关于罗尔定理有关问题的证明方法.doc

. 罗尔定理的应用题：1. 设函数在上二阶可导，且，. 又在内二阶可导，且，证明：，使得.证明：构造辅助函数 。由于在内二阶可导，且所以在上恒正或恒负，不妨假设.由于，不妨假设, 则因为，由极限的保号性，存在使得，存在使得.显然有. 在闭区间上应用区间套定理，可得 ，使得-事实上，取，将区间二等分，取其中之一的子区间为，它满足，按照这种规则一直取下去，就得到一个闭区间套，由闭区间套定理，存在使得，由极限的保号性知，故再由拉格朗日定理得，且，（极限保号性）-从而 ，i) 若，因为，由零点定理得 ，使，又因为，由零点定理得 ，使，最后在上对函数应用罗尔定理，即存在，使得，从而得到.ii) 若，因为在上连续，且，由连续函数的最值定理，必，使得，即在内部取到最小值，由费马定理得，因而得到 . 证毕！点评：在证明形如 “存在某一中值，使其满足方程”，这一类问题中，基本的思路：1）构造辅助函数，（借助微分运算的方法， k值法等）； 2）验证满足罗尔定理的三个条件，若满足，则存在，使得，命题得到证明。一般罗尔定理的前两个条件往往容易满足，端点值相等这个条件有时不易满足，此时就要通过题设条件，找到一个子区间，使其满足，然后在闭区间上应用罗尔定理。 若利用题设条件不易找到子区间，那么证明的思路就要转向去寻找内部的极值点（最值点），（其中要用到连续函数的最值定理），再由费马定理得到存在，使得，命题得到证明。2 / 2