二次根式.doc

2009年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
二次根式
◆知识讲解
1．二次根式
式子（a≥0）叫做二次根式．
2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．二次根式的性质
①（）2=a（a≥0）； ②=│a│=；
③=·（a≥0，b≥0）； ④（b≥0，a>0）．
5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
6．二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
◆例题解析
例1 填空题：
（1）下列各式，
其中是二次根式的是_________（填序号）．
（2）若式子有意义，则x的取值范围是_______．
（3）实数a，b，c，如图所示，化简－│a－b│+=______．

【解答】（1）1) 3) 4) 5) 7)．
（2）由x－3≥0及－2≠0，得x≥3且x≠7．
（3）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│
∴=－a，－│a－b│=a－b，=b+c
∴－│a－b│+=c．
例2 选择题：
（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和                       B．和
C．
（2）在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
（3）已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】（1）∵=3，∴与不是同类二次根式，A错．
=，
∴与是同类二次根，∴B正确．
∵=│a│，
∴C错，而显然，D错，∴选B．
（2）选C．
（3）∵a>b>0，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2
=a+b－2=4
∴，故选A．
例3（2006，辽宁十一市）先化简，再求值：
，其中a=，b=．
【解答】原式＝
当a=，b=时，原式＝．

◆强化训练
一、填空题
1．（2007，福州）当x______时，二次根式在实数范围内有意义．
2．已知0<x<1，则=______．
3．已知最简二次根式是同类二次根式，则a=______，b=_______．
4．（2008，长沙）已知a，b为两个连续整数，且a<<b，则a+b=______．
5．已知实数x，y满足x2+y2－4x－2y+5=0，则的值为________．
6．（2006，内蒙古）已知a－b=2－1，ab=，则（a+1）（b－1）=_______．
7．观察下列分母有理化的计算：，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：
+1）=________．
二、选择题
8．（2006，四川南充）已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
9．已知xy>0，化简二次根式x的正确结果为（ ）
A．
10．化简，甲，乙两位同学的解法如下

对于甲，乙两位同学的解法，正确的判断（ ）
A．甲，乙的解法都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲，乙都不正确 D．甲不正确，乙正确
11．若3+的小数部分是a，3－的小数部分为b，则a+b等于（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
12．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+ 的结果等于（ ）
A．－2b B．2b C．－2a D．2a
13．若a=3－，则代数式a2－6a－2的值为（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．3
14．若ab≠0，则等式－成立的条件是（ ）
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
15．（2007，连云港）已知m，n是两个连续自然数（m<n），且q=mn，设p=，则p（ ）
A．总是奇数 B．总是偶数
C．有时是奇数，有时是偶数 D．有时是有理数，有时是无理数
三、解答题
16．计算：（1）（2008，上海）计算：+（－）+。

（2）（2008，南通）计算：（3+。

17．（2008，广州）如图所示，实数a，b在数轴上的位置，化简．

18．（2006，江苏淮安）已知x=+1，求（）÷的值．

19．对于题目“化简求值：+，其中a=”，甲、乙两个学生的解答不同．
甲的解答是：+=+=+－a=
乙的解答是：+=+=+a－=a=
谁的解答是错误的？为什么？

答案:
1．x≥3 2．2x 3．0 2
4．5 5．3+2 6．－ 7．2005
8．C 9．D 10．A 11．B 12．A 13．B 14．B 15．A
16．（1）4 （2）2 17．－2b
18．原式==－
19．对于甲的解答，当a=时，－a=5－=4>0，=－a正确；
而乙的解答，当a=时，a－=－5=－4<0，≠a－，
因此乙的解答是错误的．