本科工科数学分析期末试卷及答案.doc

姓名 学号 学院 专业班级 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考，考试作弊将带来严重后果！ 本科生期末考试工科数学分析2021-2022学年第一学期期末考试试卷（A）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五总分得 分 评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）. 极限 ；. 设由方程确定，则在点处的切线方程为 ；. 设，则 ；. ；得分. 反常积分 .二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 求极限.2. 求不定积分 .3. 计算定积分.得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）1. 设有二阶连续的导数，且，设.求，并讨论在点的连续性.2. 设曲线方程为 ，求.3. 求函数的单调区间，极值以及上凸，下凸区间和拐点（要求列表）.4. 求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周而成的立体的体积.得分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分） 1. 设在上二阶可导，且，且当时，.证明：方程在内只有唯一实根.2. 证明：函数在上一致连续，但在上不一致连续.得分五、应用题（本题9分）将长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多少时，正方形和圆形的面积之和最小？姓名 学号 学院 专业班级 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考，考试作弊将带来严重后果！ 本科生期末考试答案 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五总分得 分 评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）. 设 在连续，则；. 设对任意都满足等式，且，其中为非零常数，则；. 设，则；或. ；得分. 反常积分.二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 求极限，其中在的邻域内连续，且.解：令， 2分则 4分 6分 8分2. 求不定积分 .解： 3分 6分 8分3. 计算定积分.解：令， 2分则 6分 8分得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分）1. 设，证明收敛，并求其极限.证明: , 即有上界. 3分,即单调增加, 6分结合(1),利用单调有界收敛性定理知道, 收敛. (3)设，在等式两边取极限，得到,则，（舍去）。故. 8分2. 设曲线方程为 ，求.解: 4分 6分 8分3. 求函数的单调区间，极值以及上凸，下凸区间和拐点（要求列表）.解: 的定义域为. 令,得到, 令,得到 2分(3)列表拐点极大值拐点6分(4) 函数的单调增区间是: ,单调减区间是: ;函数的极大值为;无极小值。函数的上凸区间为：，下凸区间为：，。函数的拐点为: ,. 8分4. 求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周而成的立体的体积.解: (1)面积 3分 4分 (2) 绕轴旋转一周而成的立体的体积 7分 8分（2） 另解： 7分 8分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分） 1. 证明：当时，.证明：方法一：令，则，4分 利用Taylor公式， 8分则 所以，当时，.。 10分方法二：（1）设，则 4分 （2）因为时，所以利用严格单调性烦人判定法，知道，在上严格单调减少，从而时，。8分（3）同理，由于，则在上严格单调减少，从而时，即。 10分2. 证明：函数在上一致连续，但在上不一致连续.证明：（1）由于在上连续，利用Contor定理，从而在上一致连续，从而在上一致连续。 5分 或，3分令，解得，取，则，当时，有。故，函数在上一致连续。5分（2），且，但是，故，函数在上不一致连续. 10分得分五、应用题（本题9分）从直径为的圆形树干上切出横截面为矩形的梁，此矩形的中心在圆心，其底等于，高等于.若梁的强度与成正比例，问梁的尺寸为何时，其强度最大？解：（1）由于，则问题为求在上的最大值。4分（2）令，解得 （唯一）8分又根据实际问题，所求的最大强度存在，所以，当梁的底为，高时，梁的强度最大。9分 工科数学分析（一） 试卷 第 13 页 共 13 页