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概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 58 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第四节 连续型随机变量及其概率密度 课时：2 教学目的 教学目的(1)理解连续型随机变量及其概率密度的概念理解连续型随机变量及其概率密度的概念；(2)掌握正态分布掌握正态分布；(3)掌握均匀分布和指数分布掌握均匀分布和指数分布。内容 内容(1)连续型随机变量概率密度的性质;(2)均匀分布、正态分布的相关问题的计算与应用。教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强连续型随机变量概率密度和性质的讲评，加大关于均匀分布、正态分布的例题讲解力度，布置作业训练巩固。内容 内容 连续型随机变量概率密度和分布函数的计算。教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 加大例题讲解力度，特别是寻找解法程序和注意事项。教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析。习题布置 习题布置 P59：1、2、4、5、6、7、9、12。参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指导书.大连理工大学出版社，2015 年 8 月.3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.光盘：概率论与数理统计教案、作业册与试卷考题及答案、数学实验视频.大连理工大学出版社，2015 年 8月.4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验教材.中国科学技术出版社，2007 年 7 月.联系方式： 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 59 页页 教 学 内 容 教学笔记教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介本次课我们讲授：对于连续型随机变量 X,同离散型随机变量 X 并行研究,先后讨论概率密度函数、分布函数和随机变量函数的概率分布问题,其中重点研究三种常用的连续型随机变量的分布均匀分布、指数分布和正态分布.预备知识 预备知识 反常积分，原函数，积分的几何意义，定积分与反常积分计算，奇偶函数，单调增函数，函数连续性.第四节 连续型随机变量及其概率密度 第四节 连续型随机变量及其概率密度 一、连续型随机变量的概率密度 一、连续型随机变量的概率密度 定义 设定义 设 F(x)是随机变量是随机变量 X 的分布函数的分布函数,如果存在一个非负可积函数如果存在一个非负可积函数 f(x),使得对于任意的实数使得对于任意的实数 x,有有 F(x)=PXx=()d(),xf tt,x,(4.1)则称则称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量(continuous random variable)，其中函数其中函数 f(x)称为称为 X的概率密度的概率密度,又称为概率密度函数(又称为概率密度函数(probability density function).连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)与概率密度 f(x)的关系的几何解释如图2-6 所示.图 2-6 分布函数图 2-6 分布函数 F(x)与概率密度与概率密度 f(x)关系关系由上述定义可知,概率密度 f(x)具有以下性质：(1)f(x)0,x(-,+).(2)()d1f xx.性质(2)说明,介于曲线 y=f(x)与 Ox 轴之间的面积等于 1(见图 2-7).概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 60 页页 图 2-7 图 2-7()d1f x x的几何意义的几何意义可 以 验 证,对 于 满 足 性 质(1)和(2)的 函 数 f(x)，作 函 数 G(x)=()d(),xf tt,x,得到 G(x)是某一个随机变量 X 的分布函数，而 f(x)是随机变量 X 的概率密度.概率密度 f(x)除了满足上述性质(1),(2)外,常用的性质还有:(3)对于任意实数对于任意实数 x1,x2(x1x2),Px1Xx2=F(x2)-F(x1)=21()dxxf xx.(4.2)性质(3)告诉我们,随机变量(看作一个点)X 落在区间(x1,x2上的概率Px1Xx2等于曲线 y=f(x)在区间(x1,x2上的曲边梯形的面积(见图 2-8).图 2-8图 2-8 P x1Xx2=21()dxxf xx的几何意义 更一般地，对于直线上任一区间或由若干个不相交的区间组成的区域 A，随机变量随机变量 X 在区域在区域 A 中取值的概率为中取值的概率为 dAP XAf xx.(4.3)上式由(4.2)式和积分区间可加性立即得到.(4)若若 f(x)在点在点 x 处连续,则有处连续,则有).()(xfxF 这是因为对于 f(x)的连续点 x,总有 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 61 页页 00()d()()()limlim()xxxxxf ttF xxF xF xf xxx.上式还告诉我们，X 的概率密度 f(x)在x这一点的值,恰好是 X 落在区间(x,x+x上的概率()()F xxF x与区间长度x 之比的极限.若不计高阶无穷小,有()()F xxF x=PxXx+x f(x)x.它表示随机变量 X 取值落入区间(x,x+x的概率近似等于 f(x)x.(5)连续型随机变量连续型随机变量 X 取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为 0,即即PX=a=0,a 为任一常数为任一常数.这是因为PX=a=0lim()d()d0.aaaaf xxf x x 因此,对连续型随机变量 X,(4.2)式成为 Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2=Px1Xx2.(4.4)(6)连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数 F(x)是处处连续的是处处连续的.由定义即可看出这个结论是对的.而本章第三节定义(3.1)式得到的分布函数 F(x)仅是右连续的.应该注意到，性质(5),(6)这两点对离散型随机变量是不成立的.例例 2.4.1 设连续型随机变量 X 的概率密度 2,1,()10,1.kxf xxx 试求:(1)常数 k;(2)P|X|0.5;(3)X 的分布函数.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 62 页页 解解 (1)因为()d1,f xx 故由反常积分计算得到 11121()ddarcsin1kf xxxkxkx,所以 k=1.(2)所求概率 0.50.50.50.50.50.520.50.50.5()dd11arcsin.31PXPXf xxxxx(3)因为()()d,xF xf tt 得到：当 x-1 时,()()d0d0 xxF xf ttt；当-1x1 时,1211d()()d0d1111arcsinarcsin;2xxxtF xf tttttx当 x1 时,F(x)=11211d()d0d0d1xxtf ttttt=1.综合上述分析,得到 X 的分布函数为 0,1,11()arcsin,11,21,1.xF xxxx 概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 63 页页 二、常用三种连续型随机变量的分布 二、常用三种连续型随机变量的分布 常用的连续型随机变量的分布有均匀分布、指数分布和正态分布.1.均匀分布(.均匀分布(Uniform distribution)若连续型随机变量 X 的概率密度为 1,()0,.axbf xba其它 (4.5)则称 X 在区间在区间(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,记为记为 XU(a,b),a,b 为分布参数,且为分布参数,且 ab.显然,均匀分布的分布函数为 0,(),1,.xaxaF xaxbbaxb，(4.6)均匀分布的概率密度 f(x)及分布函数 F(x)的图像分别如图 2-9,2-10 所示.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 64 页页 图图 2-9 均匀分布 均匀分布 U(a,b)的概率密度图像的概率密度图像 图图 2-10 均匀分布 均匀分布 U(a,b)的分布函数图像的分布函数图像 若 XU(a,b)，则对于满足 a c0 是一常数，则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布,记为记为 XE().易知指数分布的分布函数为1 e,0,()0,0.xxF xx (4.8)指数分布常用于可靠性分析研究中，如元件的寿命、动植物的寿命、服务系统的服务时间等等.例例 2.4.3 多年统计表明,某厂生产的电视机的寿命 X E(0.2)(单位:万小时).(1)某人购买了一台该厂生产的电视机,问其寿命超过 4 万小时的概率是多少?(2)某单位一次购买了 10 台这种电视机,问至少有 2 台寿命大于 4 万小时的概率是多少?(3)若已知一台电视机的寿命大于 4 万小时，问这台电视机的寿命大于 5万小时的概率是多少？概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 65 页页 解解 由题设知,随机变量 X 的概率密度为 0.20.2e,0,()0,0.xxf xx (1)电视机寿命超过 4 万小时的概率为 0.20.20.84440.2edee0.4493.xxP Xx (2)设Y表示10台电视机中寿命大于4万小时的台数,则Y服从二项分布,由(1)的结果得到 Y B(10,0.8e).于是 PY2=1-PY=0-PY=1 001011910101(0.4493)(0.5507)(0.4493)(0.5507)CC 0.9765.(3)这是求条件概率 PX 5|X 4.PX 5|X 4=(4,5)(4)P XXP X1.00.20.8(5)ee.(4)eP XP X 3.正态分布(.正态分布(Normal distribution)正态分布是在 19 世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广,所以又称为高斯分布（高斯分布（Gaussian distribution）.）.(1)正态分布的定义正态分布的定义若连续型随机变量 X 的概率密度为 22()21()e,2xf xx ,(4.9)则称 X 服从参数为服从参数为 和和 2的正态分布的正态分布,记为记为 XN(,2),概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 66 页页 其中 和(0)都是常数.f(x)所确定的曲线称为正态曲线正态曲线（normal curve）.(2)正态分布的图形特点正态分布的图形特点正态分布的概率密度图像见图 2-11.图 2-11 正态分布的概率密度及参数图 2-11 正态分布的概率密度及参数,含义含义 从图 2-11 容易看出：(i)正态曲线是一条关于 x=对称的钟形曲线;(ii)概率密度 f(x)在 x=处达到最大值1()2f;(iii)正态曲线在 x=处有两个拐点；(iv)当 x时,正态曲线以 x 轴为渐近线.(v)参数 决定正态曲线的中心位置：当 取不同值时,图像将会发生左右方向平移；参数 决定正态曲线的陡峭程度:当 较大时,曲线较平坦;当 较小时,曲线较陡峭.(3)分布函数分布函数设 XN(,2),则随机变量 X 的分布函数是 22()21()ed,2xxF xxx .(4.10)(4)标准正态分布标准正态分布 当=0,=1 时,得到的正态分布 N(0,1)称为标准正态分布（标准正态分布（standard normal distribution）.其概率密度和分布函数常用(x)和(x)表示.即 221()e,2xxx ,(4.11)(x)=221ed,2xxxx .(4.12)关于(x)的图像和(x)的几何意义见图 2-12.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 67 页页 图图 2-12 标准正态分布概率密度 标准正态分布概率密度(x)和分布函数和分布函数(x)关系关系关于标准正态分布函数(x)和概率密度(x)有以下性质:(i)(0)=0.5,(0)=21;(ii)(-x)=1-(x),(-x)=(x).标准正态分布的重要性在于:任何一个正态分布 N(,2)都可以通过线性变换转化为标准正态分布.它的依据是下面的定理：定理定理 设 X N(,2),则标准化随机变量X*=XN(0,1)证证*XX的分布函数为*XPxPxX=PX+x =22()21ed,2txt 令ut,得 221ed2*uxPxuX(x),由此知*XX N(0,1).根据本定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表格,就可以解决正态分布的概率计算问题.概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 68 页页(5)标准正态分布表及正态分布的概率计算标准正态分布表及正态分布的概率计算书末附有标准正态分布表(见第 259 页附表 4).借助于该表,可以解决正态分布的概率计算问题.表中给的是当 x0 时(x)的值.对于 x0 时,用关系式(x)=1-(-x)(4.13)计算.(i)若 XN(0,1),则 X 落在区间(a,b的概率为 Pa0).(4.15)(ii)若 XN(,2),则XN(0,1),且有分布函数关系：()XxF xP XxP()x.(4.16)求导,得概率密度关系：1()().xf x (4.17)于是，得到 X 落在区间(a,b的概率计算公式：PaXb=aXbP=()b()a.(4.18)(iii)3 准则:当 X N(,2)时,有 PX=0.6826,PX2=0.9544,PX3=0.9974.这表明,X 的取值几乎全部集中在区间-3,+3内.这在统计学上称作 3 准则准则(也称为三倍标准差原则三倍标准差原则).概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 69 页页(6)标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点为了便于今后在数理统计中的应用,对于服从标准正态分布的随机变量,我们引出上 分位点的定义.设 XN(0,1),对于给定的正数(0z=,(4.19)则称数 z为标准正态分布的上上 分位点分位点.标准正态分布的上 分位点的几何关系如图 2-13 所示.图 2-13 标准正态分布上图 2-13 标准正态分布上 分位点分位点 z特别地,由(x)图像的对称性知道 1zz.(4.20)显然,由 PXz=得到(z)=PXz=1-.(4.21)上述公式常用来反查标准正态分布表确定上分位点 z.查第 259 页附表 4得到，z0.025=1.96.例例 2.4.4 设随机变量)2,3(2NX.(1)计算25PX,|2PX；(2)确定 c 使得3;P XcP Xc(3)设 d 满足 0.9P Xd,问 d 至多为多少？概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 70 页页 解解 (1)利用(4.18)式，查标准正态分布表，得到 P2x5=5323()()22=(1)(0.5)=0.5328,|2PX=2P X+2P X=123()2+23()2 =0.6977.(2)由 3P XcP Xc,得 3(1)P XcP Xc,即 0.75P Xc.由于 P Xc=333()222XccP，所以3()2c=0.75，反查正态分布表知()0.675=0.75.因为正态分布函数(x)是单调不减函数，因此得到30.675,2c于是 c=4.35.(3)0.9P Xd 即 13()0.92d,也就是 3()0.9(1.282)2d.利用正态分布函数(x)单调递增性,当且仅当31.2822d 时成立 0.9P Xd.解得 32 1.2820.436d.即满足 0.9P Xd关系式的 d 至多为 0.436.思考题思考题 1.连续型随机变量的概率密度具有哪些性质？2.满足哪些条件的函数 f(x)可以看作某个连续型随机变量的概率密度？3.连续型随机变量的分布函数与其概率密度之间的关系有哪些？试分别用语言和数学公式表述.解题参考 解题参考 1.见教材第 46 页概率密度的性质(1)(5).2.满足性质 f(x)0,x(-,+)和()d1f xx的函数 f(x)可以作为某个连续型随机变量的概率密度.3.已知概率密度求分布函数：F(x)=PXx=()d()xf tt,x,；概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第二章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 71 页页 已知分布函数求概率密度：若 f(x)在点 x 处连续,则有 0(),(),.F xxf x是连续点，其它 小 结 与 思 考小 结 与 思 考 本次课我们介绍了连续型随机变量、概率密度及其性质、分布函数的求法,这里的例 2 到例 5 在学习方法上应熟练掌握.对于三种重要的常用的连续型随机变量分布，必须掌握它们的概率密度及参数意义.特别是，正态分布、标准正态分布的性质要熟练掌握，它们是今后学习本课程的理论与应用的重要的基础.