工科数学分析期中考试卷及答案.doc

姓名 学号 学院 专业班级 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 大学期中考试工科数学分析2021-2022学年第一学期期中考试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 4个 大题，满分100分，考试时间90分钟。题 号一二三四总分得 分得分一、 计算题（3小题，每小题12分，共36分）1. 设，求证 2. 求极限 。3. 设曲线的参数方程为，求.得分二、解答题（2小题，每小题12分，共24分）1. 设，其中连续，且求(1);(2)讨论在实数上的连续性。2. 设是0,1上的二阶可导函数，且满足条件设(1)写出f(x) 在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。(2)证明得分三、证明题（2小题，每小题15分，共30分） 1. 设函数，且与都存在，证明：在上一致连续。 2. 证明: 设为实数， 。求证 得分四、应用题（本小题10分） 设 在椭圆的第一象限中求一点，使得该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。姓名 学号 学院 专业班级 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 大学期中考试工科数学分析2021-2022学年第一学期期中考试卷注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 4个 大题，满分100分，考试时间90分钟。题 号一二三四总分得 分得分二、 计算题（3小题，每小题12分，共36分）1. 设，求证 证明：（1）由知道，时，有，且 2分 （2）利用（3） （4） 有， 从而时，有 .10分故， 12分2. 求极限 。解： 6分 12分3. 设曲线的参数方程为，求.解：（1） 4分（2） 12分得分二、解答题（2小题，每小题12分，共24分）1. 设，其中连续，且求(1) （1）求;(2)讨论在实数上的连续性。解：（1） 2分 6分 （2）连续。 8分 （3）即在连续。故在实数上连续。 12分2. 设是0,1上的二阶可导函数，且满足条件设(1)写出f(x) 在x=c处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。(2)证明证明：（1），介于和之间。2分 （2）将在处作一阶Taylor展开 6分其中介于和之间，介于和之间。将上两式相减,得到 8分由于所以 12分得分三、证明题（2小题，每小题15分，共30分） 1. 设函数，且与都存在，证明：在上一致连续。证明：令 5分则在上连续，利用Cantor定理，从而在上一致连续。 10分于是在内一致连续，而故，在上一致连续。 15分 2. 证明: 设为实数， 。求证 证明：（1）令，从而 2分 （2）令，解得，又所以，在内，在取得极小值，10分即，所以，即， 15分得分四、应用题（本小题10分） 设 在椭圆的第一象限中求一点，使得该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小。解：（1）设，在方程两边同时对求导，得到，从而，椭圆在点的切线方程为：，切线与坐标轴的交点为，从而三角形的面积 2分（2）要求在椭圆的第一象限中求一点，使得该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小，即，求三角形的面积最小，即，求在上的最大值。 4分（3）令，得到，（唯一） 8分又根据实际意义，所求的图形面积最小存在，故在椭圆的第一象限中所求一点为 10分 第 12 页 共 12 页