD DDECC CCACE

第 14 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

第一章 实数

第一部分：概念

第二部分：总结

第 15 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

数的整除

(2006-10-03) 将放有乒乓球的 577 个盒子从左到右排成一行，如果最左边的盒子里放了 6 个乒乓球，且每相邻的四个盒子里共有 32 个乒乓球，那么最右边的盒子里的乒乓球个数为( ).

A.6
B.7
C.8
D.9
E.以上结论均不正确

(2010-10-08) 一次考试有 20 道题，做对一题得 8 分，做错一题扣 5 分，不做不计分.某同学共得 13 分，则该同学没做的题数是( ).
A.4 B.6 C.7 D.8 E.9

(2011-01-13) 在年底的献爱心活动中，某单位共有 100 人参加捐款.经统计，捐款总额是 19000 元，个人捐款数额有 100 元、500 元和 2000 元三种.该单位捐款 500 元的人数为( ).

A.13 B.18 C.25 D.30 E.38

(2016-01-18) 利用长度为 a 和 b 的两种管材能连接成长度为 37 的管道(单位：米).

a = 3,b = 5

a = 4,b = 6

(2017-01-13) 某公司用 1 万元购买了价格分别为 1750 和 950 的甲、乙两种办公设备，则购买甲、乙办公设备的件数分别为( ).

A.3，5 B.5，3 C.4，4 D.2，6 E.6，2

(2015-01-06) 在某次考试中，甲、乙、丙三个班的平均成绩分别为 80，81 和 81.5，三个班的学生得分之和为 6952，三个班共有学生( ).

A.85 名
B.86 名
C.87 名
D.88 名
E.90 名
【答案】 ACAAA
B

奇、偶数

(2012-01-20) 已知 m, n 为正整数，则 m 为偶数.

3m + 2n 是偶数

3m2 + 2n2 是偶数

(2013-10-16) m2 n2 -1 能被 2 整除.

m 是奇数

16 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

n 是奇数

(2014-10-22) m2 - n2 是 4 的倍数.

m, n 都是偶数

m, n 都是奇数

(2016-01-18) 利用长度为 a 和 b 的两种管材能连接成长度为 37 的管道(单位：米).

a = 3,b = 5

a = 4,b = 6

(2010-01-17) 有偶数位来宾

(1)聚会时所有来宾都被安排坐在一张圆桌周围，且每位来宾与邻座性别不同

(2)聚会时男宾人数是女宾人数的两倍

【答案】DCDAA

质数

(2010-01-03) 三名小孩中有一名学龄前儿童(年龄不足 6 岁)，他们的年龄都是质数(素数)，且依次相差 6 岁，他们的年龄之和为( ).

A.21

B.27
C.33

D.39

E.51
2.
(1998-10-06)若方程 x2 + px + 37 = 0 恰有两个正整数解 x
和 x ，则 (x1 +1)(x2 +1)

1
2
p

的值是(
).

A. -2

B. -1
C. - 1

D.1

E.2

2

3.
(2015-01-03)设 m, n 是小于 20 的质数，满足条件

m - n

= 2 的 {m, n} 共有(
).

A.2 组

B.3 组
C.4 组

D.5 组

E.6 组
4.
(2011-01-12) 设 a,b, c 是 小 于 12
的 三 个 不 同 的 质 数 ( 素 数 ) ， 且

a - b

+

b - c

+

c - a

= 8 ，则 a + b + c = (
).

A.10

B.12
C.14

D.15

E.1

【答案】CACD

第 17 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

合数

(2014-10-01) 两个相邻的正整数都是合数，则这两个数的乘积的最小值是( ).

A.420 B.240 C.210 D.90 E.72

(2014-01-10) 若几个质数(素数)的乘积为 770，则它们的和为( ).

A.85 B.84 C.28 D.26 E.25

(2008-10-23) 14n 是一个整数.

(1)n 是一个整数，且 143n 也是一个整数

n
(2)n 是一个整数，且 7 也是一个整数

(2009-10-16) a + b + c + d + e 的最大值是 133.

a,b, c, d , e 是大于 1 的自然数，且 abcde = 2700

a,b, c, d , e 是大于 1 的自然数，且 abcde = 2000

(2013-01-17) p = mq +1 为质数.

m 为正整数， q 为质数

m, q 均为质数

【答案】EEABE

公约数

(2010-10-05) 某种同样的商品装成一箱，每个商品的重量都超过 1 千克，并且是

1 千克的整数倍，去掉箱子重量后净重 210 千克，拿出若干个商品后，净重 183 千克，则每个商品的重量为( )千克
A.1 B.2 C.3 D.4 E.5

(2000-10-02) 甲乙两机床 4 小时共生产某种零件 360 个，现在两台机床同时生产这种零件，在相同时间内，甲机床生产了 1225 个，乙机床生产了 1025 个，甲机床每小时生产零件( ).

A.49 个 B.50 个 C.51 个 D.52

第 18 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

(2017-01-05) 将长、宽、高分别为 12、9、6 的长方体切割成正方体，且切割后无剩余，能切割成相同的正方体的最少个数为( ).
A.3

B.6

C.24

D.96

E.648

(2007-01-05) 某自来水公司的水费计算方法如下：每户每月用水不超过 5 吨的，每吨收费 4 元，超过 5 吨的，每吨收取较高标准的费用.已知 9 月份张家的用水量比李家的用水量多 50%，张家和李家的水费分别是 90 元和 55 元，则用水量超过 5 吨的收费标准是( ).

A.5 元/吨 B.5.5 元/吨 C.6 元/吨

D.6.5 元/吨 E.7 元/吨

【答案】CACE

公倍数

(2016-01-07) 从 1 到 100 的整数中任取一个数，则该数能被 5 或 7 整除的概率为

( ).

A.0.02 B.0.14 C.0.2 D.0.32 E.0.34

(2000-10-03) 车间工会为职工买来足球、排球和篮球共 94 个.按人数平均每 3 人一只足球，每 4 人一只排球，每 5 人一只篮球，该车间共有职工( ).
A.110 B.115 C.120 D.125

【答案】DC

第 19 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

第二章 绝对值

第一部分：概念

第二部分：总结

第 20 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

绝对值定义

(2006-10-15) b - a + c - b - c = a

(1)实数 a, b, c 在数轴上的的位置为

. . .
.

c
b
0
a
x

(2)实数 a, b, c 在数轴上的的位置为

. . .
.

a
0
b
c

x

2. (2011-10-24)

ì1, x > 0

， f (x ) =

x -1

- g (x )

x +1

+

x - 2

+

x + 2

已知 g (x) = í

，

î-1, x < 0

则 f (x ) 是与 x 无关的常数.

-1 < x < 0

1 < x < 2

3. (2002-10-06)
已知 t 2 - 3t -18 £ 0 ，则

t + 4

+

t - 6

(
).

A. 2t - 2
B.10
C.3
D. 2t + 2

(2007-10-30) 方程 x +1 + x = 2 无根.

x Î(-¥, -1)

x Î(-1,0)

(2009-10-08) 设 y =| x - a | + | x - 20 | + | x - a - 20 | ，其中 0 < a < 20 ，则对于满足

a £ x £ 20 的 x 值， y 的最小值是(
).

A.10
B.15

C.20

D.25

E.30
6. (2017-01-10)
不等式

x -1

+ x £ 2 的解集为(

).

A. (-¥,1]

æ
3 ù
é
3
ù
D. [1, +¥)
é
3
ö
B. ç -¥,
ú
C. ê1,
2
ú
E. ê
2
, +¥ ÷

è
2 û
ë
û

ë
ø

(2012-10-25) x2 - x - 5 > 2x -1 .

21 页 共 190 页

总部地址：北京市西城区西直门南大街 2 号成铭大厦 C 座

x > 4

x < -1

【答案】ADBBC BA

绝对值方程与不等式

1. (2007-01-01) 如果方程 x = ax +1有一个负根，那么 a 的取值范围是( ).

a <1

a < -1

(2009-01-06) 方程 x - 2x

x = -5 或 x =1

x = -3 或 x = - 53

(2017-01-10) 不等式 x -1

(-¥,1]

D. [1, +¥)

4. (2012-10-25) x2 - x - 5 >

x > 4

x < -1

B. a =1

E.以上结论均不正确

+1 = 4 的根是( ).

B. x = 5 或 x = -1

E.不存在

+ x £ 2 的解集为( ).

æç -¥,