本科工科数学分析期末试卷及答案.doc

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姓名学号学院专业班级座位号 ( 密封线内不答题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ … 诚信应考，考试作弊将带来严重后果！本科生期末考试《工科数学分析》2021-2022学年第一学期期末考试试卷（A）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3．考试形式：闭卷 4. 本试卷共 5个大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）１. 极限；２. 设由方程确定，则在点处的切线方程为；３. 设，则；４. ；得分５. 反常积分 . 二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分） 1. 求极限. 2. 求不定积分 . 3. 计算定积分. 得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分） 1. 设有二阶连续的导数，且，设.求，并讨论在点的连续性. 2. 设曲线方程为，求. 3. 求函数的单调区间，极值以及上凸，下凸区间和拐点（要求列表）. 4. 求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周而成的立体的体积. 得分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分） 1. 设在上二阶可导，且，且当时，. 证明：方程在内只有唯一实根. 2. 证明：函数在上一致连续，但在上不一致连续. 得分五、应用题（本题9分）将长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各为多少时，正方形和圆形的面积之和最小？姓名学号学院专业班级座位号 ( 密封线内不答题 ) ……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线……………………………………… _____________ ________ … 诚信应考，考试作弊将带来严重后果！本科生期末考试答案 4. 本试卷共 5个大题，满分100分，考试时间120分钟。题号一二三四五总分得分评阅教师请在试卷袋上评阅栏签名得分一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）６. 设在连续，则；７. 设对任意都满足等式，且，其中为非零常数，则；８. 设，则；或９. ；得分１０. 反常积分. 二、计算下列各题（共3小题，每小题8分，共24分） 1. 求极限，其中在的邻域内连续，且. 解：令， ……2分则 ……4分 ……6分 ……8分 2. 求不定积分 . 解： ……3分 ……6分 ……8分 3. 计算定积分. 解：令， ……2分则 ……6分 ……8分得分三、解答下列各题（共4小题，每小题8分，共32分） 1. 设，证明收敛，并求其极限. 证明: , 即有上界. ……3分 , 即单调增加, ……6分结合(1),利用单调有界收敛性定理知道, 收敛. (3)设，在等式两边取极限，得到 ,则，（舍去）。故. ……8分 2. 设曲线方程为，求. 解: ……4分 ……6分 ……8分 3. 求函数的单调区间，极值以及上凸，下凸区间和拐点（要求列表）. 解: 的定义域为. 令,得到, 令,得到 ……2分 (3)列表拐点极大值拐点 ……6分 (4) 函数的单调增区间是: ,单调减区间是: ; 函数的极大值为;无极小值。函数的上凸区间为：，下凸区间为：，。函数的拐点为: ,. ……8分 4. 求由曲线和轴所围成的平面图形的面积，并求此图形绕轴旋转一周而成的立体的体积. 解: (1)面积 ……3分 ……4分 (2) 绕轴旋转一周而成的立体的体积 ……7分 ……8分（2）另解： ……7分 ……8分四、证明题（共2小题，每小题10分，共20分） 1. 证明：当时，. 证明：方法一：令，则，……4分利用Taylor公式， ……8分则所以，当时，.。 ……10分方法二：（1）设，则 ……4分（2）因为时，所以利用严格单调性烦人判定法，知道，在上严格单调减少，从而时，。……8分（3）同理，由于，则在上严格单调减少，从而时，，即。 ……10分 2. 证明：函数在上一致连续，但在上不一致连续. 证明：（1）由于在上连续，利用Contor定理，从而在上一致连续，从而在上一致连续。 ……5分或，……3分令，解得，取，则，当时，有。故，函数在上一致连续。……5分（2），且，但是，故，函数在上不一致连续. ……10分得分五、应用题（本题9分）从直径为的圆形树干上切出横截面为矩形的梁，此矩形的中心在圆心，其底等于，高等于.若梁的强度与成正比例，问梁的尺寸为何时，其强度最大？解：（1）由于，则问题为求在上的最大值。……4分（2）令，解得（唯一）……8分又根据实际问题，所求的最大强度存在，所以，当梁的底为，高时，梁的强度最大。……9分《工科数学分析（一））》试卷第 13 页共 13 页

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